(典型题)初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试(答案解析)

一、选择题1．若数a关于x的不等式组恰有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．2 B．3 C．4 D．52．在一只不透明的口袋中放入5个红球，4个黑球，n个黄球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球的个数n是（）A．6 B．5 C．4 D．33．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x箱口罩．根据题意可列方程为（）A． B．C． D．4．若关于的分式方程的解为非负数，且关于的不等式组的解集是，则符合条件的整数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．将分式中的x，y的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（）A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定6．如果分式的值为零，则的值是（）A． B． C． D．7．是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为（）A． B． C． D．8．据悉，华为Mate40Pro和华为Mate40Pro+搭载业界首款麒麟芯片，其中就是．将数据用科学记数法表示为（）A． B． C． D．9．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．化简的结果是（）A．2 B． C． D．11．某生产小组计划生产3000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，设原计划每小时生产口罩x个，根据题意，所列方程正确的是（）A． B． C． D．12．若分式的值等于0，则a的值为（）A． B．0 C． D．无解二、填空题13．化简的结果是_______．14．已知，则代数式的值为_________．15．如图，若，则表示的值的点落在_________（填序号）16．H7N9病毒直径为30纳米（1纳米＝10－9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小为________米．17．已知，那么________．18．如果，那么_______________________．19．化简：=__________．20．计算：=__________三、解答题21．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地．（1）求前1小时这辆汽车行驶的速度；（2）汽车出发时油箱有油7.5升油，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？22．先化简，再求值：，其中．23．计算：．24．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”（1）下列分式中，_____是和谐分式（填写序号即可）；①；②；③；④（2）若分式为和谐分式，且为整数，请写出所有的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式小强：原式显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：____，请你接着小强的方法完成化简．25．为预防新冠疫情的反弹，康源药店派采购员到厂家去购买了一批A、B两种品牌的医用外科口罩．已知每个B品牌口罩的进价比A品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A品牌口罩的数量为用5000元购进B品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？（2）若B品牌口罩的售价是A品牌口罩的售价的1.5倍，要使康源药店销售这批A、B两种品牌口單的利润为8800元，则它们的售价分别定为多少元？26．清江山水华府小区物业，将对小区内部非活动区域进行绿化．甲工程队用天完成这项工程的三分之一，为加快工程进度，乙工程队参与绿化建设，两队合作用天完成这一项工程．（1）若，求乙工程队单独完成这项工程所需的时间；（2）求的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先解不等式得出解集x≤2且x≥，根据其有两个整数解得出0＜≤1，解之求得的范围；解分式方程求出y＝2−1，由解为正数且分式方程有解得出2−1＞0且2－1≠1，解之求得的范围；综合以上的范围得出的整数值，从而得出答案．【详解】解：，解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x≥，∵不等式组恰有三个整数解，∴-1＜≤0，解得，解分式方程，得：，由题意知，解得且，则满足，且的所有整数的值是2，所有满足条件的整数a的值之和为2．故选择：A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和求方程的正数解，解题的关键是根据不等式组整数解和方程的正数解得出的范围，再求和即可．2．A解析：A【分析】根据摸到黄球的概率已知列式计算即可；【详解】由题可得：，解得：；经检验，是原方程的根，故选：A．【点睛】本题主要考查了概率的求解，准确计算是解题的关键．3．A解析：A【分析】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程．【详解】设乙厂房每天生产x箱口罩，则甲厂房每天生产2x箱口罩，根据题意得：，故选：A．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键．4．C解析：C【分析】解分式方程的得出x=2a-2，根据解为非负数得出2a-2≥0，且2a-2≠2，据此求出解得a≥1且a≠2；解不等式组两个不等式，根据解集得出a＜5；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案．【详解】解：分式方程，去分母，得：2（x-a）=x-2，解得：x=2a-2，∵分式方程的解为非负数，∴2a-2≥0，且2a-2≠2，解得a≥1且a≠2，∵不等式组的解集是x≥5，∴1≤a＜5，且a≠2，则整数a的值为1、3、4共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．5．A解析：A【分析】将x变为3x，y变为3y计算后与原式比较即可得到答案．【详解】，故分式的值扩大到原来的3倍，故选：A．【点睛】此题考查分式的基本性质，正确掌握积的乘方运算，分解因式是解题的关键．6．B解析：B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m的不等式组并求解即可．【详解】解：∵=0∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．7．D解析：D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】=，故选：D．【点睛】此题考查了科学记数法，注意n的值的确定方法：当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．8．A解析：A【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中；【详解】0.000000005=，故选：A．【点睛】本题考查了科学记数法的形式，正确理解科学记数法是解题的关键；9．C解析：C【分析】先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值．【详解】解：∵∴．∵x，y是整数，∴是整数，∴x＋1可以取±1，±2．当x＋1＝1，即x＝0时＞0；当x＋1＝−1时，即x＝−2时，（舍去）；当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0；当x＋1＝−2时，即x＝−3时，＞0；综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1．故选：C．【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键．10．D解析：D【分析】利用乘法分配律计算即可【详解】解：原式==1-=，故选D．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．11．D解析：D【分析】找出等量关系：原计划所用时间-实际所用时间=提前5小时，据此即可得出分式方程，得解．【详解】解：设原计划每小时生产口罩x个，则实际每小时生产口罩2x个，依题意得：故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据分式的值为零的意义具体计算即可.【详解】∵分式的值等于0，∴=0，∵≥1＞0，∴=0是不可能的，∴无解，故选D.【点睛】本题考查了分式的值为零的条件,熟记基本条件和实数的非负性是解题的关键.二、填空题13．2【分析】先约分再算加法然后把除法化为乘法进而即可求解【详解】原式=====2故答案是：2【点睛】本题主要考查分式的化简掌握分式的四则混合运算法则是解题的关键解析：2【分析】先约分，再算加法，然后把除法化为乘法，进而即可求解．【详解】原式=====2，故答案是：2．【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的四则混合运算法则，是解题的关键．14．【分析】解方程得到代入代数式即可得到结论【详解】解：两边同时乘以得：故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值求得的值是解题的关键解析：【分析】解方程得到，代入代数式即可得到结论．【详解】解：，两边同时乘以得：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，求得的值是解题的关键．15．③【分析】先根据分式的运算法则化简原式再由的取值范围估计结果的范围【详解】解：原式当原式∵∴故答案是：③【点睛】本题考查分式的化简求值无理数取值范围的估计解题的关键是掌握分式的运算法则和无理数的估值解析：③【分析】先根据分式的运算法则化简原式，再由的取值范围估计结果的范围．【详解】解：原式，当，原式，∵，∴．故答案是：③．【点睛】本题考查分式的化简求值，无理数取值范围的估计，解题的关键是掌握分式的运算法则和无理数的估值方法．16．【分析】根据题意列得这个病毒直径为计算并用科学记数法表示即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查实数的乘法计算科学记数法正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键解析：【分析】根据题意列得这个病毒直径为，计算并用科学记数法表示即可．【详解】，故答案为：．【点睛】此题考查实数的乘法计算，科学记数法，正确理解题意列式并会用科学记数法表示结果是解题的关键．17．【分析】将变形为=5a根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a即可得到答案【详解】∵∴=5a∴故答案为：【点睛】此题考查分式的化简求值完全平方公式根据已知等式变形为=5a将所求代数式的分母变形为解析：【分析】将变形为=5a，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入=5a，即可得到答案．【详解】∵，∴=5a，∴故答案为：．【点睛】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为=5a，将所求代数式的分母变形为形式，再代入计算是解题的关键．18．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x进而可得y的值然后把xy的值代入所求式子计算即可【详解】解：∵x－3≥03－x≥0∴x=3∴y=﹣2∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整解析：【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．19．【分析】先计算括号内的加法除法转化成乘法约分后可得结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简掌握分式的混合运算的顺序与方法是解题的关键解析：【分析】先计算括号内的加法，除法转化成乘法，约分后可得结果．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的混合运算的顺序与方法是解题的关键．20．-2【分析】直接利用算术平方根的意义绝对值和零指数幂的性质分别化简得出答案【详解】原式＝2−5+1＝−3+1＝−2故答案为：-2【点睛】点评：此题主要考查了实数运算正确化简各数是解题关键解析：-2【分析】直接利用算术平方根的意义、绝对值和零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝2−5+1＝−3+1＝−2．故答案为：-2【点睛】点评：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．三、解答题21．（1）；（2）以提速后的速度行驶更省油【分析】（1）设前1小时行驶的速度为xkm/h，则1小时后行驶的速度为1.5xkm/h，根据时间=路程÷速度结合提速后比原计划提前h（40min）到达目的地，解之经检验后即可得出结论；（2）设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油（y+0.3）升，根据总油耗=每小时油耗×运动时间，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可求出y值，再分别求出返程时按两种速度所需总油耗，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设前1小时行驶的速度为，则1小时后行驶的速度为，依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意．答：前1小时行驶的速度为．（2）设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升，依题意，得：解得：，∴回来时若以原速度行驶总耗油（升），若以提速后的速度行驶总耗油（升）．∵，∴以提速后的速度行驶更省油．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．22．；【分析】根据异分母分式加减法先计算括号里的式子，再利用分式除法法则进行运算求出化简结果，然后将代入计算即可．【详解】解：，，，；当时，原式=．【点睛】本题考查了分式的化简求值、最简二次根式，掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键．23．【分析】根据分式的性质化简即可；【详解】原式，，；【点睛】本题主要考查了分式的化简，准确计算是解题的关键．24．（1）②；（2）10或6或-6；（3）小强通分找的是最简公分母，化简见解析【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．【详解】解：（1）不符合和谐分式的定义，故①不是和谐分式，，故②是和谐分式，，故③不是和谐分式，，故④不是和谐分式，故答案为：②；（2）分式为和谐分式，且为整数，，，；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分找的是最简公分母，故答案为：小强通分找的是最简公分母；小强：原式．【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．25．（1）A、B两种品牌每个口罩的进价分别为每个元，元；（2）A、B两种品牌