(北师大版)天津市八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D．则的长为（）A． B． C． D．2．如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则a的值是（）A． B． C． D．3．如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（）A． B． C． D．4．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为1m，则学校教学楼的高度为（）A．11m B．13m C．14m D．15m5．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A． B． C． D．6．如图，在中，，于点，已知，，则（）A． B． C． D．7．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（）A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺8．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A． B．C． D．9．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为（）A． B． C． D．10．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（）A． B．C． D．11．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米12．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A． B．8 C． D．二、填空题13．如图，在中，，点为射线上一点，连接，点为三角形外右侧一点，连接，连接交射线于点，已知，，则线段长为________．14．如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．15．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若图2中阴影部分的面积是5，则两个较小正方形重叠部分的面积为____.16．如图，在四边形中，，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．17．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.18．如图，两个正方形的面积分别是，，则第三个正方形的面积_________．19．一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是___．20．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．三、解答题21．如图，一棵小树在大风中被吹歪，用一根棍子把小树扶直，已知支撑点到地面的距离是米，棍子的长度为5.5米，求棍子和地面接触点到小树底部的距离是多少?22．小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小锤经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，DC＝13m，∠ABC＝150°．豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度．你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由．23．如图，某旅游景点的划船处在离水面高度为3m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为6m，此人以0.1m/s的速度收绳10s后船头移动到点D的位置．（假设绳子是直的，结果保留根号）（1）此时绳子CD长是多少m；（2）船向岸边移动的长度BD是多少m．24．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长分别是3，4，5；（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积为5；（3）在图3中，画一个三角形，使它的三边长分别为，4，．25．综合与探究在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片（，，）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处①若，，则的度数为．②，，之间的数量关系为．（2）如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；（3）如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．26．（1）问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为___________；（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【详解】解：连接AD，如图所示：∵AD=AB=2，∴DE==，∴CD=，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出选项．【详解】解：BC＝BA＝，∵数轴上点A所表示的数为a，∴a＝故选：C．【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．3．A解析：A【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为，则，面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为，则，…..则S7的值为：，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键．4．C解析：C【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，可得，，，利用勾股定理可求出．【详解】解：如图，设学校教学楼的高度为，则，，，左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，∴，解得：．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．5．A解析：A【分析】根据勾股定理求出AB即可．【详解】解：∵，∴AB=（m），6+8-10=4（m）,∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m；故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．6．D解析：D【分析】勾股定理求出AB＝5，设BD=x，AD=5-x，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：∵，，，∴，设BD=x，AD=5-x，∵∴∠CDA=∠CDB=90°，，，解得，x=，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理求线段长，解题关键是设未知数，根据勾股定理列方程．7．C解析：C【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设原处还有x尺的竹子，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺，根据勾股定理得：x2＋32＝（10−x）2，解得：x＝4.55故选C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．8．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：故不符合题意；故不符合题意；故符合题意；故不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键9．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB，已知AC的长，可将CE的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD的长．【详解】解：在Rt△ABC中，，，AB==15cm，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm，∵AC=12cm，∴CE=AE-AC=3cm，设CD=xcm，则BD=9-x=DE，在Rt△CDE中，根据勾股定理得CD2+CE2=DE2，即x2+32=（9-x）2，解得x=4，即CD长为4cm．故选：A．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．10．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项分别进行判定，则可得出结论．【详解】解：A、因为12＋12＝（）2，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；B、因为12＋（）2＝22，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；C、因为32＋42＝52，所以此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；D、因为22＋22≠32，所以此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．11．B解析：B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.12．D解析：D【分析】将CB延长至点D，使，利用勾股定理求出AD的长，即可求出结果．【详解】解：如图，将CB延长至点D，使，∵，，∴，，一共有4个这样的长度，∴这个风车的外围周长是：．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长．二、填空题13．【分析】根据题意可求证延长CM交AB与点G过G作GK垂直于BC于点K根据角相等判断边相等AG=AM列出方程求出AG的长从而求出AM的长从而求出BN的长DN=BN-BD即可求解【详解】∵∴∵CN=CM解析：【分析】根据题意可求证，延长CM交AB与点G，过G作GK垂直于BC于点K，根据角相等判断边相等，AG=AM，列出方程求出AG的长，从而求出AM的长，从而求出BN的长，DN=BN-BD即可求解．【详解】∵，，∴，∵，CN=CM∴，∴，延长CM交AB与点G，过G作GK垂直于BC于点K，∵，∴，，，∴，，，∴，AM=AG，∵，∴，∴，设BK=a，则GK=a，，∴，∴a=1，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．14．【分析】先把长方体展开根据勾股定理求出AM的长即可【详解】解：长方体部分展开如图所示连接AM则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程根据已知数据可得AN=4cmMN=4cmBM=故答案为：【点睛】此题解析：【分析】先把长方体展开，根据勾股定理求出AM的长即可．【详解】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm，BM=，故答案为：．【点睛】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．15．5【分析】根据勾股定理可知大正方形面积等于两个小正方形面积和再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积【详解】解：由图可知阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积根据勾股定解析：5【分析】根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．【详解】解：由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，所以阴影部分面积=重叠部分面积，故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．16．29【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图连接AC由题意得：在中在中则正方形丁的面积为故答案为：29【点睛】本题考查了勾股定理的应用熟练掌解析：29【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC，由题意得：，在中，，，在中，，，则正方形丁的面积为，故答案为：29．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．17．4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】∵勾弦∴股b=∴小正方形的边长＝∴小正方形的面积故答案为4【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学思想解析：4【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】∵勾，弦，∴股b=，∴小正方形的边长＝，∴小正方形的面积故答案为4【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．18．6【分析】根据题意和图形可以得到AB2和AC2再根据△ABC是直角三角形和勾股定理可以得到BC2【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18S2=12∴AB2=18AC2=12∵△ABC是直角三角解析：6【分析】根据题意和图形，可以得到AB2和AC2，再根据△ABC是直角三角形和勾股定理，可以得到BC2．【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18，S2=12，∴AB2=18，AC2=12，∵△ABC是直角三角形，∴BC2=AB2-AC2=18-12=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形再根据勾股定理解答即可【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大h最大=16-12=4cm当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小如图所示：此时AB==13cm故h=1解析：3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=16-12=4cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB==13cm，故h=16-13=3cm．故h的取值范围是3≤h≤4．故答案是：3≤h≤4．【点睛】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．20．5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等得到BC=AC设BC=AC=xm根据勾股定理求出x的值即可【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等∴BC=AC设BC=AC=xm则解析：5m【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=xm，则OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案为：5m．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．三、解答题21．5米【分析】利用勾股定理计算即可.【详解】由题意知：AB=米，AC=5.5米，∵∠ABC=90°，∴=4.5米，答：棍子和地面接触点到小树底部的距离是4.5米.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据实际问题构建直角三角形利用勾股定理来解决问题是解题的关键.22．同意豆花的说法．BC＝12m【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：同意豆花的说法．理由：连接BD，∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝5m，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝90°，∵DC＝13m，BD＝5m，∴CB＝＝12（m）．答：CB的长度为12m．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题关键．23．（1）5m；（2）m．【分析】（1）根据收绳速度与时间可得收绳长度，从而可得CD长；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，然后再次利用勾股定理在Rt△ACD中，计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】解：（1）∵此人以0.1m/s的速度收绳10s∴CD=BC-0.1×10=6-1=5∴此时绳子CD长是5m（2）在Rt△ABC中，在Rt△ACD中，AD=∴BD=AB-AD=∴船向岸边移动的长度BD是m．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．24．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．【分析】（1）根据勾股定理可知：以3，4，5为三边所构成的三角形为直角三角形，故以3和4为两直角边作直角三角形即可；（2）由正方形的面积为5，可知：正方形的边长为，的长方形方格的对角线长是，从而作出面积为5的正方形；（3）根据的对角线为，由此即可作出变长为，4，的三角形．【详解】解：（1）如图1；图中直角三角形为所求，两直角边分别为3，4，斜边为5；（2）如图2，作边长为的正方形；图中正方形面积为5；（3）如图3，图中直角等腰三角形为所求，两直角边分别为，，斜边为4．【点睛】本题主要考查了勾股定理在作图中的应用．解决本题的关键是掌握勾股定理，利用网格准确画图．25．（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）；（3）3或6【分析】（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；②利用三角形外角的性质推理计算；（2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．【详解】解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°∴∠DFC=∠1+∠C′=77°∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°故答案为：114°②由折叠性质可得∠C=∠C′∴∠DFC=∠1+∠C′∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C故答案为：∠2=∠1+2∠C（2）∵，，设BD=x，则CD=AD=8-x∴在Rt△ABD中，，解得：∴BD的长为（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC==10，∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．当△DEC为直角三角形，①如图，当∠DEC=90°时，∵∠AED+∠DEC=180°，∴点E在线段AC上，设BD=DE=x，则CD=8-x，∴CE=AC-AE=4，∴DE2+CE2=CD2，即x2+42