(北师大版)哈尔滨市九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(答案解析)

一、选择题1．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是()A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD2．如图，O是菱形的对角线的交点，E，F分别是的中点给出下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积大小等于；④；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CDAE．若BD6，CD5，则△DCG的面积是（）A．10 B．5 C． D．4．如图所示，在菱形中，，，则菱形的周长是（）．A．20 B．15 C．10 D．55．如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为（）A．12 B．24 C．20 D．486．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE=CB，连续AE．下列结论①AE=2OE；②；③四边形ADBE为平行四边形；④中，正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，，若，则的长度是（）A．6 B．8 C．10 D．128．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形9．下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．四边都相等的四边形是正方形10．□ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD11．如图，AC，BD是四边形ABCD对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需要添加的条件是（）A． B．C． D．12．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以二、填空题13．在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是_____cm．15．如图，四边形是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点与顶点重合，为折痕，若、，则图中阴影部分的面积为______.16．如图，将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，水面宽度BE＝12厘米，此时杯子的倾斜角α等于_____度．17．如图，点H在菱形ABCD的边BC上，连结AH，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在边BC上的点E处，若∠B=70°，则∠AED的度数为_____．18．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________．19．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，沿直线折叠，点落在矩形内部的点处，连接并延长交于点．已知，，则的长为__________．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是____．三、解答题21．已知点、分别为面直角坐标中、轴上一点，将线段绕点顺时针旋转至，连接、．（1）如图，若，求的度数；（2）若，的平分线交于，如图，求证：；（3）若，过作交于，如图，求的长．22．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为．（1）求点G的坐标，并求直线的解析式；（2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在中，，，垂直于于点，是的中点．（1）求证：；（2）若，求的长．24．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．25．如图，在坐标系的网格中，且三点均在格点上．（1）C点的坐标为；（2）作关于y轴的对称三角形；（3）取的中点D，连接A1D，则A1D的长为．26．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）已知，，求四边形AODE的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC；HG∥AC，HG=AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．【详解】解：连AC，BD，如图，∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，∴EF∥AC，EF=AC；HG∥AC，HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，而EH=AC，∴AC=BD．当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．2．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE＝OE．∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD∴S△ADE＝S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE＝OF．∵OD＝OB．∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EFAC．∴菱形ABCD的面积＝EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：C．【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．3．B解析：B【分析】作EF⊥BC于F点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD中AB的长度，从而结合勾股定理求出AD的长度，再根据中位线定理可得EF的长度，然后进一步判定△EDC为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出，最后根据求解即可．【详解】∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴△ABD为直角三角形，E为斜边AB上的中点，∴AE=BE=DE，∵CD=AE，CD=5，∴AB=2AE=10，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：，∴AD=8，作EF⊥BC于F点，则EF为△ABD的中位线，∴，又∵CD=ED，DG⊥CE于点G，∴△EDC为等腰三角形，，∵，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．4．A解析：A【分析】根据题意可得出∠B=60，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出菱形的周长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，又∵∠BCD=120，∴∠B=180-∠BCD=60，又∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，∴BA=BC=AC=5，故可得菱形的周长=4AB=20．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．5．B解析：B【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4，∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×4=24．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．6．D解析：D【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．【详解】解：四边形是菱形，，，，又，，四边形是平行四边形，故③正确，，，故①正确；四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，，即，故②正确；四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，故④正确；故选：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．7．D解析：D【分析】先证得DE是△ABC的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据证得AC=2EF求出答案．【详解】∵、分别是、的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=8，∵，∴DF=2，EF=6，∵，AE=CE，∴AC=2EF=12，故选：D．【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．9．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．10．C解析：C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A.AB=CD，无法判断四边形ABCD是菱形，不合题意；B.AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意；C.AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD是菱形，符合题意；D.AB⊥BD，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．11．A解析：A【分析】证出、、、分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形为平行四边形，当时，，得出平行四边形是菱形；当时，，则，即可得出菱形是正方形．【详解】解：点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，、、、分别是、、、的中位线，∴，，，，四边形为平行四边形，当时，，平行四边形是菱形；当时，，则，菱形是正方形；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．12．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根二、填空题13．【分析】根据题意原点O为菱形对称中心则点B与点D关于原点对称即可得到答案【详解】解：根据题意∵菱形的对角线交于原点∴原点O为菱形对称中心∴点B与点D关于原点O对称∵点的坐标为∴点D的坐标为故答案为：解析：．【分析】根据题意，原点O为菱形对称中心，则点B与点D关于原点对称，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵菱形的对角线交于原点，∴原点O为菱形对称中心，∴点B与点D关于原点O对称，∵点的坐标为，∴点D的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题．14．2【分析】连接BP根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可【详解】解：连接BP∵四边形ABCD是菱形解析：2【分析】连接BP，根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝，S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE把相应的值代入即可．【详解】解：连接BP，∵四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2∴AB＝BC＝×12＝3（cm），∵AC是菱形ABCD的对角线，∴S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝＝3（cm2），∴S△ABP＋S△BPC＝AB•PE＋BC•PE＝3（cm2），∴×3×PE＋×3×PF＝3，∴PE＋PF＝3×＝2（cm），故答案为：2．【点睛】此题考查菱形的性质，S△ABP＋S△BPC＝S△ABC＝是解题的关键．注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．15．【分析】先根据矩形的性质可得设从而可得再根据折叠的性质然后在中利用勾股定理可求出DE的长最后利用三角形的面积公式即可得【详解】四边形ABCD是长方形且点F到AD的距离等于AB的长的边DE上的高为6设解析：【分析】先根据矩形的性质可得，设，从而可得，再根据折叠的性质，然后在中，利用勾股定理可求出DE的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】四边形ABCD是长方形，，，，且点F到AD的距离等于AB的长，的边DE上的高为6，设，则，由折叠的性质得：，在中，，即，解得，即，则阴影部分的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．16．【分析】先由平行线的性质得∠α=∠ABE再由矩形的性质得∠C=90°AB∥CD则∠BEC=∠ABE求出∠BEC=30°即可得出答案【详解】由题意得：BE∥桌面∴∠α=∠ABE∵四边形ABCD是矩形∴解析：【分析】先由平行线的性质得∠α=∠ABE，再由矩形的性质得∠C=90°，AB∥CD，则∠BEC=∠ABE，求出∠BEC=30°，即可得出答案．【详解】由题意得：BE∥桌面，∴∠α=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB∥CD，∴∠BEC=∠ABE，∵BC=6，BE=12，∴BC=BE，∴∠BEC=30°，∴∠α=∠ABE=∠BEC=30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，利用含30度角的直角三角形的性质求出∠BEC=30°是解题的关键．17．55°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AE然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°根据菱形的四条边都相等可得AB=AD菱形的对角相等求出∠ADC再求出∠DAE然后根据等腰三角形两底解析：55°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AEB=70°，根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，菱形的对角相等求出∠ADC，再求出∠DAE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠AED．【详解】解：∵菱形ABCD沿AH折叠，B落在BC边上的点E处，∴AB=AE，∵∠B=70°，∴∠AEB=70°在菱形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠B=70°，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∵AB=AE，AB=AD，∴AE=AD，∴∠AED=（180°-∠DAE）=（180°-70°）=55°．故答案为：55°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，翻折前后对应边相等，菱形的四条边都相等，对角相等．18．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.19．【分析】连接EF根据矩形的性质可得AB=CD=9∠B=∠C=∠D=90°根据折叠的性质可得=∠B=90°利用HL证出Rt△≌Rt△FCE从而求出即可求出AF最后利用勾股定理即可求出结论【详解】解：连解析：【分析】连接EF，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得，，=∠B=90°，利用HL证出Rt△≌Rt△FCE，从而求出，即可求出AF，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接EF，∵，，∴CD=CF＋DF=9∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得，，=∠B=90°∴=90°=∠C∵点E为BC的中点∴BE=CE∴在Rt△和Rt△FCE中∴Rt△≌Rt△FCE∴∴AF=＋=13在Rt△AFD中，AD==12故答案为：12．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键．20．【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OCAC=BD由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB可证△OAB是等边三角形可得∠ABD=60°由直角三角形的性质可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩解析：【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，AC=BD，由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB，可证△OAB是等边三角形，可得∠ABD=60°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE=EO，AE⊥BD，∴AB=AO，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴AD=AB=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）将线段绕点顺时针旋转至，，OA=OC=4，可证△AOC为等边三角形，由OB=OC=4，可求∠OBC=∠BCO=15°，可求∠ACB=∠ACO-∠BCO=45°即可；（2）在上取点使，由的平分线，可得∠BOD=∠DOA=45°，可求∠DOH=60°，OB=OC=4，利用等边对等角∠DBO=∠HCO，又∠BOD=∠HOC=45°，可证△BOD≌△COH(ASA)，由性质OD=OH，，可证△等边三角形即可退出结论；（3）以为边作，连由；，，可得正方形，由，可求可证是等边三角形即可．【详解】（1）∵将线段绕点顺时针旋转至，，，∴OA=OC=4，∴△AOC为等边三角形，∴∠ACO=60°，∵，∴OB=OC=4，∴∠OBC=∠BCO=（180°-90°-60°）=15°，∴∠ACB=∠ACO-∠BCO=60°-15°=45°，∴∠ACB=；（2）在上取点使，∵的平分线交于，∴∠BOD=∠DOA=45°，∵∠AOC=60°，∴∠BOC=90°+60°=150°，∴∠DOH=150°-∠BOD-∠COD=90°-45°-45°=60°，∵OB=OC=4，∴∠DBO=∠HCO，∠BOD=∠HOC=45°，∴△BOD≌△COH(ASA)，∴OD=OH，，∴是等边三角形，，；（3）以为边作，连，；，，正方形，，，是等边三角形，∴．【点睛】本题考查旋转，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形全等，正方形判定与性质，掌握旋转的性质，会利用旋转和夹角60°证等边三角形，等边三角形的判定方法与性质，等腰三角形的判定方法与性质，角平分线的性质，三角形全等判断方法与性质，正方形判定与性质是解题关键．22．（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式（2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围（3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可【详解】解：（1）由折叠的性质可知，，由勾股定理得，，∴点G的坐标为设直线的解析式为将代入，得∴直线的解析式为．（2）∵直线平行于直线，，即直线的解析式为，当直线经过点时，，解得，当直线经过点时，解得，，∴直线与长方形有公共点时，（3）①当时，若点P在原点左侧，点P的坐标为，若点P在原点右侧，点P的坐标为，②当时，，，∴点P的坐标为，③当时，可得，在中，，即，解得，点P的坐标为，综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或．【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想是解决问题的关键23．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD，得到，继而得到再根据等腰三角形的判定推出AC=CD，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE的长，即可解题．【详解】（1）证明：在中，，D是AB的中点，CE垂直AB于点E；（2）．