(北师大版)杭州市九年级数学上册第四单元《图形相似》测试卷(答案解析)

一、选择题1．如图，中，于点，下列条件中不能判定是直角三角形的是（）A． B．C． D．2．如图，在△ABC中，DE//BC，=2，记△ADE的面积为a，四边形DBCE的面积为b，则的值是（）A． B． C． D．3．如图，直线，则（）A． B． C． D．4．如图，中，，点E在的延长线上，，过点E作于D．若，，则的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．45．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（）A．顶角为30°的等腰三角形B．顶角为40°的等腰三角形C．等边三角形D．顶角为75°的等腰三角形6．如图，已知，，，是四个全等的等腰三角形，底边，，，在同一直线上，且，，连接交于点Q，则的值为（）A．4 B． C．3 D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点的坐标为（）A．（4，2） B．（1，1） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若，下列结论：①，②，③，④．正确的是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③9．如图，在中，、分别是、边上的点，连接并延长，与的延长线交于点，且，，若，则的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（）A． B． C． D．11．如图，正方形ABCD的边长为2，，线段MN的两端在CD，AD上滑动，当与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（）A． B．或 C． D．或12．复印纸的型号有、、、、等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的宽与长之比为（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN＝NF；③；④S四边形CGNF＝S四边形ANGD，其中正确的结论的序号是_____．14．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为__________．15．如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为1，则的面积为______．16．如图所示，在中，、分别是、的中点，已知长是6，则线段的长为______．17．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．18．如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为______．19．如图，在平行四边形中，点在边上，且，与相交于点；若，则___________．20．如图，中，，尺规作图：在上求作点，使得与相似；（保留作图痕迹，不写作法）三、解答题21．如图，已知直线CD过点C(-2，0)和D(0，1)，且与直线AB：y=-x+4交于点A．（1）求直线CD的解析式；（2）求交点A的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．（1）当点E恰好落在延长线上时，求的度数．（2）在（1）的条件下连结交于点D．求证：．23．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．24．如图，已知二次函数y＝ax2﹣5ax+2的图象交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD的正切值；（3）在（2）的条件下，点E在直线x＝1上，如果∠CBE＝45°，求点E的坐标．25．如图，在中，，，于E，，．（1）求证：；（2）求AE的长度；（3）设AD与CE交于F，求的面积．26．如图是的正方形网格，的三个顶点均在格点上．（1）将绕点顺时针方向旋转得到，在图①中作出；（2）在图②中作格点，使，且周长比为；（3）在图③中作一个与相似且面积最大的格点．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；∴△ABC是直角三角形；B.不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴无法证明△ABC是直角三角形；C.能，∵∴∵∠B=∠B∴△CBA∽△ABD，∴∠ADB=∠BAC，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形；D.能，∵，∴∵∠C=∠C∴△CBA∽△CAD，∴∠ADC=∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形．故选：B【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用．2．A解析：A【分析】先由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出含有a与b的比例式，化简即可得出答案．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，∴，∴，∴9a=4a+4b，∴5a=4b，∴．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例，依次对各选项进行判断即可．【详解】解：∵，∴，B选项错误，不符合题意；，C选项错误，不符合题意；，D选项正确，符合题意；无法确定A选项是否正确，故A选项不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．B解析：B【分析】证明△ADF≌△EDC，得到DC=DF，设DC=x，再证明△EBF∽△ABC，求出x即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED⊥AC，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A，∵AD=ED，∴△ADF≌△EDC，∴DC=DF，设DC=x，∴DF=x，∴AD=ED=6-x，∴EF=6-2x，∵∠E=∠A，∠FBE=∠ABC，∴△EBF∽△ABC，∴，∵AC=6，BE=AB，∴，∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．5．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可．【详解】解：∵等腰△ABC的底角为75°，∴等腰△ABC的三角的度数分别为30°，75°，75°∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形故选：A．【点睛】本题考查了想做浅咖人判定，关键是根据等腰三角形的性质得出等腰三角形的角的度数解答．6．D解析：D【分析】先求出BP，进而利用勾股定理求出AP的平方，即可求AI=8，最后判断出QG∥AC，即可通过全等得出结论．【详解】解：如图，过点A作AP⊥BC垂足为P，∵AB=AC，BC=2，∴BP=BC＝1，BC=CE=EG=GI=2，在Rt△ABP中，根据勾股定理得，AP2=AB2-BP2=42-12=15，在Rt△API中，PI=，根据勾股定理得，∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，∴∠ACB=∠QGC，∴QG∥AC，∴△IGQ∽△ICA，∴，∴，∴QI=，故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出AI是解本题的关键．7．D解析：D【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】解：∵△ABO与的相似比为，且在第四象限，∴点A的对应点的坐标为，即(4，-2)，故选：D．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．8．D解析：D【分析】由正方形的性质证明结合从而可判断①；由，可得从而可得可判断②；设则再证明可得求解再证明利用列方程解关于的方程并检验即可判断③；证明求解再证明求解由可判断④，从而可得答案．【详解】解：正方形ABCD与正方形EFGH．，故①符合题意；，故②符合题意；正方形设则经检验：不合题意，舍去，故③符合题意；故④不符合题意；故选：【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．9．B解析：B【分析】过点作，通过证明可得再证明可得的长度，即可求解．【详解】如图，过点作，交延长线于点，则由平行易知，因此，即由平行易知，因此∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案选：B．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．10．C解析：C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，，则，…依此类推，则线段，故选C．【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．11．D解析：D【分析】根据，所以只有两种可能，假设∽或∽，分别求出DM的长即可．【详解】解：正方形ABCD边长是2，，，，当∽时，．当∽时，，．或．故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．12．B解析：B【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，∵得到的矩形都和原来的矩形相似，∴，则b2=2a2，∴，∴这些型号的复印纸的长宽之比为：1，∴宽与长之比为故选：B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．二、填空题13．①②③【分析】由BE＝EF＝FCCG＝2GD可得BF=CG易证△ABF≌△BCG即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM的值即可解题；④连接A解析：①②③【分析】由BE＝EF＝FC，CG＝2GD可得BF=CG，易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，，∴△BNF∽△BCG，∴，∴BN=NF；②正确；作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，=，∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF-NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，，解得：MN=，∴BM=BN-MN=，MG=BG-BM=，∴；③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG-BN=，∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=AN•GN+AD•DG=，∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．14．或【分析】根据在平面直角坐标系中如果位似变换是以原点为位似中心相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k即可求得答案【详解】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-24）B（-31）C（-2解析：或【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-3，1），C（-2，0），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C′，∴点A的对应点A'的坐标为：（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即（1，-2）或（-1，2）．故答案为：（1，-2）或（-1，2）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15．12【分析】首先利用以及平行四边形对边相等分别得到DE与CEDE与AB的比值；再根据平行四边形的性质得出进而推出再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积进而得出四边形的面积即可推出的面积【详解析：12【分析】首先利用，以及平行四边形对边相等，分别得到DE与CE、DE与AB的比值；再根据平行四边形的性质得出，，进而推出，再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积，进而得出四边形的面积，即可推出的面积.【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∵，∴，，∴，，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，，∴，，∵的面积为1，∴，，∴，∴.故答案为12.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.16．4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO∽△BCO根据相似比可求得CO的长即可【详解】解：∵点EF分别是△ABC中ACAB边的中点∴EF是△ABC的中位线∴EF=BCEF∥BC∴△EFO解析：4【分析】根据已知利用相似三角形的判定可得到△EFO∽△BCO，根据相似比可求得CO的长即可．【详解】解：∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点．∴EF是△ABC的中位线．∴EF=BC，EF∥BC．∴△EFO∽△BCO，且相似比为1：2．∴CO=2FO．∵=6．∴OC=2FO=4．故答案为4．【点睛】此题主要考查三角形的中位线的定理和相似三角形的判定方法的掌握．17．①③④【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC推出AF＝AC根据等边对等角推出即可①正确；不正确采用反证法假设可以证明△ACF≌△AFD即可证明∠DAF=∠CAF由题意无法得出此结论判断②错误；根据解析：①③④【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断④正确【详解】解：在△AEF和△ABC中∵，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C，∴①正确；不正确，理由是：假设，∵△AEF≌△ABC∴∠AFD=∠C，AF=AC，∴△ACF≌△AFD，∴∠DAF=∠FAC，原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，∴②错误；∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，∴③正确；∵△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，∴∠EAD＝∠CAF，∵△ADE∽△FBD，∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，∴④正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．18．【分析】连接AE并延长交x轴于H求AE解析式即可【详解】解：∵点与点对应∴点B与点F对应BF都在x轴上连接AE并延长交x轴于H则点H为位似中心∵点A的坐标为（﹣42）点E的坐标为（﹣11）设AE的解解析：【分析】连接AE并延长交x轴于H，求AE解析式即可．【详解】解：∵点与点对应，∴点B与点F对应，B、F都在x轴上，连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心，∵点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），设AE的解析式为y=kx+b，把（﹣4，2），（﹣1，1）代入得，，解得，AE的解析式为，当y=0时，x=2，H点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心是解题的关键．19．4【分析】由于四边形ABCD是平行四边形所以得到BC//ADBC=AD而CE：BE=2：1由此即可得到△AFD∽△CFE它们的相似比为3：2最后利用相似三角形的性质即可求解【详解】解：∵四边形ABC解析：4【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC//AD、BC=AD，而CE：BE=2：1，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD、BC=AD，∴△AFD∽△CFE，∵CE：BE=2：1，∴CE：BC=2：3，∴AD：CE=3：2，∴S△AFD：S△EFC=()2=，∵S△AFD=9，∴S△EFC=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题是证明△AFD∽△CFE，然后利用其性质即可求解．20．见解析【分析】过点A作AE⊥BC于E因为∠B=∠B即可得到△ABE与△ABC相似【详解】解：如图所示点即为所求【点睛】本题考查作图-复杂作图过直线外一点作已知直线的垂线以及三角形相似的判定解题的关键解析：见解析【分析】过点A作AE⊥BC于E，因为∠B=∠B,,即可得到△ABE与△ABC相似．【详解】解：如图所示，点即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，过直线外一点作已知直线的垂线，以及三角形相似的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）y=x+1；（2）(，)；（3）存在，(0，2)或(0，-2)【分析】（1）直线CD过点C(-2，0)和D(0，1)，设直线CD解析式为，将C(-2，0)和D(0，1)代入得解方程组即可；（2）联立方程，解方程组即可；（3）△PBC与△ABC的底均为BC，当面积相等时，则高也相等，由△ABC的底BC边上的高为A点的纵坐标2，可求P点的纵坐标的绝对值为2，点P在y轴上，分类考虑点P的位置即可求出．【详解】解：（1）直线CD过点C(-2，0)和D(0，1)，设直线CD解析式为，将C(-2，0)和D(0，1)代入得，，解得，直线CD的解析式为y=x+1；（2）联立方程，解得，A点坐标为（，）；（3）△PBC与△ABC的底均为BC，当面积相等时，则高也相等，∵△ABC的底BC边上的高为A点的纵坐标2，∴P点的纵坐标的绝对值为2，点P在y轴上，①当点P在x轴上方时，则P点坐标为（0，2）；②当点P在x轴下方时，则P点坐标为（0，-2）；综上所述，点P的坐标为（0，2）或（0，-2）．【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，两直线交点坐标，同底等高三角形面积问题，掌握待定系数法求直线解析式，两直线交点坐标联立两直线方程解方程组，同底等高三角形面积分类处理是解题关键．22．（1）80°；（2）见解析【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质分别得到∠AEF和∠AEB，从而得到结果；（2）证明△ADF∽△ACB，得到，结合AB=AE，AF=AC，得到，从而计算出结果．【详解】解：（1）由题意可得：∠BAE=∠CAF=100°，∠B=∠AEF，AB=AE，AC=AF，又∵E在BC的延长线上，∴∠AEB=∠B=40°，∴∠AEF=40°，∴∠FEB=∠FEA+∠AEB=80°；（2）如图，∵∠BAC=∠DAF，又∵AF=AC，∠CAF=100°，∴∠AFC=∠ACF=40°，即∠AFD=∠ABC=40°，又∵∠DAF+∠ADF+∠AFD=180°，∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠ADF，∴△ADF∽△ACB，∴，又∵AB=AE，AF=AC，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用旋转的性质得到相似三角形的条件．23．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝5，DE＝4，∴，即，解得，EF，故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．24．（1）；（2）；（3）点E坐标为（1，9）或（1，﹣1）【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）先求出点C，点B，点D坐标，由两点距离公式可求CD，BD，BC的长，由勾股定理的逆定理可求∠CDB＝90°，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣5ax+2的图象交x轴于点A（1，0），∴0＝a﹣5a+2，∴a＝，∴二次函数的解析式y