(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知两个单位向量，，其中向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为（）A． B． C．0 D．2．已知向量，，那么向量与的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．夹角是锐角 D．夹角是钝角3．已知是顶角A为120°腰长为2的等腰三角形，P为平面内一点，则的最小值是（）A． B． C． D．-14．过点的直线与函数的图象交于，两点，为坐标原点，则（）A． B． C．10 D．205．已知向量，，若向量满足，，则（）A． B． C． D．6．已知、为单位圆上的两个动点，且满足，，则的取值范围为（）A． B．C． D．7．已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数（）A． B．2 C． D．8．在空间直角坐标系中，，，点在直线上，则（）A． B． C． D．9．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（）个．A．2 B．4 C．6 D．010．在中，为的中点，为边上靠近点的三等分点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．11．在中，为边上的高，为的中点，若，其中，则等于（）A．1 B．C． D．12．如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（）A． B． C．2 D．二、填空题13．圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若，且，则向量在向量方向上的投影为_____.14．在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：，则__________．15．已知向量，，，则向量，的夹角为_______.16．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最大值为______.17．已知平面非零向量两两所成的角相等，，则的值为_____．18．如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.19．已知为内一点，且满足，延长交于点.若，则_____.20．已知的重心为G，过G点的直线与边AB和AC的交点分别为M和N，若，且与的面积之比为，则实数__________.三、解答题21．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.22．在的边，上分别有一点，，已知，，连接，，设它们交于点，若，.（1）用与表示；（2）过作，垂足为，若，，与的夹角，求的范围.23．已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程．（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围．24．如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，（1）用表示和；（2）求向量与夹角的余弦值．25．在中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，，设，.（1）用，表示；（2）设G是线段BC上一点，且使，求的值.26．已知中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求的大小；（2）设，为边上的点，满足，求的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】记与的夹角为，则在上的投影为，然后向量垂直转化为数量积为0可计算．【详解】记与的夹角为，则在上的投影为，则，∵，∴，故，故选：C．【点睛】结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示．（1）设向量的夹角为，则在方向上的投影是；（2）对两个非零向量，．2．D解析：D【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.【详解】因为，，，所以向量与的位置关系是夹角为钝角，故选：D.【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.3．A解析：A【分析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量，，，得到，进而可求出结果.【详解】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，当时，所求的最小值为.故选：A【点睛】方法点睛：向量求最值的方法有以下：1.利用三角函数求最值；2.利用基本不等式求最值；3.建立坐标系求最值；本题的关键在于建立坐标系，列出相应的式子求解4．D解析：D【分析】判断函数的图象关于点P对称，得出过点的直线与函数的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有，再计算的值．【详解】，∴函数的图象关于点对称，∴过点的直线与函数的图象交于A，B两点，且A，B两点关于点对称，∴，则．故选D．【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．5．D解析：D【分析】设出，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解.【详解】设，向量，，可得，由，可得，即，由，可得，联立方程组，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．B解析：B【分析】作出图形，可求得线段的中点的轨迹方程为，由平面向量加法的平行四边形法则可得出，求得的取值范围，进而可求得的取值范围.【详解】由，可知为等边三角形，设为的中点，且，所以点的轨迹为圆，又，所以，，即.由平面向量加法的平行四边形法则可得，因此.故选：B.【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．A解析：A【分析】根据可得，结合，列出等式，即可解出答案.【详解】因为向量满足，，所以，若向量的夹角为，则，所以，即，解得.故选：A．【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;（4）求向量的模（平方后需求）.8．B解析：B【解析】∵点P(a,1,c)在直线AB上，∴存在实数λ使得，∴，化为，∴,解得.本题选择B选项.9．B解析：B【分析】建立坐标系，逐段分析的取值范围及对应的解．【详解】以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，（1）若P在CD上，设，，，，当时有一解，当时有两解；（2）若P在AD上，设，，，，当或时有一解，当时有两解；（3）若在上，设，，，，当或时有一解，当时有两解；（4）若在上，设，，，，，当或时有一解，当时有两解，综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．10．D解析：D【分析】作出图形，用、表示向量、，由可得出，利用基本不等式求得的最小值，结合二倍角的余弦公式可求得的最小值.【详解】如下图所示：，，，则，即，可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：D.【点睛】本题考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的数量积的应用，同时也考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D【分析】根据题设条件求得，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得，得到，即可求解.【详解】在中，为边上的高，可得，又由，所以,由向量的运算法则，可得,又因为为的中点，，因为，所以，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B【分析】由向量的运算法则，化简得,再由，即可求得的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得,因为，所以，从而求得，故选:B．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O为△ABC的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3【分析】根据向量关系，即可确定的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若，故可得是以角为直角的直角三角形.又因为，且外接圆半径是，故可得，则，，故向量在向量方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.14．1【解析】设∵D为BC中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M为AB的中点故答案为1解析：1【解析】设，∵D为BC中点，所以,可以化为3x=λ（）+（3-3λ），化简为（3x-λ）=（3-2λ），只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）=（3-2λ）才成立，所以λ=，x=所以，则M为AB的中点故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB上的点M可设成，D为BC中点可得出，代入已知条件整理可得.15．【分析】已知式平方后求得再由数量积的定义可得夹角【详解】由得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角解题关键是掌握向量的模与数量积的关系由模求得数量积后可得解析：【分析】已知式平方后求得，再由数量积的定义可得夹角．【详解】由得，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量的模与数量积的关系，由模求得数量积后可得．16．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：【分析】以为原点，和分别为和轴建立的平面直角坐标系，求得，设，得到，即可求解.【详解】以为原点，和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，因为，可得，联立方程组，解答，所以，设，则，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.17．3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或由于三个向量的模已知当两两夹角为时直接算出结果；当两两夹角为时采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模【详解】由题意三个平面向量两两解析：3或0【分析】由于三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，由于三个向量的模已知，当两两夹角为时，直接算出结果；当两两夹角为时，采取平方的方法可求出三个向量的和向量的模．【详解】由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是或，当两两夹角为时，方向相同，则；当两两夹角为时，由于，则，则，.综上的值为3或0.故答案为：3或0.【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的夹角和向量的数量积运算，解题的关键是理解向量夹角的定义，考查运算能力.18．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：【分析】将均用表示出来，进而将，表示成与相关，可以求出，同时可用表示，即可求出结果.【详解】因为，，因此，故答案为：.【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：【分析】将已知条件转化为，结合，得到，设，列出关于的方程组，由此求得.【详解】由于，所以，所以，即.因为，即,化简得，设，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．5或【分析】利用重心的性质把AG用AMAN表示再由MGN三点共线得关于的方程再由三角形面积比得关于的另一方程联立即可求得实数入的值【详解】如图设因为G为的重心所以因为三点共线所以即①②由①②解得或故解析：5或【分析】利用重心的性质，把AG用AM、AN表示，再由M，G，N三点共线得关于的方程，再由三角形面积比得关于的另一方程，联立即可求得实数入的值.【详解】如图，设，因为G为的重心，所以，因为三点共线，所以，即①，，，②，由①②解得，或，故答案为：5或【点睛】关键点点睛：根据重心及三点共线可求出和的关系，再根据三角形的面积比得出和的另一关系，联立方程求解是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.22．（1）；（2）.【分析】（1）利用三点共线和三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设，利用，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到关于的函数形式，利用的范围即可求得结果.【详解】（1）设，三点共线，，又，，；设，同理可得：，，不共线，，，解得：，，即.（2）设，则，，又，，，，整理可得：，，，，即的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用表示出，再结合数量积的运算律来进行求解.23．（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得，，即可得答案；（2）设，，，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵，椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的标准方程为．（2）设，，，∴，∵P点在椭圆上，∴，，∴，由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，当时，取最大值12．∴的取值范围是．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.24．（1），，（2）【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可（2