2022-2023学年广东省东莞市第四高级中学高三下学期第一次数学测试试题

东莞市第四高级中学2022-2023学年高三下学期第一次数学测试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，则（）A.B.C. D.2.已知复数满足(其中为虚数单位)，则的值为（）A. B. C. D.3.为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（）A.124 B. C. D.4.图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）A. B. C. D.5.设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（）A. B.C. D.6.已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.7.与正三棱锥6条棱都相切球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（）A. B. C. D.8.设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（）A.1或3 B.2或3 C.1或4 D.2或4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知圆，直线，则（）A.直线过定点B.圆被直线截得的弦长最短时，直线方程为C.圆被轴截得的弦长为D.直线与圆可能相离 10.函数的部分图像如图所示，，则下列选项中正确的有（）A.的最小正周期为 B.是奇函数C.的单调递增区间为D.，其中为的导函数11.随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（）A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为12.已知函数对任意都有，若的图象关于点（1，0）对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（）．A.是偶函数 B.的周期T=2C.在上有7个零点 D.在单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)＝奇函数，则a＝________．14.的展开式中的系数是________．（用数字作答）15.在中，，若直线AP交BC于点Q，,则λ=_____.16．在中，，则当取最大值时，_____________________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正项数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．18.如图，在中，角的对边分别为.已知.（1）求角；（2）若线段延长线上一点，且，求.19.如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．20.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.（1）当时，求；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.（例如当a=10，E(Y)=5，D(Y)=15时，）），根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值.已知定点和直线，点N为直线l上的动点，直线m过点N与直线l垂直，线段NF的垂直平分线n交直线m于点M.（1）求点M的轨迹Γ的方程；（2）过点的直线分别与曲线Γ相切于两点，求已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设是两个不相等的正数，且，证明：.参考答案1.B2.B3.C4.5.B6.B7.C8.A9.AC10.AD12.BC13.1 14..λ=_____.16.1 17.（1）依题意，当时，，解得，由，当时，有，作差得：，所以，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）得，，又，同时，所以,所以．所以的前50项和为2150．18.（1）由条件及正弦定理可得：，即故，则有，又，故有，或（舍去），或（舍去），则，又，所以；（2）设，在和中，由正弦定理可得于是，又，则，，；19.（1）连接与交于点，连接为三棱柱，为平行四边形，故点为的中点，又为的中点，则，又平面平面，平面．（2）解法1：，面面，，，即以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，面，则平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，即令设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角的余弦值是．解法2：设点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接，设点为的中点，连接点为的中点，点为的中点且，点为的中点为矩形，又平面，在中，，可得为等腰直角三角形，其中而点为的中点，且点为的中点，点为的中点且，又在Rt中，，点为的中点，在中，，且点为的中点且，即为平面与平面的夹角在中，．平面与平面的夹角的余弦值是．20.（1）由已知，所以；（2）由已知，所以，若，则，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；综上，，估计信号发射次数的最小值为1250.（1）由已知，点M到点的距离和点M到直线的距离相等所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以点M的轨迹Γ的方程为.（2）设，，，由，可得，所以，直线PA的斜率，直线PA：，又在上，故，即，因为，所以，同理可得，故直线方程为，联立消去，得，故，故；22.（1）的定义域为，，令，得：，，所以在上单调递减；在上单调递增.（2）证明：要证，只需证：根据，只需证：不妨设，由得：；两边取指数，，化简得：令：，则，根据（1）得在上单调