2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（黑卷）试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（黑卷）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合B,根据集合的交集运算求得答案.【详解】因为，所以,故选：B2．设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接对已知式子化简计算即可求出复数【详解】因为，所以.故选：A3．我国第七次人口普查的数据于2021年公布，将我国历次人口普查的调查数据整理后得到如图所示的折线图，则下列说法错误的是（

）A．从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态B．2000-2020年年均增长率都低于1.5%C．历次人口普查的年均增长率逐年递减D．第三次人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点【答案】C【分析】根据折线统计图分析即可；【详解】解：由折线统计图可得，所有的增长率均为正数，所以从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态，故A正确；年年均增长率都低于，其中最高，增长率为，故B正确；年均增长率在是逐年递增，是逐年递减，故C错误；第三次（1982年）人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点，故D正确；故选：C4．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，这种证明方式优雅而直观.观察图形可知，阴影直角三角形的短直角边为或，所以该图直观地反映了公式.通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的宽，可得公式（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】观察可知图中阴影直角三角形长直角边为，长方形的宽为，由二者相等可得结果.【详解】图中阴影直角三角形长直角边为，长方形的宽为，显然二者相等，所以有.故选：D.5．从3名男生和2名女生中随机选取3人参加书法展览会，则选取的3人中至少有2名男生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列出所有可能的基本事件，即可求出满足题意的概率.【详解】记3名男生分别为，，，2名女生分别为，，从5人中随机选取3人，所有的可能结果为，，，，，，，，，，共10种，“其中至少有2名男生”对应的结果有7种，故所求概率为.故选：B.6．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性可排除B;比较A，C，D的图象可知，三者的差异在于函数的正负，结合分母在上恒成立，故考虑结合对数函数的性质通过判断在上的正负进行判断,由此可判断A,C,D.【详解】函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B；当时，，，故，排除C，D，而对于A，为奇函数，函数值符合图象的变化规律，结合以上分析，A正确，故选：A.7．设，为两个平面，为一条直线，且，则的充分条件是（

）A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行C．，平行于同一平面 D．，垂直于同一平面【答案】C【分析】对于A，内有一条直线与平行，但不一定与直线平行,由此判断A;对于B，无法确定以及，判断B;对于C，根据线面平行的性质，可判断；对于D,与可能平行､垂直或相交，判断D.【详解】对于A，内有一条直线与平行，但不一定与直线平行，结合线面平行的判定定理可知不一定平行，故A错误；对于B，内有无数条直线与平行，由于不能确定有两条相交直线与平行或一条直线与平行，故不一定平行，故B错误；对于C,当，平行于同一个平面时，设该平面为，因为，故一定有,否则若和相交，那么和必相交，与矛盾，故C正确，对于D，当，垂直于同一平面时，与可能平行､垂直或相交，故D错误；故选：C8．设，分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】]根据在中，，，结合双曲线中，，间的关系求得.【详解】如图，根据双曲线的对称性，过点作渐近线的垂线，垂足为，则，，因为，即，结合，且为的中点可知，，结合双曲线的定义可知，即，所以，则的离心率为.故选：A.9．记为等比数列的前项和，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，利用等比数列的求和公式以及基本性质可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，由可知，所以，.故选：B.10．已知函数的部分图象如图所示，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数图象的单调性和对称性可求出对称中心，结合最大值点可求出函数的最小正周期，从而求出；图象经过，可求出值，确定解析式即可求出函数值.【详解】由函数图象可知在上单调，且，得的一个对称中心为，即，结合为的最大值点可知，所以，由解得，所以，因为经过点所以，即，所以，，解得，当时，所以，所以故选：D11．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件可得在上单调递增，，，从而可根据函数的单调性比较大小【详解】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知，.由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增，所以，所以.故选：C12．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】作辅助线，根据抛物线的定义判断相关线段长度间的关系，结合角度关系及抛物线的定义求解，进而可求出结果.【详解】如图，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足为，，再过，分别作轴的垂线，垂足为，.根据抛物线的定义可知，.结合焦点到抛物线的准线的距离为2，在中，，在中，，即，解得.所以.故.故选：D.二、填空题13．已知向量，，若，则___________.【答案】【分析】根据平面向量的坐标运算求出，结合垂直向量的坐标表示计算即可.【详解】因为，，所以，又，则，解得.故答案为：.14．曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】利用导数的几何意义，即可求解.【详解】由曲线过点得，即，从而可知，求导可得，所以曲线在点处的切线斜率为，故切线方程为，即.故答案为：15．已知直四棱柱的所有顶点都在球的球面上，，，直四棱柱的体积为，则球的半径为___________.【答案】【分析】首先利用余弦定理求出，从而得到，即可求出底面四边形的面积，再根据柱体的体积公式求出直四棱柱的高，再求出底面四边形外接圆的半径，最后根据外接球的半径计算可得；【详解】解：如图，因为，，由余弦定理可得，因为，所以，由于，，，四点共圆，所以，又可知为等边三角形，则.而直四棱柱的体积为，故直四棱柱的高.又四边形外接圆半径，故球的半径为.故答案为：三、双空题16．记为等差数列的前项和，若，则___________，___________.（写出符合要求的一组答案即可）【答案】

1

11【分析】由等差数列的通项公式和前项和求解即可.【详解】设等差数列的公差为，可得，解得，故可填入，或，（满足，即可）.故答案为：，或，（满足，即可）.四、解答题17．为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”理念，某企业计划生产一批太阳能电池板，现有甲、乙两种生产工艺可供选择.为了解两种生产工艺所生产的电池板的质量情况，从中各随机抽取件进行质量检测，得到如下所示的频率分布直方图.并规定：综合得分质量等级二等品一等品(1)从这个甲工艺所生产的电池板中按质量等级分层抽样抽取个，再从这个中随机抽取个做进一步研究，求恰有个质量等级为一等品电池板的概率；(2)根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关？一等品二等品甲生产工艺乙生产工艺附：.【答案】(1)(2)有的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关，理由见解析【分析】（1）分析可知这个中质量等级为一等品的个数为，分别记为、、，质量等级为二等品的个数为，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】(1)解：从这个甲工艺所生产的电池板中，二等品的个数为个，一等品的个数为个，从这个甲工艺所生产的电池板中按质量等级分层抽样抽取个这个中质量等级为一等品的个数为，分别记为、、，质量等级为二等品的个数为，记为，从这这个中随机抽取个，所有的基本事件为：、、、、、，共种，其中，事件“所抽取的个中恰有个质量等级为一等品电池板”所包含的基本事件为：、、，共种，故所求概率为.(2)解：列联表如下表所示：一等品二等品甲生产工艺乙生产工艺所以，，所以，有的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关.18．的内角，，的对边分别为，，.已知，.(1)求的面积；(2)若，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先由余弦定理得到，再根据同角三角函数的基本关系求出、，即可求出，从而求出三角形的面积；（2）由（1）及余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可得解；【详解】(1)解：因为，即，又，所以，又，解得，或，因为，所以，由，所以，所以(2)解：由（1）知，，所以，因为，所以，由余弦定理，所以，即，解得或（舍去）所以，由正弦定理，所以，因为，所以为锐角，所以；19．如图，四棱锥的底面是矩形，，，，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知，可得，又由余弦定理可得，进而可得，又，可得平面，由，从而即可证明；（2）由即可求解.【详解】(1)证明：因为四棱锥的底面是矩形，，，所以，解得，因为，，所以由余弦定理可得，即，解得，又，所以，所以，又，，所以平面，因为，所以平面；(2)解：三棱锥的体积.20．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）由可得出，由结合判别式可判断出方程的根的个数，由此可证得结论成立.【详解】(1)解：函数的定义域为，.当时，则，由可得，由可得，此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，由可得或.①当时，，由可得或，由可得，此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；②当时，，由可得，由可得或，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.(2)解：由可得，因为，则，即关于的方程有两个不等的实根，所以，当时，在上有且仅有两个零点.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.21．已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率不为零的直线交于，两点，为椭圆左顶点.(1)求的方程；(2)设，的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意列出关于a,b,c的方程，解得答案;（2）讨论直线斜率是否存在，然后设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，进而表示出的表达式，化简，即可证明结论.【详解】(1)由题意得：，即，故解得，则椭圆方程为；(2)证明：由（1）可知，,右焦点为，当直线的斜率不存在时，方程为，此时不妨取,则；当当直线的斜率存在时，设方程为，联立，可得，，设，则，故而，故，综合以上，可知为定值.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆中的定值问题，解答时要注意直线的斜率是否存在的问题，解答的关键是联立方程，利用很与系数的关系式进行化简，计算稍显复杂，要多细心一些.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求和的直角坐标方程；(2)设点的直角坐标为，为上的动点，求中点的轨迹的极坐标方程.【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的普通方程为；(2)【分析】（1）消去参数，即可得到直线的普通方程，再由两角和的正弦公式及，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设，即可表示点坐标，再根据点在曲线上，代入的方程，即可得到点的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；【详解】(1)解