2023届四川省成都市高三下学期二诊模拟理科数学试题（一）

成都市高三数学二诊模拟理科试题（一）本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则等于（）A．B．C．D．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限记等差数列的前n项和为，若（）A．2B．4C．8D．164．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（）A．B．C．D．5．已知向量、为单位向量，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线7．函数的图象大致为（）ABCD8．执行如图所示的程序框图，输出的（）A．3 B．4 C．5 D．69．在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x,y满足，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知某几何体的三视图如下图所示，其中小方格是边长为1的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且与双曲线的一条渐近线垂直的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为（AC）A． B． C． D．12．已知，为函数的零点，，若，则（）A． B．C． D．与大小关系不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_______．14．已知数列的首项，其前n项和为，若，则_______．15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，，分别交y轴于P，Q两点，若的周长为16，则的最大值为________．16．在长方体中，，，点为线段上的一个动点，当为中点时，三棱锥的外接球表面积为_______；当取最小值时，_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数图像的一条对称轴是直线．（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3）画出函数在区间上的图像．18．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，是侧面上一点．（1）过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并证明；（2）设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．19．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0．040．060．040．080．080．050．050．070．070．060．6材积量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9并计算得．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．20．已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．（1）求E的方程；（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．21．已知函数有两个不同的零点x1，x2．（1）当时，求证：；（2）求实数a的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴，建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点（异于极点）的极径；（2）曲线的参数方程为（为参数）．若曲线和曲线相交于除极点以外的，两点，求线段的长度．参考答案1-5BDCBC6-10AABDD11-12CC13．分层抽样14．9615．16．；8．执行第一次循环，，，；执行第二次循环，，，；执行第三次循环，，，，此时输出．故选：B12．易知为函数的零点，又解之：，负根舍去；又，即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为切线方程为：过原点，此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，故选：C15.∵轴且过，则AB为双曲线的通径，由，代入双曲线可得，故.为的中点，，则为的中位线，故，又的周长为，则的周长为①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，当且仅当即时取等号.故答案为：416．当为中点时，取中点，连接，四边形为矩形，，，平面平面，平面平面，平面，平面；，的外接圆圆心为中点，设中点为，三棱锥外接球球心为，连接，则平面，作于，则四边形为平行四边形，设，，，，又，在和中，，解得：，三棱锥的外接球表面积；将侧面和对角面沿着展开，可得展开图如下图所示，则的最小值为，此时为与交点，，，，，，，；设，则，，即；，即；，，即，解得：，即，，，则，.17．解：（Ⅰ）的图像的对称轴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）由x0y－1010故函数O1-1O1-118．（1）过点作的平行线，分别交于点，过作的平行线，交于点，过作的平行线交于点，则截面为所求截面，证明如下：因为截面,截面,所以截面,因为截面,截面,所以截面．（2）因为平面，平面，所以，且，所以以为坐标原点，为轴建系如图，则所以，所以，又因为，所以，设平面的法向量为，所以令，所以，设与平面所成角为，则，整理得，解得（舍），．19．（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为（2）则（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为20．（1）∵，∴，∴，又，，∴，，∴椭圆E的方程为．（2）∵直线与的倾斜角互补，且交于点，∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．设，，则，，∴直线的方程为，直线的方程为，联立解得，，∴直线与交于点．设直线的方程为，与椭圆E的方程联立得，由题意得，，解得，又，，∴，∴直线与交于定点．21．（1）令，则．当时，所以在上单调递减．所以所以．（2），当时，，此时f（x）为增函数，不合题意；当时，，得，(舍)所以当，，f（x）单调递减；当，，f（x）单调递增．如果f（x）有两个不同的零点，必有，则，得，所以．此时，又此时，故在（）有一个零点：由（1）知，时，，令，解得，故当时，，故当时，，故在）上有一个零点，