2023届广西部分学校高三二轮复习阶段性测试数学（理）试题

2023届广西部分学校高三二轮复习阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简，再根据虚部的定义即可得解.【详解】，故所求虚部为.故选：A.2．若集合，则（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据补集的定义即可得解.【详解】解：依题意，，则或.故选：B.3．唐代数学家､天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长与太阳天顶距､表高h与太阳天顶距满足，记太阳天顶距为75°时晷影长为，太阳天顶距为45°时晷影长为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据晷影长､表高h与太阳天顶距满足求解.【详解】解：依题意：，故选：C.4．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．127 B．254 C．510 D．255【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则显然，因为所以，解得，由，得，所以.故选:D.5．二项式的展开式中含的项的系数为（

）A．-60 B．60 C．30 D．-30【答案】B【分析】求出二项式展开式的通项公式，利用，解得，即可求系数.【详解】的展开式的通项公式为，令，解得，故所求系数为.故选：B.6．已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】解：依题意，，故，当且仅当时等号成立.故选:A.7．已知函数且的图象过点，若当时，的值域中正整数的个数超过2023个，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据函数的单调性求出值域即可求解.【详解】依题意，；易知在上单调递增，当时，，此时正整数的个数是1027，当时，，此时正整数的个数是2051，故的最小值为11，故选：C.8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中利用边与角的关系可得，从而有，再求出离心率即可.【详解】因为，，所以，所以在中，，所以，所以，即，故，则，则，故，则，解得（舍去，故选：C.9．已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（

）A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍【答案】D【分析】根据已知条件可知，，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条件的来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得.【详解】依题意，，解得，故，则，而2，故，而，故.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到.故选：D.10．已知在一个表面积为24的正方体中，点在上运动，则当取得最小值时，（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据题意将平面翻折至与平面共面，根据，由时，有最小值求解.【详解】解：作出图形如下所示：依题意：，故，将平面翻折至与平面共面，因为，故当时，有最小值，此时，过点作平面的垂线，垂足为，由余弦定理得：，则.故选：A.11．在一节数学研究性学习的课堂上，老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积，步骤如下：第一步，绘制一个三角形；第二步，将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体；第三步，测算三个空间几何体的体积，若小明同学绕着的三条边AB，BC，AC旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，结合旋转体的体积求出三边的关系，再利用余弦定理求解作答.【详解】令的三边分别为，边上的高为，的面积为，则以直线为轴所得旋转体体积，有，于是，同理可得，则有，由余弦定理得.故选：C12．若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，利用其单调性比较b与c的大小；令，利用其单调性比较a与c的大小.【详解】解：令，则，当时，，故函数在上单调递减，故，即，即；令，则，当时，，故函数在上单调递增，故，即，故，则，故选：A.二、填空题13．已知在中，，则__________.【答案】【分析】利用平面向量的数量积的运算律求解.【详解】解：依题意，.故答案为：14．数列的前10项和为__________.【答案】【分析】利用裂项相消法进行求和即可.【详解】解：，故.故答案为：.15．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值可以是__________.（横线上给出一个满足条件的x的值即可）对工作满意对工作不满意男女附：，其中.【答案】（或中任意一个）【分析】根据卡方公式求出的取值范围，再根据且，即可得解.【详解】，解得，因为且，所以或或或或或.故答案为：（或中任意一个）16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，点、、、在抛物线上，，、、三点共线，、、三点共线，、、三点共线，则与的面积之比为__________.【答案】【分析】求出的值，设、、、，设出直线、的方程，将这两条直线的方程分别与抛物线的方程联立，结合韦达定理可得，，同理可得，再结合三角形的面积公式以及韦达定理可求得与的面积之比.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，则，因为，则，设点、、、，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，，则，同理可得，，故.故答案为：.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、解答题17．已知在：中，角所对的边分別为，且.(1)求的值；(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将条件转化为，再利用正弦定理得到化简求解；（2）根据结合，得到，且为钝角，然后利用余弦定理求解.【详解】（1）解：依题意，，故，由正弦定理得，即，故.（2）因为，所以为锐角，又，故，则，因为为钝角三角形，所以为钝角；因为，所以，解得，所以的取值范围为.18．某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题，店主打算扩充店面，为了确定扩充的位置大小，店主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数，所得数据统计如下图所示.(1)求高峰时段用餐人数的平均数以及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)以频率估计概率，从餐厅以往的所有营业时间中随机抽取4天，记高峰时段用餐人数在的天数为，求的分布列以及数学期望.【答案】(1)30.5；21(2)分布列见解析，【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数及方差公式可得答案；（2）由题可得用餐人数在的频率为，又的可能值为0，1，2，3，4，据此可得分布列及期望.【详解】（1）依题意，；；（2）由题，用餐人数在的频率为.的可能值为0，1，2，3，4.则，，.故的分布列为01234故.19．如图所示，在四棱锥中，，平面平面，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点.(1)证明：点平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明点平面，即证四点都在平面中，即点平面；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量与直线的方向向量，由线面角公式即可求得.【详解】（1）如图所示，延长交于点，因为，且，所以，连接，在中，分别为的中点，故与的交点为的重心，设为，所以，因为，所以点与点重合，所以四点都在平面中，即点平面.（2）解：取的中点为，连接，因为，故，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，（2）又，所以.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设则，设平面的一个法向量为，则即取，则；则直线与平面所成角的正弦值.20．已知椭圆与直线交于两点，且当时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上､下顶点分别为，若点在直线上，证明：点在直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式，建立方程，可得答案；（2）联立方程，写出韦达定理，根据直线方程，表示出点的坐标，结合斜率相等，可得答案.【详解】（1）解：当时，直线，联立，则，设，故，故化简可得，，解得舍去，故椭圆的标准方程为.（2）证明：易知，根据题意得直线，由，得，根据题意，恒成立，设.则，直线的方程为，令得，所以，因为，则直线的斜率分别为，，又，所以，所以点在直线上.21．已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(2)若函数，是的导函数，证明：存在唯一的零点，且.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）把函数有两个零点问题转化为方程有两根，分离参数，转化为直线与函数有两个交点问题，数形结合即可求解；（2）求导，构造函数，利用单调性及零点存在性定理证明存在唯一零点，利用函数最值符合证明不等式成立.【详解】（1）令，则，记，由题意，直线与函数有两个交点，因为，所以当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，而，，当时，，作出函数图象，如图:由图可知，，直线与函数有两个交点，即实数的取值范围为.（2）依题意，，的定义域为.，则，令，，显然在上单调递增，又，所以存在，使得，且时，，时，，因为，所以时，，时，，故存在唯一的零点；由得，所以.因此，当且仅当时等号成立.故有唯一的零点，且.22．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；(2)已知曲线上的两点的极坐标分别为，求面积的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程转化为极坐标方程和直角坐标方程即可.（2）极径的应用和三角函数求值域相结合求出面积的最大值.【详解】（1