高三数学多面体与球

高三数学多面体与球第1页，共19页，2023年，2月20日，星期四56《立体几何

－多面体与球》

第2页，共19页，2023年，2月20日，星期四要点·疑点·考点课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析多面体与球第3页，共19页，2023年，2月20日，星期四要点·疑点·考点一、多面体(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体.(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫正多面体.1.概念第4页，共19页，2023年，2月20日，星期四(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则它们的关系为V+F-E=2

2.

欧拉公式(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数或第5页，共19页，2023年，2月20日，星期四二、球(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球体.(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长(半径)的所有点的集合.1.概念第6页，共19页，2023年，2月20日，星期四(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；2.性质(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有如下关系：第7页，共19页，2023年，2月20日，星期四3.球面距离4.表面积与体积为A、B对球心的张角，R为球半径.)返回第8页，共19页，2023年，2月20日，星期四A1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()(A)(B)(C)(D)A2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系式是()(A)2F+V=4(B)2F-V=4(C)2F+V=2(D)2F-V=2课前热身第9页，共19页，2023年，2月20日，星期四A3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面多边形的内角总和为()(A)2160°(B)5400°(C)6480°(D)7200°A4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1的小正四面体，剩下的多面体的棱数为()(A)16(B)17(C)18(D)19第10页，共19页，2023年，2月20日，星期四A返回5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)()(A)R(B)(C)(D)第11页，共19页，2023年，2月20日，星期四能力·思维·方法1.已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发

现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有和第12页，共19页，2023年，2月20日，星期四2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上

的弧长等于(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离.第13页，共19页，2023年，2月20日，星期四【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点

的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关

键在于求两点的球心角的大小，利用弧长公式来求

出：L=θ•R即为所求球面距离.第14页，共19页，2023年，2月20日，星期四3.设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形

的内角总和为(V-2)•360°.【解题回顾】此题要大胆设各面为E1、E2…EF边形，

另外要知道E1+E2+…+EF=2E才行.第15页，共19页，2023年，2月20日，星期四4.三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.【解题回顾】正如三角形的内切圆经常与面积发生关

系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.返回第16页，共19页，2023年，2月20日，星期四延伸·拓展5.过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.(1)求证：MA2+MB2+MC2为定值；(2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方，即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直接用这个结论.(2)在球中的线段计算问题，常转化为小圆半径，大圆半径及球心到截面距离来解决.返回第17页，共19页，2023年，2月20日，星期四误解分析返回1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截面一般过多面体的对角线，