量子力学全同粒子

量子力学全同粒子第1页，共35页，2023年，2月20日，星期四（1）全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。（2）经典粒子的可区分性经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨道，在任意时刻都有确定的位置和速度。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子。1212（一）全同粒子和全同性原理第2页，共35页，2023年，2月20日，星期四（3）微观粒子的不可区分性微观粒子运动服从量子力学用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的（4）基本假设5：全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相交换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。第3页，共35页，2023年，2月20日，星期四（1）Hamilton算符的对称性N个全同粒子组成的体系，其Hamilton量为：调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。即：表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（qi,qj)后不变。（二）波函数的对称性质第4页，共35页，2023年，2月20日，星期四（2）对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时Shrodinger方程将方程中（qi,qj)调换，得：由于Hamilton量对于（qi,qj)调换不变表明：（qi,qj)调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。根据全同性原理：描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。第5页，共35页，2023年，2月20日，星期四再做一次（qi,qj)调换对称波函数反对称波函数引入粒子坐标交换算符第6页，共35页，2023年，2月20日，星期四全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。证方法I：设全同粒子体系波函数s在t时刻是对称的，由体系哈密顿量是对称的，所以Hs在t时刻也是对称的。在t+dt时刻，波函数变化为对称对称二对称波函数之和仍是对称的依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。同理可证：t时刻是反对称的波函数a，在t以后任何时刻都是反对称的。（三）波函数的交换对称性不随时间变化第7页，共35页，2023年，2月20日，星期四方法II：全同粒子体系哈密顿量是对称的结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。第8页，共35页，2023年，2月20日，星期四实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。（1）Bose子自旋为整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose子。如：光子（s=1）；介子（s=0）。（四）Fermi子和Bose子（2）Fermi子自旋为半奇数倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。第9页，共35页，2023年，2月20日，星期四（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子如：粒子（氦核）或其他原子核。如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类全同粒子来处理。偶数个Fermi子组成Bose子组成奇数个Fermi子组成奇数个Fermi子组成第10页，共35页，2023年，2月20日，星期四（一）2个全同粒子波函数（二）N个全同粒子体系波函数（三）Pauli原理全同粒子体系波函数

Pauli原理第11页，共35页，2023年，2月20日，星期四（1）对称和反对称波函数的构成I.2个全同粒子体系Hamilton量II.单粒子波函数（一）2个全同粒子体系波函数称为单粒子波函数。第12页，共35页，2023年，2月20日，星期四III.交换简并粒子1在i态，粒子2在j态，则体系能量和波函数为：验证：粒子2在i态，粒子1在j态，则体系能量和波函数为：第13页，共35页，2023年，2月20日，星期四IV.满足对称条件波函数的构成全同粒子体系波函数要满足对称性条件，而(q1,q2)和(q2,q1)仅当i=j二态相同时，才是一个对称波函数；当ij二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以(q1,q2)和(q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数：C为归一化系数显然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函数，本征值皆为：第14页，共35页，2023年，2月20日，星期四V.S和A的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，则(q1,q2)和(q2,

q1)也是正交归一化的。证：同理，而同理，证毕首先证明第15页，共35页，2023年，2月20日，星期四考虑S和A归一化则归一化的S：同理，归一化的A：上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况，当粒子间有互作用时，但是下式仍然成立归一化的SA依旧因H的对称性第16页，共35页，2023年，2月20日，星期四（1）Shrodinger方程的解上述对2个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，设粒子间无互作用，单粒子H0不显含时间，则体系单粒子本征方程：（二）N个全同粒子体系波函数第17页，共35页，2023年，2月20日，星期四（2）Bose子体系和波函数对称化2个Bose子体系，其对称化波函数是：1，2粒子在i，j态中的排列N个Bose子体系，其对称化波函数可类推是：N个粒子在i，j…k态中的排列归一化系数对各种可能排列p求和nk是单粒子态k上的粒子数第18页，共35页，2023年，2月20日，星期四例:N=3Bose子体系,，设有三个单粒子态分别记为1、2、

3，求：该体系对称化的波函数。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0III。n1=2，n2=1，n3=0。另外还有5种可能的状态，分别是：第19页，共35页，2023年，2月20日，星期四n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1第20页，共35页，2023年，2月20日，星期四附注：关于重复组合问题从m个不同元素中每次取n个元素（元素可重复选取）不管排列顺序构成一组称为重复组合，记为：（m可大于、等于或小于n）重复组合与通常组合不同，其计算公式为：通常组合计算公式：重复组合计算公式表明：从m个不同元素中每次取n个元素的重复组合的种数等于从（m+n-1）个不同元素中每次取n个元素的普通组合的种数。应用重复组合，计算全同Bose子体系可能状态总数是很方便的。如上例，求体系可能状态总数的问题实质上就是一个从3个状态中每次取3个状态的重复组合问题。第21页，共35页，2023年，2月20日，星期四（3）Fermi子体系和波函数反对称化2个Fermi子体系，其反对称化波函数是：行列式的性质保证了波函数反对称化推广到N个Fermi子体系：两点讨论：I.行列式展开后，每一项都是单粒子波函数乘积形式，因而A是本征方程H

=E的解.II.交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。此行列式称为Slater行列式。第22页，共35页，2023年，2月20日，星期四（1）二Fermi子体系其反对称化波函数为：若二粒子处于相同态，例如都处于i态，则写成Slater行列式两行相同，行列式为0（2）NFermi子体系（三）Pauli原理第23页，共35页，2023年，2月20日，星期四例题：设想两个无相互作用，处于无限深方势阱中的电子。如果一个电子处于n态，另一个处于l态，对n=l和nl两种情况构造体系的波函数。解：由于没有相互作用，体系的空间波函数可由单粒子波函数积构成当nl时，可构造对称和反称的空间波函数。对称空间波函数反称空间波函数当n=l时，仅能构造对称的空间波函数对称空间波函数体系的自旋波函数可由单电子的自旋波函数构成自旋单态和自旋三态反称自旋单态第24页，共35页，2023年，2月20日，星期四对称三态电子是费米子，体系的完整波函数应该是反对称的，所以当nl时，体系的波函数为单态三态当n=l时，体系的波函数为单态第25页，共35页，2023年，2月20日，星期四nln=l第26页，共35页，2023年，2月20日，星期四交换力我们来求两个粒子坐标差平方的期待值可区分粒子所以第27页，共35页，2023年，2月20日，星期四2.如果是全同粒子，必须用对称或反称的空间波函数，这时有同样有其中第28页，共35页，2023年，2月20日，星期四显然对全同粒子有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项这告诉我们什么？和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同粒子，如果空间波函数为对称的（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而空间波函数为反称时（取下面的-号项）更趋向于相互远离。

全同粒子的波函数将会出现一些有趣的现象。整个系统好像受到外力的作用：对对称空间波函数，这个力是吸引力，把粒子拉近；对反称空间波函数，这个力是排斥力，让粒子相互远离。我们把这个力称为交换力，虽然事实上并不存在这样的一个力（因为并没有任何施力物存在并作用于粒子）；它仅仅是对称性要求导致的一个几何结果。它也是一个严格的量子力学的现象，在经典力学当中并没有对应。然而，它却导致了一些意义深远的结果。

第29页，共35页，2023年，2月20日，星期四1.共价键：两个电子的空间波函数是对称的，自旋波函数是反称的（自旋单态），所以交换力是把两个电子互相靠近。自旋单态是成键态。而自旋三态，由于空间波函数必是反称的，不利于成键。2.波色-爱因斯坦凝聚：波色子不受泡利不相容原理的限制，许多波色子可以处于相同的状态上（自旋一样，仅能构成对称自旋波函数）所以空间波函数也必须是对称的，这样交换力是波色子相互靠近，产生凝聚现象。第30页，共35页，2023年，2月20日，星期四元素周期表对于原子质量更大的原子，一个原子中有很多电子。那么这样原子的基态是如何？或者说原子的基态电子组态（电子在个能级上是如何分布的，并且这种分布使体系的能量最低同时要满足泡利不相容原理）。在多电子体系中，严格的定态薛定谔方程是很难得到的，但是与类氢原子一样，仍然存在类似单粒子的原子态（n,l,m）,我们称之为轨道，余下的问题就是如何把电子一次填充到轨道上。由于电子是费米子，因为受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下——或者更精确地说，处于自旋单态）。所以，n=1这个壳层能容纳两个电子，n=2壳层能容纳8个，n=3容纳18个，即第n个壳层可以容纳2n2个电子。定性的看，周期表的每一横行将相应的填满每一个壳层（如果事实就是这样，周期表各行的长度将分别为2，8，18，32，50等，而不是2，8，8，18，18等；但马上我们就会看到电子间的排斥力作用是如何把多出来的情况给排除掉的）。第31页，共35页，2023年，2月20日，星期四氦原子的n=1壳层是被填满的，所以下一个原子：锂原子（Z=3）不得不把一个原子放进n=2的壳层。对于n=2，可以有l=0或l=1；那么这第三个电子到底选择哪个l呢？在不考虑电子间相互作用时，两个l将具有相同的能量（因为它们的玻尔能量决定于n，而不是l）。但排斥力的存在将倾向于选择l较小的情况。因为角动量趋向于将电子向外抛出，电子越靠外面，它里面的电子对原子核的屏蔽效应就越明显（粗略而言，最内层电子可以感受到核子的有效电荷大小为Ze，而最外面的电子感受到的核子有效电荷很难大于e）。所以，在一个壳层内，能量最低的状态（也就是结合最紧的电子）是l=0的情况，当l增大时，能量也随之增大。正因为这个原因，锂原子的第三个电子态为（2，0，0）。再下一个原子（铍原子，Z=4），的第四个电子也将填入这个能态（取和第三个电子相反的自选方向），但对于接下来的Z=5的硼原子，它就不得不利用l=1的能态了。接下来，当进行到Z=10的氖原子时，n=2的壳层将被填满，下面的将是周期表的第三横行并开始在n=3的壳层安排电子。首先，l=0的元素有两个（钠和镁），l=1的有六个（从铝到氩）。在氩后面本该有10个n=3，l=2的原子；但是此时的屏蔽效应已经强到可以和下一个壳层发生了重叠，所以从Z=19的钾原子到Z=20的钙原子选择了n=4，l=0的能态而不是n=3，l=2。接下来我们跳回去安排n=3，l=2的几个原子（从钪到锌），接下来的是n=4，l=1（从镓到氪），我们再次提前跳到下一行（n=5）l=1，然后之后再回到n=4，l2，3轨道填满n=4壳层。第32页，共35页，2023年，2月20日，星期