2023年陕西省西安市长安区铁一中湖滨学校中考数学四模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市长安区铁一中湖滨学校中考数学四模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算1−|−3|的结果是(

)A.−2 B.2 C.4 D.−42.2023年2月9日，全国报告新冠病毒抗原检测结果，当天抗原检测阳性人数为19.2万.将19.2万用科学记数法表示为(

)A.19.2×104 B.192×103 C.3.计算(−12a)(2a2−2A.−24a3+8a2 B.−24a4.如图，在△ABC中，∠C=35°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE/​/AB，交BC于点E，若∠BDE=32°30′，则∠A的度数是(

)A.80°28′

B.80°

C.80°32′

D.81°5.已知正比例函数y=kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y=−2kx+k的图象所经过的象限是(

)A.一、二、四 B.一、二、三 C.一、三、四 D.二、三、四6.如图，正方形ABCD的边长为4，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，若AM=2，则△BCM的面积为(

)A.5

B.6

C.7

D.87.如图，等边三角形ABC的顶点B、C在⊙O上，A在⊙O内，OD⊥AC于D点，⊙O的半径为7，OD=32，则等边三角形的边长AB为A.6

B.26

C.328.将抛物线y=13x2先向右平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，顶点是C点，连接AC、BC，则A.13 B.22 C.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15分）9.实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则a+b

0.(填“>”“<”“=”)10.如图所示，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形.O，A，B分别是小正方形的顶点，则AB的长等于

.(结果保留根号及π)．

11.如图所示，将长方形ABCD沿图中标示的DE折叠，点E在AB边上，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG=54°，则∠DEG的度数为______．

12.已知直线y=−2x+4与双曲线y=2x相交于点(m,n)，则1m+213.如图，已知四边形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC、BD交于点H，BH=4，HD=2.若CHAH=2，则AH的最大值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.(本小题分)

计算：(−2)2−15.(本小题分)

解方程：x−8x−7−8=116.(本小题分)

先化简，再求值：x2−9x2+6x+917.(本小题分)

如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.用尺规作图作AB边上一点D，使CD=DB.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)．18.(本小题分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD上，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，证明：BE=DF．19.(本小题分)

湖滨中学举办一年一度的商贸街活动，卓越同学准备用不超过1054元购进40套考试专用的A，B两种套装，其中A种套装每套进价25元，B种套装每套进价28元，A种每套售价30元，B种每套售价32元，预计销售额不低于1232元，设A种套装购进x套，请你设计出所有的进货方案．20.(本小题分)

甲、乙两人玩转盘游戏，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘A，B，A转，盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90°，B转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．

(1)转动转盘A，指向的数字为1的概率是______；

(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平.若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？21.(本小题分)

新冠过后人们的生活逐渐恢复正常，家长们会选择去自然环境较好的地方“遛娃”.如图所示，是无动力游乐场内一个小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴中心B到地面的距离为3m.在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离为2m，点A到地面的距离为1.8m；当从A处摆动到A′处时，有∠A′BA=90°．

(1)求A′到BD的距离；

(2)求A′到地面的距离．22.(本小题分)

某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩(单位：分)绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：

(1)请补全条形统计图；所调查学生测试成绩的中位数为______；众数为______；

(2)所调查学生测试成绩的平均数为多少？

(3)若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？23.(本小题分)

一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时(单位：小时)，y表示水位高度(单位：米)．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx(k≠0)．

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．

(2)当水位高度达到24.(本小题分)

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．

(1)求证：DA=DB；

(2)连接BE，OD，交点为F，若cosA=45，BC=6，求OF的长．25.(本小题分)

已知抛物线L：y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于点C，且抛物线L的对称轴为直线x=1．

(1)抛物线的表达式；

(2)若抛物线L′与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L′与x轴交于点E，F两点(点E在点F左侧)，要使S△ABC26.(本小题分)

我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角，如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C对线段AB的视角.如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点D(0,4)，E(0,1).⊙P为过D，E两点的圆，F为⊙P上异于点D，E的一点．

(1)如果DE为⊙P的直径，那么点F对线段DE的视角∠DFE=______；

(2)如果点F对线段DE的视角∠DFE为45度，那么⊙P的半径为多少？

(3)点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠DGE最大时，求点G的坐标．

答案和解析1.【答案】A

解：原式=1−3=−2，

故选：A．

先求绝对值，再算减法即可．

本题考查了有理数的减法，绝对值的定义，解题时注意运算顺序．

2.【答案】C

解：19.2万=192000=1.92×105．

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n3.【答案】C

解：原式=−12a⋅2a2−(−12a)⋅23a+(−12a)⋅564.【答案】B

解：∵DE//AB，

∴∠ABD=∠BDE=32°30′，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD=2×32°30′=65°．

在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，

∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−65°−35°=80°．

故选：B．

由DE/​/AB，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠ABD的度数，结合角平分线的定义，可求出∠ABC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数．

本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．

5.【答案】A

解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，

∴k>0，

∴一次函数y=−2kx+k的图象经过一、二、四象限．

故选：A．

先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．

本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时函数的图象在一、二、四象限．

6.【答案】B

解：作ME⊥BC于点E，则∠BEM=90°，

∵AM⊥BN于点M，

∴∠AMB=90°，

∵四边形ABCD是边长为4的正方形，

∴AB=BC=4，∠ABC=90°，

∵AM=2，

∴sin∠ABM=AMAB=24=12，BM=AB2−AM2=42−22=23，

∴∠ABM=30°，

∴∠MBC=∠ABC−∠ABM=60°，

∴EM=BM⋅sin60°=23×32=3，

∴7.【答案】D

解：连接OA，OB，OC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵OB=OC，OA=OA，

∴△ABO≌△ACO(SSS)，

∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=12×60°=30°，

∴OA=2OD，

∵OD=32，

∴OA=3，

∴AD=OA2−OD2=(3)2−(32)2=32，

在Rt△ODC中，∵OC=7，

由勾股定理得：CD=8.【答案】D

解：将抛物线y=13x2先向右平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度，

平移后抛物线解析式为y=13(x−3)2−9，

∴顶点C的坐标为(3,−9)，对称轴为直线x=3，

令y=0，则13(x−3)2−9=0，

解得x1=−23，x2=43，

∴A(−23,0)，B(43,0)，

过点C9.【答案】>

解：由a，b两点在数轴上的位置可知，a<0<b，−a<b，

∴a+b>0．

故答案为：>．

先根据题意判断出a，b的符号及绝对值的大小，进而可得出结论．

本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．

10.【答案】2解：

∵AC=OC=OD=BD=2，

∠C=∠D=90°，

∴∠AOC=∠BOD=45°，

∴∠AOB=90°，

由勾股定理得：AO=22+22=22=BO，

则AB的长度为90π×22180=2π11.【答案】72°

解：∵∠CDG=54°，

∴∠ADG=90°−∠CDG=90°−54°=36°，

又∵∠ADE=∠GDE=12∠ADG=12×36°=18°，∠DAE=∠DGE=90°，

∴∠DEG=90°−∠GDE=90°−18°=72°．

故答案为：72°．

由已知可知∠CDG=54°12.【答案】2

解：∵直线y=−2x+4与双曲线y=2x相交于点(m,n)，

∴n=−2m+4，n=2m，

∴n+2m=4，mn=2，

则1m+2n=n+2mmn=42=2．

故答案为：13.【答案】1+解：如图，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OH，过点O作OE⊥BD于E．

∵BH=4，HD=2，

∴BD=4+2=6，

∵∠BOD=2∠BCD=120°，OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB=30°，

∵OE⊥BD，

∴BE=ED=3，

∴OE=BEtan30°=3，OB=2OE=23，

∴HE=BH−BE=4−3=1，

∴OH=12+(3)2=2，

∵HC≤OH+OC，

∴HC≤2+23，

∴HC的最大值为2+23，

∵HC=2AH，

∴AH的最大值为1+3，

故答案为：1+3．

如图，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC14.【答案】解：(−2)2−3tan30°+(−3)0−(13【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．

本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

15.【答案】解：x−8x−7−8=17−x．

去分母得：x−8−8(x−7)=−1，

移项合并得：−7x=−49，

解得：x=7，

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

16.【答案】解：原式=(x+3)(x−3)(x+3)2÷(x+3x+3−3x+3)

=【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

17.【答案】解：如图，以C点为圆心，CB为半径画弧交AB于D点，

则点D为所作．

【解析】以C点为圆心，CB为半径画弧交AB于D点，则CD=CB，由于∠C=90°，∠A=30°，所以∠B=60°，于是可证明△CBD为等边三角形，所以CD=BD．

本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的判定与性质．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD．

∴∠ABE=∠CDF．

∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，

∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD．

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠BAE=∠DCF．

在△BAE与△DCF中，

∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF，

【解析】先由平行四边形的性质得到AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，求得∠ABE=∠CDF，再证△ABE≌△CDF(ASA)，然后由全等三角形的性质即可得到结论．

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．

19.【答案】解：∵卓越同学共购进40套考试专用的A，B两种套装，且A种套装购进x套，

∴B种套装购进(40−x)套．

根据题意得：25x+28(40−x)≤105430x+32(40−x)≥1232，

解得：22≤x≤24，

又∵x为正整数，

∴x可以为22，23，24，

∴卓越同学共有3种进货方案，

方案1：购进A种套装22套，B种套装18套；

方案2：购进A种套装23套，B种套装17套；

方案3：购进A种套装24套，B种套装16套．【解析】由购进两种套装的数量及购进A种套装的数量，可得出B种套装购进(40−x)套，利用总价=单价×数量，结合进货总价不超过1054元且销售总额不低于1232元，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各进货方案．

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

20.【答案】14解：(1)∵A盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90°，

∴A盘中数字1所对扇形区域占整体的90360=14，

∴转动转盘A，指向的数字为1的概率是14，

故答案为：14；

(2)如图，将A盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下：

共有12种等可能出现的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种，

所以甲获胜的概率为712，乙获胜的概率为512，

所以这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大．

(1)求出A盘中数字121.【答案】解：(1)如图2，作A′F⊥BD，垂足为F．

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=∠A′FB=90°；

在Rt△A′FB中，∠1+∠3=90°；

又∵∠A′BA=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3；

在△ACB和△BFA′中，

∠ACB=∠A′FB∠2=∠3AB=A′B，

∴△ACB≌△BFA′(AAS)；

∴A′F=BC

∵AC/​/DE且CD⊥AC，AE⊥DE，

∴CD=AE=1.8；

∴BC=BD−CD=3−1.8=1.2，

∴A′F=1.2，

即A′到BD的距离是1.2m．

(2)由(1)知：△ACB≌△BFA′，

∴BF=AC=2m，

作A′H⊥DE，垂足为H．

∵A′F//DE，

∴A′H=FD，

∴A′H=BD−BF=3−2=1，

即A′到地面的距离是1m．【解析】(1)作A′F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；

(2)根据全等三角形的性质解答即可．

本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】9

10

解：(1)抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，

所以本次抽样人数为：10÷20%=50(人)，

因为成绩9分的人数占抽样人数的24%，

所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%=12(人)．

补全条形统计图如下：

把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9，所以该组数据的中位数为：9；

该组数据中，10分出现的次数最多，所以众数为：10．

故答案为：9，10．

(2)平均数：4×4+8×7+10×8+12×9+16×1050=8.4(分)．

(3)由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：20%+24%+32%=76%，

所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：1500×76%=1140(人)．

答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人．

(1)根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；利用中位数、众数的求法，直接求值即可；

(2)利用平均数的求法，直接求值即可；

(3)先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．

本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键．23.【答案】解：(1)函数的图象如图所示：

根据图象可知：选择函数y=kx+b，

将(0,1)，(1,2)代入，

得b=1, k+b=2, 

解得k=1, b=1.

∴函数表达式为：y=x+1(0≤x≤5)；

(2)当y=5时，x+1=5，

∴x=4．

答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．【解析】(1)根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表达式；

(2)结合(1)的函数表达式，代入值即可解决问题．

本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．

24.【答案】(1)证明：连接OE，如图，

∵∠ABC=90°，

∴BC⊥AB，

∵BC为直径，

∴AB为⊙O的切线，

∵DE为⊙O的切线，

∴DE=DB，

∵OB=OE，

∴OD垂直平分BE，

∵BC为直径，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥AC，

∴OD/​/AC，

∴AD：BD=CO：BO=1：1，

∴AD=BD；

(2)解：∵∠A+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，

∴∠CBE=∠A，

∴cos∠CBE=cosA=45，

∵BC=6，

∴OB=3，

在Rt△OFB中，∵cos∠OBF=BFOB=【解析】(1)连接OE，如图，先证明AB为⊙O的切线，所以根据切线长定理得到DE=DB，则OD垂直平分BE，再根据圆周角定理得到∠BEC=90°，则可判