量子力学第六章

量子力学第六章第1页，共58页，2023年，2月20日，星期四第2页，共58页，2023年，2月20日，星期四

波函数随时间的演化可用Green函数来实现。格林函数的含义是：时刻，粒子处于

，则时刻，处发现粒子的几率密度振幅就是，即

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B．粒子数守恒在非相对论的情况下，波函数应满足方程这即要求，凡满足Schrodinger’eq.的波函数，必须满足上式。若取

第4页，共58页，2023年，2月20日，星期四则

称为几率流密度矢。这即为几率守恒的微分形式。

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C.多粒子体系的薛定谔方程设：体系有个粒子，质量分别为，所处的位势为，相互作用为，则其中第6页，共58页，2023年，2月20日，星期四

Ⅱ.不含时间的薛定谔方程，定态问题

我们已介绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关。（1）

不含时间的薛定谔方程

由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。第7页，共58页，2023年，2月20日，星期四

即H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：

其中

方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。根据态叠加原理

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是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为第9页，共58页，2023年，2月20日，星期四通常称

（其中）为定态波函数。对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数C才与t无关。否则与t有关。（2）定态：

A.定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数

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B.定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关，则

1．体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为0（即无几率源）。这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率密度分布不变。第11页，共58页，2023年，2月20日，星期四

2．几率流密度矢，不随时间变化。

3.任何不含t的力学量在该态的平均值不随时间变化。第12页，共58页，2023年，2月20日，星期四

4.任何不显含t的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。

第13页，共58页，2023年，2月20日，星期四§2.6测不准关系由于粒子应由态函数来描述。因此，就不能像经典那样以每时刻

，来描述（事实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定取一个值）。但是否仍能像经典那样在处发现粒子具有动量呢？

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W.Heisenberg指出：当我们测量客体的动量如有一测不准度（即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同时，不可能预言它的位置比更精确。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足类似

这称为Heisenberg测不准关系。

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应该注意：这是实验的结果;当然也是波一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。我们将从几个方面来论述它:（1）一些例子：

A.

具有确定动量（一维运动）的自由粒子，是以

来描述，其几率密度

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所以，对任何

处的相对几率都相同。也就是说，发现粒子在区域中的几率都相同。所以，的不准确度为

，虽，但不违背测不准关系。

B．如一个自由粒子是由一系列沿x方向的平面波叠加而成的波包描述。设：Δk很小，变化很缓慢，可近似取为

第17页，共58页，2023年，2月20日，星期四所以，

第18页，共58页，2023年，2月20日，星期四第19页，共58页，2023年，2月20日，星期四

这是具有一定形状沿x方向传播的波包。波包的极大值位置为

，所以它移动的速度

即粒子的速度，如前述称为群速度。在时，位相为

第20页，共58页，2023年，2月20日，星期四在时，位相也为

所以，位相传播速度

，如前述称为相速度。这个波包扩展度的区域不是任意小，即

第21页，共58页，2023年，2月20日，星期四第22页，共58页，2023年，2月20日，星期四于是有所以要波包仅局限于空间一定区域，相应的扩展度不可能任意小；当的扩展度一定时，那波包的扩展度也不可能任意小。

（2）一些实验：

A．位置测量：一束电子平行地沿方向入射，通过窄缝，从而测出方向的位置。在方向有一不确定度Δy=a，而人们认为

第23页，共58页，2023年，2月20日，星期四但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电子数的多少显示出干涉图象（电子数的大小），这一单缝干涉的第一极小为即通过单缝后，电子在方向的动量不再为0，

第24页，共58页，2023年，2月20日，星期四而在0附近有一宽度所以，当测量y的位置越精确（即a越小），那动量在y方向越不精确，它们的精确度至少要满足

B．用显微镜测量电子的位置：一束具有确定动量的电子沿x轴运动。用显微镜观察被电子散射的光束来测量电子的位置。但成的像是一衍射斑点。所以，显微镜的分辩率为（即电子位

第25页，共58页，2023年，2月20日，星期四置的精度）事实上，光子是一个个到达屏上（）

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（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果因波－粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。用来描述物质粒子时，它总可以表为由Fourier逆变换有

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从Fourier变换理论知：的扩展范围（即有意义的区域）和它的富氏变换所扩展的范围不能同时任意小。几率解释＋态叠加原理给出了Fourier变换理论用在量子力学波函数时的物理含意。第28页，共58页，2023年，2月20日，星期四（4）能量－时间测不准关系

A．能量－时间测不准关系：在狭义相对论中，，都看作四度矢，所以有测不准关系，即推测也应有。当固定t时，有

第29页，共58页，2023年，2月20日，星期四现固定x，有

B．能量－时间测不准关系的物理含意

1．在空间固定处，发现体系如有一不确定的时间间隔Δt，那该体系的能量必有一扩展度ΔE，且有。

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例如：若一个自由粒子的波包宽，它通过所需时间。所以，在间隔内，都有可能在处发现粒子。由所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确定值，而是有一扩展度。第31页，共58页，2023年，2月20日，星期四

2．体系几率分布发生大的改变需时间Δt，那体系的能量不确定度为，使

例1：定态：其几率分布不随时间变，所以要使这一分布发生变化，则要求，所以（即具有确定能量）。例2：若体系的波函数为

第32页，共58页，2023年，2月20日，星期四所以几率分布在和之间振荡，振荡周期。所以体系几率分布发生明显变化的时间间隔

，即。第33页，共58页，2023年，2月20日，星期四

3．若体系能量有一不确定度ΔE，体系保持不变的平均时间不小于例：不稳定体系的能级有一定宽度，所以，平均寿命。

（5）一些应用举例：测不准关系可用作一些问题的数量级的估计

A．类氢离子的基态能量估计：设：类氢离子的电子轨道半径为r（在一第34页，共58页，2023年，2月20日，星期四平面中），所以，不确定度。因此，于是，

由

所以，

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B.考虑重力下粒子的“静止”

现作一简单的估计:经典“基态”是静止的。而量子粒子其位置有一不确定度，动量也有一不确定度。所以，，第36页，共58页，2023年，2月20日，星期四所以，对于经典物理学，则认为

z=0。而对于量子粒子则为

i.

尘粒：,;ii.电子：。

C.介子质量的预言核子与介子场相互作用而导致与另一核子作用。如核力是通过核子交换新的量子（介子）来实现。若该介子的静止质量为μ，则核子在发射前后有一能量不确定度（改变），i.

第37页，共58页，2023年，2月20日，星期四其最小的值为。因此时间有一（最大）不确定度（由于动能改变没计入，所以能量改变以最小估计。因而时间不确定度，即体系保持不变的平均时间是最大估计）即的范围内的任何时间发射介子都有较大的几率。可在这一段时间内，任一时间发射，可移动的最大距离或在最远处而被第38页，共58页，2023年，2月20日，星期四另一核子吸收（下一时刻将发射另一介子），所以二核子交换一个介子的相互作用的最大力程（即介子的康普顿波长的）。实验测得核力力程为1.4fm。所以，

第39页，共58页，2023年，2月20日，星期四即得

（实验值为139MeV）就我个人的看法：

测不准关系是对两个物理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定度）关系的约束，它不是测量的影响。

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第三章一维定态问题

现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势且位势有一定性质时，如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础。第41页，共58页，2023年，2月20日，星期四§3.1一般性质

设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为，于是有

（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。简并度（degeneracy）：一个力学量的某个测量值，可在n个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一测量值是具有n重简并度。第42页，共58页，2023年，2月20日，星期四

如某能量本征值有n个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n重简并的。证：假设,是具有同样能量的波函数

(1)

(2)第43页，共58页，2023年，2月20日，星期四从而得

于是

(c是与x无关的常数)对于束缚态

（或在有限区域有某值使），所以c＝0。从而有

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若不是处处为零，则有应当注意:

ⅰ.

分立能级是不简并的，而对于连续谱时，

第45页，共58页，2023年，2月20日，星期四若一端，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。

ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数c≠0）。

ⅲ．当V(x)有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致处处为零。

第46页，共58页，2023年，2月20日，星期四推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。证

令

（

都是实函数）则

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但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而

Rn和In应是线性相关的，所以因此，

第48页，共58页，2023年，2月20日，星期四（2）不同的分立能级的波函数是正交的。

（1）

（2）第49页，共58页，2023年，2月20日，星期四所以

从而证明得

。（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（即有n个x点使