非线性方程迭代法

非线性方程迭代法第1页，共22页，2023年，2月20日，星期四迭代法/Fixed-PointIteration

/f(x)=0x=g(x)等价变换f(x)的根g(x)的不动点思路从一个初值x0

出发，计算x1=g(x0),x2=g(x1),…,xk+1=g(xk),…若收敛，即存在x*使得

，且g连续，则由可知x*=g(x*)，即x*是g的不动点，也就是f

的根。迭代法几何意义如下第2页，共22页，2023年，2月20日，星期四xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1第3页，共22页，2023年，2月20日，星期四定理（充分条件）考虑方程x=g(x),g(x)C[a,b],若(I)当x[a,b]时，g(x)[a,b]；(II)0L<1使得

|g’(x)|L<1对x[a,b]成立。则任取x0[a,b]，由xk+1=g(xk)得到的序列收敛于g(x)在[a,b]上的唯一不动点。并且有误差估计式：(k=1,2,…)且存在极限第4页，共22页，2023年，2月20日，星期四证明：①g(x)在[a,b]上存在不动点？令有根②不动点唯一？反证：若不然，设还有，则在和之间。而③当k

时，

xk收敛到x*？第5页，共22页，2023年，2月20日，星期四④⑤⑥可用来控制收敛精度L越收敛越快小注：定理条件非必要条件，可将[a,b]缩小，定义局部收敛性：若在x*的某领域B={x||xx*|}有gC1[a,b]且|g’(x*)|<1，则由x0B开始的迭代收敛。即调整初值可得到收敛的结果。第6页，共22页，2023年，2月20日，星期四设在区间[a,b]上方程x=φ(x)有根x*,且对一切x∈[a,b]都有|φ’(x)|≥1，则对于该区间上任意x0(≠x*),迭代公式xk+1=φ(xk)一定发散。证明:不可能收敛于0。定理第7页，共22页，2023年，2月20日，星期四改进、加速收敛/acceleratingconvergence/

待定参数法：若

|g’(x)|1，则将x=g(x)等价地改造为求K，使得例：求在(1,2)的实根。如果用进行迭代，则在(1,2)中有现令希望，即在(1,2)上可取任意，例如K=0.5，则对应即产生收敛序列。第8页，共22页，2023年，2月20日，星期四

Aitken加速：xyy=xy=g(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)一般地，有：比收敛得略快。

Steffensen加速：详见P273第9页，共22页，2023年，2月20日，星期四定理（牛顿法收敛的充分条件）设f

C2[a,b]，若(1)f(a)f(b)<0；(2)在整个[a,b]上f”不变号且f’(x)0；(3)选取x0

[a,b]使得f(x0)f”(x0)>0；则Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到f(x)在[a,b]的唯一根。有根根唯一产生的序列单调有界，保证收敛。定理（局部收敛性）设f

C2[a,b]，若x*

为f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足第10页，共22页，2023年，2月20日，星期四证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：只要f’(x*)0，则令可得结论。在单根

/simpleroot/

附近收敛快第11页，共22页，2023年，2月20日，星期四牛顿迭代法的改进与推广重根/multipleroot/

加速收敛法：Q1:

若，Newton’sMethod是否仍收敛？设x*是f

的n

重根，则：且。因为Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代，其中，则A1:

有局部收敛性，但重数n

越高，收敛越慢。Q2:

如何加速重根的收敛？A2:

将求

f

的重根转化为求另一函数的单根。令，则f

的重根=

的单根。第12页，共22页，2023年，2月20日，星期四正割法/SecantMethod/

：Newton’sMethod

一步要计算f

和f’，相当于2个函数值，比较费时。现用f

的值近似f’，可少算一个函数值。x0x1切线

/tangentline/割线

/secantline/切线斜率

割线斜率需要2个初值x0

和x1。收敛比Newton’sMethod慢，且对初值要求同样高。第13页，共22页，2023年，2月20日，星期四下山法/DescentMethod/

——Newton’sMethod

局部微调：原理：若由xk

得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1注：=1时就是Newton’sMethod公式。当=1代入效果不好时，将减半计算。第14页，共22页，2023年，2月20日，星期四求复根/FindingComplexRoots/

——

Newton公式中的自变量可以是复数记z=x+iy,z0

为初值，同样有设代入公式，令实、虚部对应相等，可得第15页，共22页，2023年，2月20日，星期四迭代法的收敛阶

/OrderofConvergence/定义

设迭代xk+1=g(xk)收敛到g(x)的不动点x*。设ek=xk

x*，若，则称该迭代为p

阶收敛，其中C

称为渐进误差常数。/{xk}convergesto

x*oforder

p,withasymptoticerrorconstant

C>0/一般Fixed-PointIteration有，称为线性收敛

/linearconvergence/，这时p=1，0<C<1。注：超线性收敛不一定有p>1。例如xn

=1/nn超线性收敛到0，但对任何p>1都没有

p

阶收敛。Aitken加速有。称为超线性收敛

/superlinearconvergence/。第16页，共22页，2023年，2月20日，星期四Steffensen加速有p=2，条件是，称为平方收敛

/quadraticconvergence/。Newton’sMethod有，只要，就有p

2。重根是线性收敛的。Q:

如何实际确定收敛阶和渐进误差常数？定理设x*

为x=g(x)的不动点，若，p2；，且，则xk+1=g(xk)在内p

阶收敛。证明：x*k

C详见P271第17页，共22页，2023年，2月20日，星期四第18页，共22页，2023年，2月20日，星期四第19页，共22页，2023年，2月20日，星期四第20页，共22页，2023年，2月20日，星期四一种迭代法具有实用价值，首先要求它是收敛的，其次还要求它收敛得比较快。设迭代过程收敛于的根,记迭代误差若存在常数p（p≥1）和c（c>0），使