统计量及其抽样分布

样本统计量在简单随机抽样中，样本具有随机性，样本的参数,s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样本的函数，记为T（x1,x2,……,xn），称为样本统计量。统计量的概率分布称为抽样分布（Sampledistribution）目前一页\总数二十一页\编于二十点标准正态分布引出的三个重要统计量分布目前二页\总数二十一页\编于二十点

X1，X2，…Xn相互独立且均为服从N(0，1)分布的随机变量，则称随机变量

所服从自由度为n的分布，且记为：2分布

(2

distribution)目前三页\总数二十一页\编于二十点分布的变量值始终为正;分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称;期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度);可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布;2分布

(性质和特点)目前四页\总数二十一页\编于二十点c2分布

(图示)c2n=1n=4n=10n=20当n→∞，c2分布的极限分布是正态分布目前五页\总数二十一页\编于二十点

设随机变量X服从标准正态分布，随机变量Y服从自由度为n的分布，且X与Y相互独立，则称随机变量： 服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）t分布

（Students分布）目前六页\总数二十一页\编于二十点x(学生)t

分布

Student’stDistribution0t(df=5)标准正态

t(df=13)钟形对称尾部较大当n≥30，t分布与标准正态分布非常接近目前七页\总数二十一页\编于二十点设若U为服从自由度为n的2分布，即U~2(n)，V为服从自由度为m的2分布，即V~2(m),且U和V相互独立，则

称F为服从自由度n和m的F分布，记为F分布

(F

distribution)目前八页\总数二十一页\编于二十点F分布

(图示)F（1,10)(5,10)(10,10)当x服从t（n）分布，x2服从F（1，n）分布目前九页\总数二十一页\编于二十点样本均值的分布总体服从正态分布N（m,s2）,样本均值的抽样分布仍为正态分布，即：的期望值与总体均值相同，而方差缩小为总体方差的1/n目前十页\总数二十一页\编于二十点中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为的正态分布。一个任意分布的总体X目前十一页\总数二十一页\编于二十点中心极限定理

(centrallimittheorem)的分布趋于正态分布的过程目前十二页\总数二十一页\编于二十点中心极限定理的应用例：某厂商声称其生产的电瓶具有均值为60个月、标准差为6个月的寿命分布。质检部门为检验该厂的说法是否正确，随机抽取50个该厂生产的电瓶进行寿命实验。（1）：假定该厂商声称是正确的，试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。（2）：假定该厂商声称是正确的，50个样本的平均寿命不超过57个月的概率是多少？目前十三页\总数二十一页\编于二十点例题答案50个电瓶平均寿命近似服从正态分布，正态分布的均值为60，方差为62/50=0.72，标准差为0.85.~N(60.0.852)目前十四页\总数二十一页\编于二十点样本比例的抽样分布如果在样本容量为n的样本中，具有某一特征的个体数为X，则样本比例用表示：可用估计总体比例π当n充分大时，的分布可用正态分布逼近目前十五页\总数二十一页\编于二十点两个总体都为正态分布，即两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差

方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布目前十六页\总数二十一页\编于二十点两个总体都服从二项分布。分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似。分布的数学期望为：方差为各自的方差之和： 两个样本比例之差的抽样分布目前十七页\总数二十一页\编于二十点样本方差的分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)

2分布，即目前十八页\总数二十一页\编于二十点一个重要的t统计量t分布由标准正态分布/2分布构成目前十九页\总数二十一页\编于二十点两个样本方差比的抽样分布两个2