《随机信号分析》

随机信号分析1整理课件第2章随机信号2整理课件2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号目录3整理课件2.1定义与基本特性

2.1.1概念与定义

1.

典型例子（1）贝努里实验:其样本空间只有两个样本点，即只有两个可能结果:A和。在掷币实验中，贝努里随机变量可以表示为:4整理课件有概率若重复在t=n(n=1,2,…)时刻上，独立进行相同的掷币实验,构成一随机变量序列n01123456789105整理课件则有

其概率

6整理课件n0112345678910n0112345678910所有随机变量序列的集合就是随机信号。每一个随机变量序列称为一个样本，也叫一个实现。7整理课件（2）时间连续的随机现象观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。每一个波形称为样本函数，也叫一个实现。所有波形的集合就是随机信号。8整理课件2.随机信号的定义定义:设随机实验的样本空间，对于空间的每一个样本，总有一个时间函数与之对应,对于空间的所有样本，可有一族时间函数与之对应，这族时间函数称为随机信号。

定义:设是随机实验E的样本空间，若对于每个样本点,都有唯一的实数

与之对应,且对于任意实数，都有确定的概率与之对应，则称为随机变量。9整理课件3.随机信号的表征(数学模型)（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量随机信号可视为许多随机变量的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t10整理课件n0112345678910n011234567891011整理课件（2）随机信号可视为所有样本函数的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)t12整理课件n0112345678910n011234567891013整理课件（3）当时刻t与样本

都固定时，随机信号是一个实数，称之为状态；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)tt1n011234567891014整理课件（4）当时刻t与样本都发生变化时，就构成随机信号的完整概念。X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)tn011234567891015整理课件4.随机信号的分类及举例（1）时间离散、取值离散

D.R.Seq.例：贝努里r.s.n011234567891016整理课件例：一脉冲信号发生器传送的信号（2）时间连续、取值离散

D.R.P.17整理课件（3）时间连续、取值连续

C.R.P.例：正弦型信号①②③18整理课件（4）时间离散、取值连续

C.R.Seq.例：每隔单位时间对噪声电压抽样n021234519整理课件2.1.2基本概率特性

1.例子20整理课件21整理课件22整理课件2.一阶（维）概率分布和密度函数一阶概率分布函数定义：

一阶概率密度函数定义：

23整理课件txfX(x;t)24整理课件2125整理课件联合密度函数：

联合分布函数：离散型二维随机向量的概率特性26整理课件27整理课件3.二阶（维）概率分布和密度函数二阶概率分布函数定义：

二阶概率密度函数定义：

4.分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量28整理课件2.1.3基本数字特征任取t时，随机变量X(t)的统计平均，定义为t1t2t31.随机信号的均值t429整理课件对R.Seq.:30整理课件例：求随机过程正弦波的数学期望，方差及自相关函数。式中，为常数，是区间[0，]上均匀分布的随机变量。解：由题可知：（1）＝同理31整理课件（2）＝＝＝可知

32整理课件（3）＝＝＝33整理课件2.随机信号的自相关函数任取时，两个随机变量的相关矩，定义为

C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。34整理课件自相关函数的性质：（1）相关的概念表征了随机信号在两时刻之间的关联程度；（2）同一时刻之间的相关性大于等于不同时刻之间的相关性；（3）实际中的大多数随机信号，当两观察时刻越远，相应随机变量的相关性通常越弱；（4）自相关函数具有功率的量纲。

35整理课件3.随机信号的协方差函数与方差函数(1)协方差函数任取时，两个随机变量的联合中心矩，定义为C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。36整理课件当时，协方差函数退化为方差函数(2)方差函数C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。37整理课件X(t)的均方差（或标准差）函数为38整理课件4.相关系数

类似于随机变量的相关系数，定义为同样，有关系式：当时，39整理课件2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号目录40整理课件2.2典型信号举例2.2.1随机正弦信号电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收正弦振荡信号，它本质上都是随机的。部分或全部是随机变量。41整理课件42整理课件随机相位信号（随相信号）：讨论随相信号X(t)的基本特性：1.均值43整理课件2.自相关函数44整理课件45整理课件都服从一维高斯分布：

4.一阶概率密度函数46整理课件2.2.2伯努利随机序列47整理课件nX（n,ξn）01……12345678910X（9，ξ）nX（n,ξ1）0112345678910数字通信中，串行传输的二进制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。48整理课件1.均值2.自相关函数

讨论伯努利随机序列X(n)的基本特性：49整理课件3.一阶概率密度函数50整理课件2.2.3

半随机二进制传输信号

51整理课件ttt52整理课件D1D2D3ttt53整理课件均值

，讨论半随机二进制传输信号

X(t)的基本特性：54整理课件2.自相关函数 令若位于同一时隙，有，，若位于不同时隙，有,合并两种情况，有则则55整理课件当，有56整理课件3.一阶密度函数

57整理课件随机信号还可以分为：可预测随机信号（或称确定的随机信号）：信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。不可预测随机信号（或称不确定的随机信号）：信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。58整理课件2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号目录59整理课件2.3一般特性与基本运算

1.

n维概率分布与密度函数

n个随机变量的n维联合概率分布函数为：2.3.1

n阶概率特性t1t2t3tnX(t)t60整理课件则称为其n维概率密度函数。如果存在，使

2.n维特征函数任取与61整理课件1.随机信号的n＋m维联合概率分布和密度函数两个不同r.s.X(t)与Y(t)之间的联合概率特性。对随机信号X(t)任取时，获得n个随机变量;2.3.2联合特性对随机信号Y(t)任取时，获得m个随机变量。62整理课件t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t63整理课件定义n＋m维联合概率分布函数为:

定义n＋m维联合概率密度函数为:64整理课件2.随机信号的互相关函数与互协方差函数两个不同随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性

互相关函数定义为:互协方差函数定义为:65整理课件互相关系数定义为:66整理课件67整理课件3.两个随机信号正交、线性无关与统计独立(1)正交:对于任意时刻,都有则称X(t)与Y(t)正交。(2)线性无关:对于任意时刻,都有则称X(t)与Y(t)线性无关。68整理课件（3）统计独立:对于X(t)和Y(t)的任一组随机变量,都有则称X(t)与Y(t)彼此统计独立。两个随机信号的正交、线性无关与统计独立三者关系与两个随机变量间的完全相同。69整理课件★统计独立性，线性无关性和正交性的关系

1.两个随机信号统计独立，它们必然是线性无关的；2.两个随机信号线性无关，不一定互相独立；3.在两个随机信号中任一均值为零时，线性无关

性与正交性是等价的；4.在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零时，它们不是线性无关的，也不是相互正交的。70整理课件(a)一般情况下

统计独立线性无关

相互正交任一随机信号均值为零71整理课件当和均为高斯随机信号时:

统计独立性和线性无关性是等价的；(b)高斯随机信号线性无关统计独立进一步，且有一个均值为零时:

独立性、线性无关性和正交性三者是等价的。(c)高斯随机信号，且有一个均值为零线性无关统计独立相互正交72整理课件若X(t)与Y(t)正交，则若X(t)与Y(t)无关，则解:73整理课件2.3.3相关函数与协方差函数的性质性质1：随机信号X(t)的自相关函数等满足（1）对称性（2）均方值为非负实数（3）方差为非负实数（4）74整理课件（2）（3）对信号进行中心化与归一化处理，则有性质2：随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性满足

（1）对称性75整理课件76整理课件77整理课件2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算