静电场之平行直线电荷的电场

静电场之平行直线电荷的电场第1页，共12页，2023年，2月20日，星期四*{范例9.4}平行直线电荷的电场(1)两无限长均匀带电直线，电荷的线密度分别为±λ，相距为2a。求证：等势线和电场线都是圆。整理设c2=exp(-U/kλ)，可得r12=c2r22，即(x+a)2+y2=c2[(x-a)2+y2]。化简可见：等势线是圆，半径为r=2ca/(c2–1)，圆心在横轴上，横坐标为xC=a(c2+1)/(c2–1)。-aaOxyPr1E2-r2E1第2页，共12页，2023年，2月20日，星期四*{范例9.4}平行直线电荷的电场(1)两无限长均匀带电直线，电荷的线密度分别为±λ，相距为2a。求证：等势线和电场线都是圆。y分量为场点P(x,y)的场强的x分量为电场线的微分方程为将微分方程整理得即积分得其中，2aC是积分常数，C是无量纲的常数。上式可化为x2+y2-2Cay-a2=0。第3页，共12页，2023年，2月20日，星期四*{范例9.4}平行直线电荷的电场(1)两无限长均匀带电直线，电荷的线密度分别为±λ，相距为2a。求证：等势线和电场线都是圆。x2+y2-2Cay-a2=0电场线方程为x2+(y-Ca)2=(1+C2)a2，

可知：电场线也是圆，半径为r=(C2+1)1/2a，圆心在纵轴上，纵坐标为yC=Ca。如图所示，C=yC/a说明C是圆心到(a,0)点的半径与x轴负方向的夹角α的正切，-aaOxyθ-ryCα如果取圆在(a,0)的切线与x轴正方向的夹角为θ，那么C=cotθ。第4页，共12页，2023年，2月20日，星期四等量异号直线电荷的电场线是圆，圆的大小虽然不同，但是圆心都在纵轴上，所有圆都经过电荷所在的点(代表直线)。电场线从正电荷出发，终止于负电荷。等量异号直线电荷的等势线也是圆，圆心都在横轴上，包围着电荷。取其中一个是正电荷，另一个就是负电荷。第5页，共12页，2023年，2月20日，星期四*{范例9.4}平行直线电荷的电场(2)如果两直线的电荷线密度大小不相同(包括符号)，求电场线方程。[解析](2)如果两直线的电荷线密度大小不相同，可设两个直线电荷的线密度分别为λ1和λ2，则电势为场点P(x,y)的场强的x分量为场强的y分量为电场线的微分方程为移项得这就是等势线方程。第6页，共12页，2023年，2月20日，星期四*{范例9.4}平行直线电荷的电场(2)如果两直线的电荷线密度大小不相同，符号也不同，求电场线方程。设z1=(x+a)/y，z2=(x-a)/y，上式可化为积分得可得电场线的代数方程其中，C是由电场线的起点位置决定的常数，起点位置可在电荷周围选取。第7页，共12页，2023年，2月20日，星期四左边是直线正电荷，右边是直线负电荷，不妨取正负电荷线密度之比为λ2/λ1

=-0.5。等势线在接近电荷的地方类似于圆或椭圆，在较远处的等势线发生扭曲；电势为零的曲线经过电荷连线的中点，包围左边正电荷。当两个异号直线电荷不等量时，电场线对中垂线不对称，极值向电量小的负电荷那一侧偏移。从电荷量大的正电荷发出的电场线较多，到电荷量小的负电荷终止的电场线少。第8页，共12页，2023年，2月20日，星期四如果正负电荷线密度之比为λ2/λ1

=-1.5，左边正电荷的电量较小，电场线的极值向左偏。第9页，共12页，2023年，2月20日，星期四当两个线电荷的电荷线密度相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的。与等量同号点电荷的电场线相比，线电荷之间的电场线排斥得更厉害一些。第10页，共12页，2023年，2月20日，星期四当电荷线密度之比为λ2/λ1

=0.5时，电场线和等势线对中垂线都不对称。右边电荷的电场线比较少，还受到右边电场线“挤压”，等势线比较“瘦”。当电左边电荷的线密度比较大，电场线数一定，会“挤压”右边电场线，等势线比较“胖”。第11页，共12页，2023年，2月20日，星期四当电荷线密度之比为λ2/λ