2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)

年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足（为虚数单位）的复数（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题意，故选B．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即，故选D．（3）【2014年湖南，理3，5分】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】C【解析】分别令和可得且，则，故选C．（4）【2014年湖南，理4，5分】的展开式中的系数是（）（A）-20（B）-5（C）5（D）20【答案】A【解析】第项展开式为，则时，，故选A．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①；②；③；④中，真命题是（） （A）①③（B）①④（C）②③（D）②④【答案】C【解析】当时,两边乘以可得，所以命题为真命题,当时,因为，所以命题为假命题，所以=2\*GB3②=3\*GB3③为真命题，故选C．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】当时,运行程序如下，，当时，，则，故选D．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径，则，故选B．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】设两年的平均增长率为,则有，故选D．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发，且，则函数的图象的一条对称轴是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一：函数的对称轴为，因为，所以或，则是其中一条对称轴，故选A．解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知是函数的一个对称中心，所以，所以，故选A．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题可得函数的图像上存在点关于轴对称的点在函数的图像上，从而有，即．问题等价于函数在存在零点．解法一：，在单调递增，当时，，要使在存在零点，则，从而，故选B．解法二：问题等价于函数与的图象在有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当的图象在左右平移的过程（1）证明:底面；图a（2）若，求二面角的余弦值．图a解：（1）如图（a），因为四边形为矩形，所以，同理．因为，所以，而，因此平面，由题设知，故平面．（2）解法一：如图（a），过作于，连接．由（1）知，平面，所以平面，于是，又四棱柱的所有棱长都相等，所以是菱形，因此，从而平面，所以，于是平面，进而，所以为二面角的平面角，不妨设，因为，所以，在中，易知,又．于是，图b故．即二面角的余弦值为．图b解法二：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以是菱形，因此，又平面，从而两两垂直．如图（b），以所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，因为，所以．于是相关各点的坐标为，易知，是平面平面的一个法向量．设是平面的一个法向量，则，即，取，则，所以．设二面角的大小为，易知是锐角，于是．二面角的余弦值为．（20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列满足．（1）若数列是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式．解：（1）因为数列是递增数列，，而，因此，又成等差数列，所以，因而得．解得．当时，，这与是递增数列矛盾，故．（2）是递增数列，因而，于是①但，所以②由①，②知，，因此③因为是递减数列，同理可得，故④由③，④知，，于是．数列的通项公式为．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．（1）求的方程；（2）若过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．解：（1）因为，所以，即，因此，从而，，所以，，椭圆方程为，双曲线的方程为．（2）因为直线不垂直于轴且过点，故课设直线的方程为．由得．易知此方程的判别式大于0．设，则是上述方程的两个实根，所以，因此，的中点为，故直线的斜率为，的方程为，即．由，得，，设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，所以因为点在直线的异侧，所以，于是，从而又因为，所以四边形面积而，故当时，取得最小值2．四边形面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数，函数．（1）讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围．解：（1），（*）因为，所以当时，当时，，此时，函数在单调递增，当时,（舍去），当时，；当时，．故在区间单调递减，在单调递增的．综上所述：当时,，此时，函数在单调递增，当时,在区间上单调递减,在上单调递增的．（2）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有，又的极值点只可能是和，且由的定