2023年九年级数学中考专题训练-二次函数与特殊的三角形（附答案）

中考专题训练一二次函数与特殊的三角形

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线产=—+此-3与％轴交于点A(-1,0)、B(3,0)

两点，直线y=x-2与x轴交于点。，与y轴交于点C.点P是x轴下方的

抛物线上一动点，过点P作轴于点凡交直线CD于点E.设点P

的横坐标为根.

(1)求抛物线的解析式：

(2)若PE=3EF,求〃?的值；

(3)连接PC,是否存在点P,使△PCE为等腰直角三角形？若存在，

请直接写出相应的点尸的横坐标机的值；若不存在，请说明理由.

2.已知：如图在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的负半轴上，OC在x

轴的正半轴上，OA=2,OC=3,过原点O作NAOC的平分线交线段AB于点D,连接DC,过

点D作DE_LDC,交线段OA于点E.

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；

(2)如图2将NEDC绕点D按逆时针方向旋转后，角的一边与y轴的负半轴交于点F,另一

6

边与线段OC交于点G,如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为G求

证：EF=2GO；

(3)对于(2)中的点G,在位于第四象限内的该跑物像上是否存在点Q,使得直线GQ与

AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，

请说明理由.

3

3.如图，已知点A的坐标为(-2,0),直线产一片+3与％轴、y轴分别交于点3和点C，连接

AC,顶点为。的抛物线>=加+云+c过A、B、C三点.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)设抛物线的对称轴。E交线段BC于点E,P是第一象

限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线,交线段3c于点F,

若四边形。EFP为平行四边形，求点尸的坐标.

(3)设点”是线段8C上的一动点，过点M作MN〃A8,交AC于点N,点。从点3出发,

以每秒1个单位长度的速度沿线段区4向点A运动，运动时间为f(秒)，当八秒)为何值时,

存在△QMN为等腰直角三角形？

4.如图，已知抛物线产加+灰+c(a/0)经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三点,

直线1是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线1上的一个动点，当点P到点A、点B的距离

之和最短时，求点P的坐标；

(3)点M也是直线1上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直

接写出所有符合条件的点M的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,

抛物线y=f+bx+c经过A,8两点，抛物线的顶点为D

(1)b=,c=；

(2)点E是RSABC斜边AB上一动点(点A、8除外)，

过点E作x轴的垂线交抛物线于点R当线段EP的长

度最大时，求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P,使

△EEP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出

所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—x2+bx+c与y轴交于点A(0,3),且经过点(5,

-2),点B与点A关于对称轴对称，过点B作BC_Lx轴，垂足为C,连结OB.

试卷第2页，共8页

(1)求二次函数的解析式，并求出点B的坐标.

(2)把△AOB以每秒1个单位的速度向右平移，得到APDE,PE交OB于点F,PD交BC

于点M,设向右平移运动的时间为t(s).设平移过程中与AOBC重叠部分的面积为S,试探

求S与t的函数关系式，并求当t为何值时，S最大？

(3)在(2)的条件下，是否存在某一时刻3使AOCE为等腰三角形？若存在，求出t；若

不存在，请说明理由.

7.抛物线y=x?+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点，过点A的直线交抛物线于

点C(2,m),交y轴于点D.

(1)求抛物线及直线AC的解析式；

(2)点P是线段AC上的一动点(点P与点A、C不重合)，过点

P作y轴的平行线交抛物线于点E,求线段PE长度的最大值；

(3)点M(m,-3)是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点

F,使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，请求出点F的坐标；

如果不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点

B的左边)，与y轴交于点C,点A、C的坐标分别为(-1,0),(0,-3),直线x=l为抛物线

的对称轴.点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相较于点E.

(1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；

(2)点P为直线x=l右方抛物线上的一点(点P不与点B重合).记A、B、C、P四点所构

成的四边形面积为S,若S=5SABCD，求点P的坐标；

(3)点Q是线段BD上的动点,将△DEQ延边EQ翻折得到^DEQ,是否存在点Q使得△DEQ

与4BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由.

9.如图，矩形AOCB的两边在坐标轴上，抛物线y=-x2+4x+2经过A、B两点.

（1）求点A的坐标及线段AB的长；

（2）若点P由点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB边向点B

移动，1秒后点Q由点A出发以每秒4个单位长度的速度沿AO-

OC-CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停

止移动，设点P的移动时间为t秒.

①当△PQC是直角三角形时t的值；

②当PQ〃OB时，对于抛物线上一点H,满足NPOQV/HOQ,求

点H横坐标的取值范围.

10.如图，已知直线y=gx+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=lx?+bx+c与直线

交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,

0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,

求出点M的坐标；

（3）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点

P的坐标.

11.如图，抛物线y=x?+bx+c与x轴交于点A和点B（3,0）,与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作乂?<〃丫轴交直线BC于点N,求线段

MN的最大值；

试卷第4页，共8页

(3)在(2)的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴1上是否存在点P,使APBN

是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图1每用图？

12.如图,抛物线y=a/+bx+c(a、b、c为常数，存0)经过点A(-1,0),B(5,-6),C

(6,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，在直线下方的抛物线上是否存在点P使四

边形的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)若点。为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出

△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中

某一个点Q的坐标.

1a

13.如图，抛物线与x轴交于点A,点8,与y轴交于点C,点。与点C关于

x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为Cm,0),过点P作x轴的垂线/交抛物

线于点Q.

14.如图1,已知二次函数yuar'+^x+c（a、b、c为常数，存0）的图象过点。（0,0）和点

Q

A（4,0）,函数图象最低点”的纵坐标为直线/的解析式为产x.

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线/沿x轴向右平移，得直线I,?与线段QA相交于点8,与x轴下方的抛物线相交于

点C,过点C作CELx轴于点E,把^BCE沿直线/折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时（图

2）,求直线厂的解析式；

（3）在（2）的条件下，/'与y轴交于点N,把△8ON绕点。逆时针旋转135。得到△夕OM,P

为广上的动点，当△为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标.

15.已知抛物线1：y=ax2+bx+c（a,b,c均不为0）的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称

以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线1的衍生抛物线，直线MN为抛物线

1的衍生直线.

（1）如图，抛物线y=x2-2x-3的衍生抛物线的解析式是,衍生

直线的解析式是；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2x2+1和y=_2x+i,求这条抛物线的

解析式；

（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2-2x-3的顶

点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先

绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个

单位得直线n,P是直线n上的动点，是否存在点P,

使^POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的

试卷第6页，共8页

坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系xOy,已知二次函数y=-3x2+bx的图象过点A(4,0),顶点

为B,连接AB、BO.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线

CQ的对称点为B,当AOCB，为等边三角形时，求BQ的长度；

(3)若点D在线段BO上，OD=2DB,点E、F在^OAB的边上,

且满足△DOF与^DEF全等，求点E的坐标.

17.已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1(m是常数)的顶点为P,直线/：y=x-1

(1)求证：点P在直线/上；

(2)当m=-3时，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交

于点C,与直线/的另一个交点为Q,M是x轴下方抛物线上的

一点，ZACM=ZPAQ(如图)，求点M的坐标；

(3)若以抛物线和直线/的两个交点及坐标原点为顶点的三角

形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值.

18.如图，抛物线y=ax?-2ax+c(a/0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A

坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小，并求出点K的坐标；

(3)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE〃AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的

面积最大时，求点Q的坐标；

(4)若平行于x轴的动直线1与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,

0).问：是否存在这样的直线1,使得aODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.(1)y=x2-2x-3；(2)m=1或怯=J7；(3)相二1±正，或上@或匕亚

22

【分析】(1)将点A、5的坐标代入抛物线求出〃、b,即可得解；

(2)根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出PE、EF,再列出绝对值方程，然

后求解即可；

(3)根据直线解析式求出直线CQ与)，轴的夹角为45。，然后分①NPCE=90。时表示出PC的解析式，再与

抛物线解析式联立求解即可；②NCPG90。时，PC〃工轴，点户与点C的纵坐标相等，然后根据抛物线解

析式求解即可.

【详解】解：(1)把A(-1,0)、B(3,0),两点的坐标代入广加+"-3得：

Ja—b—3=0

9a+3。-3=0

a=\

解得:

b=-2

所以，这条抛物线的解析这式为：y=f・2x-3；

(2)设点尸的横坐标是如则尸(〃?，m2-2m-3),E(加，加-2),F(加，0),

PE=\yE-yP\=\(*2)-(苏・2相・3)|=|-/n2+3/w+l|,

瓦斗加+2|,

由题意PE=3EF,即：\-m2+3tn+11=3卜〃z+2|,

①若-加2+3m+1=3(-〃?+2),

整理得：加2一6〃2+5=0

解得：加=1或加=5

②若->+3加+1=-3(-771+2),

整理得：m2.7=0,

解得：m=#i或m=-币,

丁尸在x轴下方，

：.-}<m<39

m=1或ni=>/7；

(3)存在点P的横坐标为：机=1-近或1±且或匕且.

理由如下：直线y=x-2与y轴的夹角为45。,

①PCE=90。时，直线PC的解析式为y=-x-2,

消掉y得，^-x-l=O,

解得户匕正或上二叵，

22

所以，点p的横坐标，片土叵或三叵；

22

②/CPE=90。时，PC〃x轴，

•.•点C(0,-2),

；•点P与点C的纵坐标相等，为-2,

AX2-2X-3=-2,

解得二1±0，

・・,点P是x轴下方的抛物线上一动点，

：.-1<x<3,

点P的横坐标m=l士亚,

综上所述，点尸的横坐标m=l士&或匕好或上卫.

22

513

2.(1)y=—%24—x+1；(2)EF=2GO；

66

7127

(3)Q(2,2)或(1,一)或(—,一).

355

【详解】试题分析：(1)利用待定系数法求解抛物线解析式；

(2)利用待定系数法求解直线解析式，得到F(0,3),EF=2,从而得出NFDA=NGDK,KG二AF即可;

(3)分三种情况，①PG=PC,②若PG=GC,③若PG=GC,由勾股定理解得即可.

试题解析：(1)由已知，得C(3,0),D(2,2),

ZADE900-ZCDB=ZBCD,

AAD=BC,AD=2,

：.E(0,1),设过点E,D,C的抛物线的解析式为y=ax?+bx+c(a#)),

4a+2/?+c=2

将点E,D,C的坐标分别代入，得｛9Q+3"C=0；

c=l

5

a=——

6

解这个方程组，得〃13,

c=\

517

J抛物线点的解析式为"-+?1+1；

66

(2)证明：・・,点M在抛物线上，且它的横坐标为二,

2k+m=2

将点D,M的坐标分别代入，得｛6,12,

—k+m=—

55

kJ

解得｛2,

m=3

**•DM的解析式为)，=一/尤+3,

・・・F(0,3),EF=2.

过点D作DKLOC于K,

・•・DA=DK,

・・•ZADK=ZFDG=90°,

AZFDA=ZGDK,

AKG=AF=1,

VOC=3,

:.EF=2GO.

(3)如图：

•・•点P在AB上，G(1,0),C(3,0),

则设P(t,2),

.\PG2=(t-1)2+22,PC2=(3-t)2+22,CG=2

①PG=PC,

...(t-1)2+22=(3-t)2+22,

t=2

・・・P(2,2),

此时点Q与点P重合，

：.Q(2,2),

②若PG=GC,

(t-1)2+22=22,

t=1,

：.P(1,2),

此时GPlx轴，GP与抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1,

7

・・・Q的纵坐标为

7

••Q(1，丁・

③若PG二GC,

J(3-t)2+22=22,

At=3,

AP(3,2),此时PC=GC=2,

•••△PGC为等腰直角三角形，过点Q作QH，x轴于点H,

AQH=GH,SHEQH=h,

・・・Q(h+1,h),

5.13

**•—(h+1)2H—(h+1)+1=h,

66

7

/.h=-2(舍)或h=—,

127

・••Qq7),

7127

Q(2,2)或(1,y)或(不，—).

考点：二次函数综合题；二次函数解析式；一次函数解析式；等腰三角形；勾股定理

3327

3.3(4,0),C(0,3),抛物线的解析式为y=-+；X+3,顶点。的坐标为(1,七)；4.当点尸坐

848

标为(3,1)时，四边形QEFP为平行四边形；5.当r为?或=或(时，存在AQMN为等腰直角三

o332

角形.

3

【分析】（1）由直线产-jx+3的解析式即可得8,C两点的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解

析式，根据抛物线的解析式即可得抛物线的解析式；

（2）设点P坐标为f"?,-："?2■机+3］，则点尸的坐标为（m,-ym+3）,根据四边形DEFP为平行四边

I84J4

形，则PF=OE,由此列方程求得，”的值，即可得点P的坐标；

（3）分别以点M、N、。为直角顶点讨论解决即可

3.直线y=+3与X轴、y轴分别交于点8和点C

■■.B（4,0）,C（0,3）

•••点A的坐标为（-2,0）

16。+4/?+c=0

代入抛物线解析式得・c=3

4a-2h+c=0

|3

a=——

8

3

解得b

4

c=3

33

，抛物线的解析式为"-诃+产3

顶点。的坐标为（1,工）

O

39?799

4.把户1代入＞=_:工+3,〉=：.・.£）£=~^■--=-

44848

因点P为第一象限内抛物线上一点，所以可设点P坐标为机+3

I84

3

点尸的坐标为（相，--/71+3）.若四边形。£/平为平行四边形，贝IJP/三。£

4

3339

HP—tn2+—m+3-（--m+3）=—

8448

解之，得〃〃=3*2=1（不合题意，舍去）.

.♦•当点P坐标为（3,时，四边形。以了为平行四边形.

O

3

5.设点M的坐标为（外—［机+3）,MN交y轴于点G

MNCG

MN//AB:.AMNCSNBAC,——=—

ABCO

MN3-MN

①当/QMN=90。，MN=MQ2=0G时，——=------，解之，MN=2

63

344448

.•._1+3=2解之，/7=-,^(-,2),/.2,(-,0),^=4--=-

433333

2

②当NQiNM=9()°,MN=NQ?=OG时，容易求出02(--,0)

③当NMQ.M90。，QJM=QJN时，JNM=Q3K=0G

7_J.MN

.MN，解得MN=3

..--------2----

63

3

OG=-

2

3333

.■.-:*+3=不解之，得〃=2,BPM(2,-),7V(-1,-)

4222

MN的中点K的坐标为(g,-|).•.。式；,0)

17

即[==]

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式、二次函数与一次函数图象上点的

坐标特征、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、解题的关键是学会用代数式表示线段的长度，结

合平行四边形和等腰直角三角形的性质列出方程，以及分类讨论思想的运用.

2

6.(1)y=x-2x-3;(2)P(1,0)；(3)M(1,指)(1,-")(1,-1)(1,0).

【分析】(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可;

(2)由图知：A.B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知,

直线1与x轴的交点，即为符合条件的P点;

(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可

先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解.

【详解】解：(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入抛物线》=以2+勿;+。中，

a-b+c=0

得：｛9tz+3Z?+c=0,

c=-3

a=1

解得：g=-2,

c=-3

故抛物线的解析式：y=x2-2x-3.

(2)当P点在x轴上，P,A,B三点在一条直线上时，

点P到点A、点B的距离之和最短，

此时x=-^-=l,

2a

故P(1,0)；

(3)如图所示：抛物线的对称轴为：x=~—=1,设M(1,m),已知A(-1,0)^C(0,-3),则:

2a

M^-rrr+4，MC2=(3+Z?I)2+1=m2+6〃?+10，AC2=10；

①若MA=MC,则得：//+4=：m2+6帆+10,

解得：m=-1；

2

②若MA=AC,则始2=4。2,得：m+4=10,

得：m=±76；

③若MC=AC,则MC=A。？，得：1+6"?+10=10,

得：叫=0,吗=-6；

当m=-6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1,>/6)(1,-V6)(1,-1)(1,0).

考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型.

7.⑴b=-2,c=-3,⑵弓，|)；⑶畤;②P(1+耍尹，P2⑴耍|)，P'与

【详解】试题分析：(1)由OA+OC求出AC的长，根据BC=AC,求出BC的长，根据OC与BC的长求出

B的坐标，将A与B坐标代入抛物线解析式即可求出b与c的值；

(2)设直线AB的解析式为y=px+q,将A与B坐标代入求出p与q的值，确定出直线AB解析式，再由

抛物线解析式，设出E与F坐标，两纵坐标相减表示出EF,利用二次函数的性质求出EF的最大值，以及

此时t的值，即可确定出此时E的坐标；

(3)存在，分两种情况考虑：(i)过点E作a_LEF交抛物线于点P,设点P(m,m2-2m-3),由E的纵坐

标与P纵坐标相等列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出Pi，P2的坐标：(ii)过点F作

b，EF交抛物线于P3,设P3(n,n2-2n-3),根据F的纵坐标与P的纵坐标相等列出关于n的方程，求出方

程的解得到n的值，求出P3的坐标，综上得到所有满足题意P得坐标.

试题解析：(1)由OA=1,得至ijA(-1,0)；由BC=AC=OA+OC=1+4=5,得至ljB(4,5),

r-6+c=o

将A与B坐标代入抛物线y=x2+bx+c得：｛[6+4匕+C=5'

解得：b=-2,c=-3；

(2)•直线AB：y=px+q,经过点A(-1,0),B(4,5),

.1p+q=0

*'4p+q=5，

p=1

解得：｛,，

q=i

直线AB的解析式为：y=x+l,

•.•二次函数y=x2-2x-3,

设点E(t,t+1),则F(t,t2-2t-3)

325

AEF=(t+1)-(t2-2t-3)=-(t—)2+一,

24

・・・当匚3:时，EF的最大值二25弓，

24

...点E的坐标为(；3，；5)；

22

(3)存在，分两种情况考虑：

(i)过点E作a，EF交抛物线于点P,设点P(m,m2-2m-3),

则有：m2-2m-3=—,

2

初「旦2_1262+126

解得：mi=------，m2=-------，

22

.pz2-府52+A5

••ri(-------------,-J,V--------------,-9;

2222

(ii)过点F作b，EF交抛物线于P3,设P3(n,n2-2n-3),

则有：n2-2n-3=-—，

4

解得：m=i,n2=|(与点F重合，舍去),

・•・P3心，学,

综上所述：所有点P的坐标：Pl(立q至，二)，P2(七叵，1),P3(；,-：),能使4EFP组成以

222224

EF为直角边的直角三角形.

考点：二次函数综合题.

3

8.(1)y=-x2+4x+3,B(4,3)；(2)s=-----t2+3t,当t=2时，S有最大值，最大值是3；(3)t=2或t=V7

4

或t=4-币.

【详解】试题分析：(1)将点(0,3)和(5,-2)代入即可求出b、c的值，进而得解，再由点A与点B

对称可以求出点B的纵坐标为3,进而得解；

(2)根据平移的性质，以及垂直等条件，可以判断四边形EPCB是矩形，4BEF之4PCM,进而可以用含

有t的式子表示出四边形BFPM的面积，利用配方法可以得解；

(3)从OE=OC,EC=OC,OE=EC三个方面进行解答，即可得到本题的答案.

试题解析：(1)将点(0,3)和(5,—2)代入y=—x?+bx+c得:

—25+5〃+。=-2

解得：b=4,c=3,

/.y=-X2+4X+3,

・・,点B与点A关于对称轴对称，

3=—X2+4X+3,

解得：x=0或x=4,

AB(4,3)；

(2)由平移的性质可知，BO〃PD,OA/7PE,

・・・OA_Lx轴，BC_Lx轴,・・・EP_Lx轴，

又AB〃OC,・•・ZEPC=ZBCP=ZBEP=ZEBC=90°,

・・・四边形EPCB是矩形，

・・・BE=PC,

NABO=NBOC,ZBOC=ZMPC,

BE=CP

{/BEP=/BCP

ZABO=ZMPC

/.△BEF^APCM(ASA),

当代AOB向右平移运动的时间为t(s)时，

BE=4—t,EP=3,AE=t,

J四边形EPCB的面积为：3(4-t),

设直线OB的解析式为y=kx,将点B(4,3)代入得：

3=4k,

3

解得：k=J,

4

.3

••y=4x,

3

**•F(t,—t),

4

SABEF=SAPCM=^-(4—t)(3—gt),

24

四边形BFPM的面积为：

33

S=3(4-t)-(4-t)(3--t)=--t2+3t

44

3

=--(t—2)2+3,(0<t<4),

4

当t=2时，S有最大值，最大值是3；

(3)①当OE=EC时，AE=0P=g0C=2,

②当OE=OC=4时，AE2+OA2=OE2=OC2,即：t2+9=16,

解得：t=百或t=一币(舍)；

③当EC=OC=4时，

BE2+BC2=EC2,即：(4-t)2+9=16,

解得：t=4+V7(舍)或t=4一近，

二t=2或t="或t=4一币.

考点：二次函数综合题.

9

9.(1)y=x2-2x-3.y=-x-l.(2)(3)点F为(1,-2).

【详解】试题分析：(I)将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物

线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式.

(2)PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x,用x分别表示出P、E的纵

坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值.

(3)根据点F的不同位置分类讨论.

试题解析：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x?+bx+c,

得b=-2,c=-3；

y=x2-2x-3.

将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3,

得y=-3,AC(2,-3)；

直线AC的函数解析式是y=-x-l.

(2)设P点的横坐标为x(-l<x<2),

则P、E的坐标分别为：P(X,-x-1),E(x,X2-2X-3)；

点在E点的上方,PE=(-x-1)-(X2-2X-3)=-X2+X+2,

/1、29

=-(X--)2+—

24

9

...当x=l/2时，PE的最大值=二.

(3)①当点F在D点时，

将直线和抛物线的解析式组成方程组：

y=-x-l

y=x2-2x-3,

x=-1x=2

解得：｛八，｛

y=oy=-3

.,.点c的坐标为(2,-3),

令x=0,y=x2-2x-3=-3,

AM的坐标为(0,-3)

由直线的解析式可求点D的坐标为(0.-1)

，MC=2,MD=3-1=2,

；MC〃y轴，

ZCMD=90°,

即△CMD是等腰直角三角形，

当点F的坐标为(-L0)时，4CMD是等腰直角三角形.

②当F在P点时，

当点E是顶点坐标时，可得PM=PC,

由抛物线的解析式可得对称轴为x=-l,

x=ix=i

解方程组：｛,,解得｛「

...点P的坐标为(1,-2)

.-.PC=MP=712+12=72-

又•.•MC=2,

.,.PC2+PM2=MC2,

由勾股定理的逆定理可得：△PMC为等腰直角三角形.

即4FMC为等腰直角三角形.

；.F点的坐标为(1,-2).

③当F不在P、D点时，设点F(x,-x-1),

则CM=CF=J(x-2>+(*1+3)2=2

即(x-2)2+(-x-3+3)2=4

解得：xi=2+啦,X2=2--721

AF(2+72--3-及)或F(2-72，-3+72).

当F(2+^/2，-3-V2)时，FM=j8+2夜，

.-.CM2+CF2^MF2,不能构成直角三角形，

同理：当F(2-0,-3+0)时，也不能构成直角三角形.

综上所述，存在点F为(1,-2)时.使△CMF是等腰直角三角形

考点：二次函数综合题.

10.(1)y=x2-2x-3,顶点D的坐标为(1,-4)；(2)P点坐标为(如叵，-)或(”叵，上班)；(3)存

2422

在，处或石］或拽一逑，

533

【详解】试题分析：(1)利用抛物线的对称性得到B(3,0),则设交点式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,

-3)代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到D点坐标；

(2)设P(m,m2-2m-3),先确定直线BC的解析式y=x-3,再确定E(1,-2),则可根据三角形面积公式

计算出SABDC=SABDE+SACDE=3,然后分类讨论：当点P在x轴上方时，即m>3,如图1,利用S=SAPAB+SACAB=

?SABCD得到2m2-4m=?；当点P在x轴下方时，即1<m<3,如图2,连结OP,利用S=SAAOC+SACOP+SAPOB=

22

53915

；$&!^口得到-；1112+；01+6==,再分别解关于m的一元二次方程求出m,从而得到P点坐标；

2222

(3)存在.直线x=l交x轴于F,利用两点间的距离公式计算出BD=26，分类讨论：①如图3,EQ1DB

于Q,证明RSDEQSRSDBF,利用相似比可计算出DQ=半,则BQ=BD-DQ=，；②如图4,EDUBD

于H,证明RtADEQ=HsRsDBF,利用相似比计算出DH=竽，EH=^,在RsQHD，中，设QH=x,

D，Q=DQ=DH-HQ=±6-X,D，H=DE-EH=DE-EH=2-2叵，则利用勾股定理可得x?+(2-2叵)2=(拽-x)

5555

2,解得x=l-4,于是BQ=BD-DH+HQ-4=6+l；③如图5,DQLBC于G,作EILBD于I,利用①得

结论可得EI=¥，BI=^,而BE=20,贝I]BG=BE-EG=20-乎，根据折叠性质得NEQD=/EQD，,

则根据角平分线性质得EG=EI=¥，接着证明△BQGsaBEL利用相似比可得BQ=述-逑，所以当

533

BQ为述或行+1或逑一逆时，将小DEQ沿边EQ翻折得到4D，EQ,使得△DEQ与^BEQ的重叠部

533

分图形为直角三角形.

试题解析：(1)•••点A与点B关于直线x=l对称，

AB(3,0),

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

把C(0,-3)代入得-3a=-3,解得a=l,

二抛物线就笑着说为y=(x+1)(x-3)=X2-2X-3,

Vy=(x-1)2-4,

抛物线顶点D的坐标为(1,-4)；

(2)设P(m,m2-2m-3),易得直线BC的解析式为y=x-3,

当x=l时，y=x-3=-3,则E(1,-2),

SABDC=SABDE+SACDE=Tx3x(-2+4)=3,

当点P在x轴上方时，即m>3,如图1,

图1

22

S=SAPAB+SACAB=T，3・(3+1)+y,(3+1),(m-2m-3)=2m-4m,

,**S=--SABCD,

2

.,.2m2-4m=—,

2

解得m产挈'nu=上普（舍去）,

整理得4m2-8m-15=0,

••.P点坐标为（年

如图2,连结OP,

55539

S=SAAOC+SACOP+SAPOB=—*3*1+—•3ein+—*3e(-m2+2m+3)-m2+—m+6,

22222

SABCD,

2

3915

-m2+—m+6=

22T

整理得m2・3m+l=0,解得m尸上叵，m2='一’（舍去）

22

••.P点坐标为（上亚，W叵），

22

综上所述，p点坐标为（”叵，］）或（仝叵，匕如）；

2422

（3）存在.直线x=l交x轴于F,BD=V22+42=275-

①如图3,EQJ_DB于Q,△DEQ沿边EQ翻折得到△D，EQ,

VZEDQ=ZBDF,

RtADEQSRSDBF,

噜噬，即-解得DQ=*

・・・BQ=BD-DQ=2非-述=座

55

VZEDH=ZBDF,

/.RtADEQ=HsRtaDBF,

.DHDEEHDH2号,解得DH=竽,EH丹,

~~---,即nn=-7=

DFDBBF,42小

在R3QHD，中，设QH=x,DQ=DQ=DH・HQ=竽-x,DH=DREH=DE-EH=2-竽,

r.x2+（2-也）2=（拽-X）2,解得x=2立,

555

ABQ=BD-DQ=BD-（DH-HQ）=BD-DH+HQ=25延+1-今=石+1：

55

③如图5,DQ_LBC于G,作EI_LBD于I,由①得EI=^,81=延,

55

VBE=V22+22=242，

/.BG=BE-EG=2V2-—.

VADEQ沿边EQ翻折得到小D，EQ,

AZEQD=ZEQD\

EG=EI=^,

5

,/ZGBQ=ZIBE,

.".△BQG^ABEL

no2血/石

.BQ_BGBQ________5

♦k4即pn运一还

5

4石2V2

••D\y~~,

33

综上所述，当BQ为述或出1或生叵-逑，将仆DEQ沿边EQ翻折得到4DEQ,使得△DEQ与△BEQ

533

的重叠部分图形为直角三角形.

考点：二次函数综合题.

11.(1)AB=4,

(2)①I、Q在AO边上，t=9一后,

4

II、Q在0C边上，t=2,

IILQ在CB边上，t=3,

②H点的取值范围为XV23-3历和x>9+72091

88

【分析】(1)由抛物线的点的特点和矩形的性质，直接求出；

Q

(2)①由运动特点分三种情况，用勾股定理计算即可；②当PQ〃OB时，时间t=1,再求出特殊位置的交

点的横坐标，在判断出即可.

【详解】解：(1)•••抛物线y=-x?+4x+2经过A、B两点，

AA(0,2),

VAB是矩形的一条边，

；.AB=4,

(2)①I、Q在AO边上，由运动有AP=t+l,AQ=4t,

：.P(t+1,2),Q(0,1-4t),

VC(0,4),

根据勾股定理得PQ2+PC2=CQ2,

：.2(t+1)2+(1-4t)2+4=(1-4t-4)2,

.一9-折

••l-------,

4

II、Q在OC边上，同I的方法得，t=2,

IILQ在CB边上，同I的方法得，t=3,

②当PQ〃OB时，

•CP=CQ

''~CB~~CO

VP(4,6-t),Q(0,4t-2),

.\CP=6-t,CQ=4-(4t-2)=6-4t,

.6-t_6-4f

।(=

24

o

・・・点P的坐标为（丁2）；

77

v=—xx

由题意联立方程,4和«彳y=一4

y=-x2+4x+2y=*+4x+2

：.X=2且和x-也画

88

VZPOQ<ZHOQ

H点的取值范围为x