2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)_第1页
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PAGEPAGE62014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。若正数满足，则的值为_________答案：108.解：设，则，，，从而。设集合中的最大元素与最小元素分别为，，则的值为___________答案：。解：由知，，当，时，得最大元素，又，当时，得最小元素。因此，。若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________答案：解：在上，单调递增，等价于，即。在上，单调递增，等价于，即，因此实数的取值范围是数列满足，，则_____答案：。解：由题设记数列的前项和为，则所以将上面两式相减，得故正四棱锥P—ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是____________答案：解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又，故异面直线MN与PC之间的距离是。设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点。若，且。则椭圆的短轴与长轴的比值为_______答案：解：不妨设，。记椭圆的长轴，短轴的长度分别为，，焦距为，则，且由椭圆的定义知，于是设为线段的中点，则，且有。由勾股定理知，即，解得，进而，因此椭圆的短轴与长轴的比值为当时，的最小值为。……16分10.（本题满分20分）数列满足，。求正整数，使得…。解：由已知条件可知，对任意正整数，，且①由于，故。由①得，，故即。…………10分因此，………（利用①）由，得。…20分11.（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意复数，均有。解：记，则①假如存在复数、、，，使得，则由式①知注意到，，故即。…………10分另一方面，对任意满足的复数，令，，其中，则，而

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