高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系(上课用-公开课课件)

高二数学选修4-4平面(píngmiàn)直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系(上课用-公开课课件)第一页，共58页。xO2y=sinxy=sin2x思考(sīkǎo)：〔1〕怎样由正弦曲线y=sinx得到(dédào)曲线y=sin2x?第二页，共58页。2x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标(zuòbiāo)对应关系为：第三页，共58页。3〔2〕怎样(zěnyàng)由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设点P〔x,y〕经变换(biànhuàn)得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。2第四页，共58页。4〔3〕怎样由正弦曲线y=sinx得到(dédào)曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。设点P〔x,y〕经变换(biànhuàn)得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。第五页，共58页。5定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。第六页，共58页。6注〔1〕〔2〕把图形看成点的运动轨迹，平面(píngmiàn)图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；〔3〕在同一直角坐标系下进行伸缩变换。第七页，共58页。7第八页，共58页。8第九页，共58页。9第十页，共58页。10由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然(réngrán)变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以(kěyǐ)变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？第十一页，共58页。11课堂练习〔2分钟〕课本(kèběn)P8第4、6题第十二页，共58页。12四食堂(shítáng)在什么位置？第十三页，共58页。13以超市所在(suǒzài)直线为X轴以牛奶棚所在(suǒzài)直线为Y轴...脑子进水了？第十四页，共58页。14从这向北走100米。我知道(zhīdào)了。第十五页，共58页。15从这向北走100米！出发点方向(fāngxiàng)距离(jùlí)在生活中人们经常用方向和距离来表示(biǎoshì)一点的位置。这种用方向和距离表示(biǎoshì)平面上一点的位置的思想，就是极坐标的根本思想。第十六页，共58页。16极坐标系与极坐标极径极点(jídiǎn)极轴点O极点(jídiǎn)射线(shèxiàn)Ox极轴极径角极角极角有序实数对极坐标逆时针为正角顺时针为负角极角是以射线Ox为始边,射线OM为终边的角,用弧度制表示第十七页，共58页。17例题(lìtí)解析例1.在极坐标系中表示(biǎoshì)以下坐标对应的点.由极坐标描点的步骤(bùzhòu)：(1)先按极角找到点所在射线；(2)在此射线上按极径描点.第十八页，共58页。18例题(lìtí)解析例2.试写出以下(yǐxià)点所对应的极坐标.一点(yīdiǎn)的极坐标唯一吗？表示同一点第十九页，共58页。19与直角坐标系的联系(liánxì)与区别极坐标系与直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系的异同是什么？都是用有序实数对来表示(biǎoshì)平面上的点.其中的有序实数对意义不同.直角系的坐标与平面上点是一一对应的;极坐标系的坐标与平面上点多对一的;有没有方法使极坐标与点之间一一对应？除极点(0,)外，限制第二十页，共58页。20探索(tànsuǒ)一点,与它关于极轴所在直线对称(duìchèn)的点如何表示？若M的坐标为,则M’的坐标可以是第二十一页，共58页。21探索(tànsuǒ)一点,与它关于极点对称的点如何(rúhé)表示？若M的坐标为,则M’的坐标可以是第二十二页，共58页。22极径的推广(tuīguǎng)负的极径有意义(yìyì)吗？“负〞的意义(yìyì)是什么？标准之下3摄氏度与-3摄氏度.方向相反与与若M的坐标为则M的坐标也可以是特别强调：一般情况下〔假设不作特别说明时〕，认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。第二十三页，共58页。23极坐标系与极坐标极径点O极点(jídiǎn)射线(shèxiàn)Ox极轴角极角有序实数对极坐标逆时针为正角(zhènɡjiǎo)顺时针为负角终边上取M终边反向延长线上取M第二十四页，共58页。24第二十五页，共58页。25在直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位第二十六页，共58页。26x=ρcosθ,y=ρsinθ第二十七页，共58页。271.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位(dānwèi)长度相同.互化公式(gōngshì)的三个前提条件：第二十八页，共58页。28以下点的极坐标，求它们(tāmen)的直角坐标。第二十九页，共58页。29第三十页，共58页。30作业(zuòyè)：?优化方案?做到第9页第三十一页，共58页。31第三十二页，共58页。32点的轨迹(guǐjì)设M(x,y)是直角坐标系内一点,当M按某种规律在平面内运动(yùndòng)时,所留下的运动(yùndòng)轨迹,反映在图形上就是一条曲线.Oxy所谓(suǒwèi)某种规律：M(x,y)坐标之间所满足一定关系式.某个方程假设要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C,那么方程与曲 线之间应当满足怎样的关系？第三十三页，共58页。33曲线(qūxiàn)与方程定义.在直角坐标系中,如果曲线C和二元方程(fāngchéng) 之间满足:曲线C上的点的坐标(zuòbiāo)都是方程的解;方程的解为坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的方程;曲线C是方程的曲线.第三十四页，共58页。34极坐标方程(fāngchéng)定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程(fāngchéng) 之间满足:曲线(qūxiàn)C上的点的极坐标都是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;曲线C是方程的曲线.这样推广合理吗？为什么？第三十五页，共58页。35问题(wèntí)探索极轴所在直线(zhíxiàn)的极坐标方程是什么？曲线(qūxiàn)上的点的坐标都是方程的解;方程的解为坐标的点都在曲线上;极点符合方程不符合方程极坐标的不唯一性导致了上述情况.这个方程合理吗？第三十六页，共58页。36极坐标方程(fāngchéng)定义(dìngyì).在极坐标系中,如果曲线C和二元方程 之间满足:曲线C上的点的所有极坐标中,至少(zhìshǎo)有一个是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;曲线C是方程的曲线.第三十七页，共58页。37求曲线(qūxiàn)的极坐标方程步骤1、设点M(ρ,θ)是曲线上任意(rènyì)一点；2、根据几何条件建立(jiànlì)关于ρ,θ的方程，并化简；3、检验并确认所得的方程即为所求。第三十八页，共58页。38例题(lìtí)解析例2.求以

为圆心,半径为的圆的极坐标方程.解:如下(rúxià)图:设点P坐标为即则第三十九页，共58页。39例题(lìtí)解析例3.如图,求过,与极轴夹角为的直线方程.解:则,设点P坐标为,假设(jiǎshè)点P位于极轴上方,在中,第四十页，共58页。40例题(lìtí)解析例4.设质点M为射线OA上的动点,M沿方向作匀速 运动,同时射线OA又绕着它的端点(duāndiǎn)O作等角速度旋转, 求质点M运动的轨迹方程.阿基米德(ājīmǐdé)螺线解:设点M的初始位置为,以O为极点,以射线OM0为极轴,设M的运动速度为v,设OA的角速度为,时间为t,则有第四十一页，共58页。41练习(liànxí)求以下图中的圆的极坐标方程,半径都是aP第四十二页，共58页。42练习求下列直线的极坐标方程．(1)过极点与点(2)过点且与极轴垂直(3)过点且与极轴平行第四十三页，共58页。43设两点，则由余弦定理得：极坐标系下两点间的距离(jùlí)公式•••OxAB第四十四页，共58页。44Ex2.3.3两种坐标(zuòbiāo)的互化第四十五页，共58页。45引入点的极坐标，如何得到(dédào)其直角坐标？例如(lìrú)：设其直角坐标为,第四十六页，共58页。46极坐标直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)那么(nàme)有：一般(yībān)地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,如何证明？第四十七页，共58页。47时,P的直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)为：P在极点(jídiǎn),显然成立;时,P的坐标(zuòbiāo)可改写为时,则第四十八页，共58页。48极坐标直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)那么(nàme)有：一般地,设点P是平面(píngmiàn)上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,点的极坐标化直角坐标是唯一的。第四十九页，共58页。49例题(lìtí)解析例1.将以下(yǐxià)极坐标化为直角坐标：极坐标直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标第五十页，共58页。50直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)极坐标那么(nàme)由：一般地,设点P是平面上任意一点(yīdiǎn),其直角坐标为,如图建立极坐标系,设极坐标为,点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。第五十一页，共58页。51例题(lìtí)解析例2.将以下(yǐxià)点的直角坐标化为极坐标：直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)极坐标极坐标极坐标极坐标

由点所在象限确定极角的值第五十二页，共58页。52极坐标方程(fāngchéng)定义.在极坐标系中,如果曲线(qūxiàn)C和二元方程 之间满足:曲线C上的点的所有极坐标中,至少(zhìshǎo)有一个是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;曲线C是方程的曲线.第五十三页，共58页。53例题(lìtí)解析例3.化直角组表方程为极坐标方程.解:由,得或者表示极点，故所求极坐标方程为表示直线,过极点(jídiǎn)第五十四页，共58页。54例题(lìtí)解析例4.化极坐标方程(fāngchéng)为直角坐标方程(fāngchéng).解2时,由,得时,表示