【数学竞赛】七年级数学思维探究(17)实数

克莱因（国数学家、数学史家和数学教育家，克莱872年提出应把拓扑学发展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在世纪获得了飞跃的发展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作1世的领袖数学家，他的许多点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪．．实数人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的识不断加深和发展人发现现实世中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张．理解无理数是学好实数的关键，为此应注意：把握无理数的定无理数是无限不循环小数不能写成分数

qp

的形（里、q互质的整数，且

p

．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与

相关的数，开方开不尽得到的数等；．澄清一些模糊认识；．明确无理数的真实性．问题解决例已实x、y满xy，代数式_______．试一试运用非负数性质，求出

x

，值．例下有3个论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（）．A0B．

．

D．试一试看否能构造出符合求的数．例若数

a

、b、

满足关系式

3ab2ab

试定

c的值．试一试观发现

互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口．例设x、y都有理数，且满足方程

ππxy32

，求x的．试一试将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的、y的．例

设

111，，1234

，„

1Sn

．求SS的值（用含n的数式表示，其中n为整数2n解法一：∵S

31122

，

491136663

，S

4

，∴S

．∴

114n

2n．

111111111解法二：∵n

nnnnn

，∴S

1n

11n

，∴

134n

n

．本质追寻：设实数x，，z满足xyz0，y111．xyxy1（n为整数问题新编：化简寻找

，则

11111xyzy

或公元前世纪，古希腊人点燃的无理数的火种，照亮了实数的广阔天，但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果1世后期，著名数学家魏斯特拉斯·戴德金、康托的杰出贡献，为无理数、实数理论的建立打下坚实的基础．例（1）

2

可以用有理数形式表示如下：2

2

112（2纸是人们学习工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？1印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图①，分为两半，每一张都是原来的，为对开2（即开折2次得

张，每一张都是原来的，为开对折3次，得2

张，每一张1都是原来的，为开„„折5次，得8

1张，每一张都是原来的，为32开32一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：①它的面积1

；经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等国标准尺寸纸的长和宽到底各是多少？（精确到毫米）用列方程组的方法，设标准纸长为x米宽为米如图②它长与宽之比为:y，开后的长1与宽之比为:2

．于是，由条件②，得x:yy:，x2y．另一方面，因为x与都于，由条件①可得x

，所以x

．②①×②，可得x2y2y即所以

x

1.4142135623731代入②，得0.8408964152537

（米由此可见，国际标准纸的长为1189毫，宽为毫，面积为方米，长与宽之比为x:y1189:841:5我国32开用的标准纸长为168毫，宽为毫米，面积为168850（方米）平米，长与宽之比为1:5．就是说，我国32用的标准纸与国际标准纸是相符的．

yy2yy2

12

图①（3正难则反：请证明为无理数．数学冲浪知识技能广场

图②．已知

、为个连续的整数，且

a11

，则．．实数a、数轴上的位置如图所示：

0

，化简a

．．已知，22

的值为________．23．观察下列等式：，3，，对一般的自3881515然数n，有等式_______．．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为、B，关点A的称点为C，点所示的数是（CO?

1

2A

B

2

．

D．

．若

，为实数，且x，则的为（A1B．C．2D．．一个自然数的算术平方根为，和这个自然数相邻的下一个自然数是（）AaBaC

D．

a．若x的为（A

B

．2

D．3．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出个理数和2个无理数，再用+，-，×，÷”中的种符号将选出的4个进行3运算，使得运算的结果是一个正整数．有理数，0.17，-，0．计算：思维方法天地

无理数，，-，--，，π

xy11．若yxy5x

，则x

2

y

2

_________．若满3，Sb的值范围________．．已知实数

满足2004a2005，则a

__________．已知非零实数、b满2ab

则于（A

BC．1

D．2．设aa

，则的为（A

3

B

6

．

D．3．如果实数、c在轴上的位置如图所示：

b

，那么代数式

a

可以化简为（ABabC．D．

a．已知实数a、满

aab

，求算术平方根．．顺思逆想hhh设，为实数，由a知，当很（此处约定），所2aaa，是以，aa2利用公式（※）可求某些数的平方根的近似值．如

52

．试计算14406

的近似值（结果精确到小数点后第位应用探究乐园．设

，为正有理数，，为理数，求证：x为无理数．．阅读下面的文字，解答问题：大家知道拉是无理数，而无理数是无不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来是小明用

来表示

的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为

2

的整数部分是1，这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如∵

，即

27

，

∴

的整数部分为2，数部分为

7

．根据以上知识解答下列各题：（1如果

5

的小数部分为，

13

的整数部分为，a的值；（2已知103，中x是数且

0y

，求x的反．（3已知的数部分为

a

，的小数部分为b，a的．

π111∴π111∴．实数问题解决例

5例D举：，满足结论①②；、满足结论③．3例由术方根定义，得≥0≥199，即199≥0a≤∴199，

，∴ab2ab

，由非负数性质，得2b

，解得c201．例原式理，得

11xyπ32∴

3

，解得，故y

．数学冲浪．23．

n

．．．B8．3．提示：2，与，与3是种正确的配对．．原式

n

13个x211．由条件得，x

2

，．．≤≤由条件得

1a，

19b

，a≥0，

b≥

，S≥则14≥0

21，解得≤≤．5．2005由件得≥2005，则

2005