2023届高考数学全国卷核心考点强化训练12讲08-突破全国卷数列难点的题目汇编

2023届优质模拟试题分类汇编（新高考卷）数列一．基本原理类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！类型2.等比数列：相邻两项递推：或.或者相邻三项递推：.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.类型3.累加型类型4.()累乘型.类型5.型（待定系数法）一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.类型6.型类型7.型.方法1.数学归纳法.方法2.，令，则，用累加法即可解决！类型8.型与关系，求.解题步骤：第1步：当代入求出；第2步：当，由写出；第3步：（）；第4步：将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，类型9：已知前项积求.类型10.特征方程法（强基层次）：型.求解方程：，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则（2）若特征方程有两个不等的根，则类型1．倒序相加法类型2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.类型3．裂项相消求和1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：.2.有理化后求和：.3.指对式裂相求和：，一般地，指数型：对数型：类型4：错位相减法型如的数列求和，其基本解题步骤如下：Step1：由题可得：Step2：故=1\*GB3①，=2\*GB3②Step3：由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：Step4：化简：.类型5.分组求和适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.类型6.并项求和在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.类型2.先求和再放缩这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：例如：或者等2.一个重要的指数恒等式：次方差公式这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设，则.二．试题汇编单选题1．（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一））已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．30 B．10 C．9 D．62．（广东省深圳市2023届高三第一次调研）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（

）A． B． C． D．3．（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196 B．197 C．198 D．1994．（江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模）设等比数列的前项和为.已知，，则（

）A． B．16 C．30 D．5．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（山东省济南市2023届高三下学期3月一模）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（

）A．3 B．6 C．4或5 D．6或7多选题7．（江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）2023届高三二模）已知数列{an}的前n项和为，，若，则k可能为（

）A．4 B．8 C．9 D．128．（山东省济南市2023届高三下学期3月一模）已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）A．B．C．D．若数列满足，则9．（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(

)A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)D．若最初有个桃子,则必有的倍数10．（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（

）A． B．是数列的公比C． D．可能为常数列填空题11．（福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测）数列满足，若，，则＝____________．12．（广东省广州市2023届高三综合测试（一））已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.13.（2023年湖北省八市高三（3月）联考）高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为的前项和为.则（1）__________；（2）满足的最小正整数为__________.14．（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________．解答题15．（福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检））欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2．（1）求，；（2）令，求数列的前n项和．16．（福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，．（1）求和；（2）若，，求的前项和．17．（广东省2023届高考一模）已知各项都是正数的数列，前项和满足.（1）求数列的通项公式.（2）记是数列的前项和，是数列的前时，试比较与的大小.18．（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一））佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.19．（广东省广州市2023届高三综合测试（一））已知数列的前项和为，且（1）求，并证明数列是等差数列：（2）若，求正整数的所有取值.20．（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记，为数列的前n项和，已知，．（1）求，并证明是等差数列；（2）求．21．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）设数列的前n项和为．已知，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．22．（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.（1）求数列的通项公式；（2）对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.23．（江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模）在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足.（1）若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；（2）若数列的“泛差”，且，求数列的通项.24．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，求的前n项和.25.（2023年湖北省八市高三（3月）联考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.26．（山东省济南市2023届高三下学期3月一模）已知数列满足．（1）若数列满足，证明：是常数数列；（2）若数列满足，求的前项和．27．（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．（1）求；（2）记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．28．（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．（1）求的通项公式；（2）若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．①②．二．试题汇编单选题1．（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一））已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（

）A．30 B．10 C．9 D．6【详解】为正数的等比数列，则，可得，∵，∴，又∵，则，可得，∴，解得，故.故选：B.2．（广东省深圳市2023届高三第一次调研）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（

）A． B． C． D．【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，即经过4次操作之后所得图形的面积是.故选：A3．（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196 B．197 C．198 D．199【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第15项为.故选：C4．（江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模）设等比数列的前项和为.已知，，则（

）A． B．16 C．30 D．【详解】由题得：①，②，①②得：，，则，代入①中，即，，故，故选：D.5．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一））已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】因为，当时，，解得，当时，，则，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，则，又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则，则，所以，又，则，又，所以，当n为奇数时，，而，则，解得；当n为偶数时，，而，则；综上所述，实数的取值范围为.故选：C6．（山东省济南市2023届高三下学期3月一模）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（

）A．3 B．6 C．4或5 D．6或7【详解】，故，因为，所以或5时，取得最大值.故选：C多选题7．（江苏省八市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城）2023届高三二模）已知数列{an}的前n项和为，，若，则k可能为（

）A．4 B．8 C．9 D．12【详解】，当时，由，解得或（舍去），所以A选项正确.，，，所以B选项错误.，所以C选项正确.，所以，所以D选项错误.故选：AC8．（山东省济南市2023届高三下学期3月一模）已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）A．B．C．D．若数列满足，则【详解】A选项，，故，由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立，故，A正确；B选项，由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，故，，故，当且仅当时，等号成立，故，依次类推，可得，当且仅当等号成立，故，B错误；C选项，设，，则在上恒成立，故在上单调递减，所以，故在上恒成立，，C正确；D选项，，，，D正确.故选：ACD9．（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?”.下列说法正确的是(

)A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)D．若最初有个桃子,则必有的倍数【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则,所以,即,故A正确;由A，,则,即是等比数列,若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,所以是以为公比的等比数列,故B正确.由B知,是等比数列,所以,即,若最初有个桃子,即,所以,故C错误;根据题意:,因为以为公比的等比数列,所以,化简得,因为,且为正整数,所以,即必有的倍数,故D正确.故选:ABD.10．（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（

）A． B．是数列的公比C． D．可能为常数列【详解】设等比数列的公比为.当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；当，所以，即，，所以ABC对．故选：ABC.填空题11．（福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测）数列满足，若，，则＝____________．【详解】解：因为，，所以，，，，所以数列的周期为4，又因为，所以.故答案为：-612．（广东省广州市2023届高三综合测试（一））已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________.【详解】因为数列是正奇数列，对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；当为偶数时，设，则为奇数，所以，，则，因此，.故答案为：.13.（2023年湖北省八市高三（3月）联考）高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为的前项和为.则（1）__________；（2）满足的最小正整数为__________.【详解】解：因为，所以，设，则有，所以数列是等比数列，公比，，所以，即，，所以，令，则，所以，所以，所以，所以；因为，因为，所以，，，所以，即，且当时，单调递增；又因为，即，所以单调递增，又因为所以，所以，所以或，所以当为偶数时，设，所以，所以，所以当为奇数时，设，所以，所以，所以，所以，当为偶数时，，由可得，，或(舍)，因为，所以，又因为为偶数，所以；当为奇数时，，由可得，由(舍)，或，因为，所以，所以，又因为为奇数，所以，综上所述，.故答案为：14．（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________．【详解】和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，所以.故答案为：解答题15．（福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测（二检））欧拉函数(n)(n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：(1)=1，(4)=2．(1)求，；(2)令，求数列的前n项和．【详解】（1）不超过9，且与其互质的数即为中排除掉3，6，9剩下的正整数，则；不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩下的正整数，则．（2）表示任意相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个，故分别取可得中与互质的正整数个数为，所以，所以．设数列的前项和为．，∴，两式相减得：则．16．（福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测）记等差数列的公差为，前项和为；等比数列的公比为，前项和为，已知，，．(1)求和；(2)若，，求的前项和．【详解】（1）由已知条件可得:①，②，③，由①②消去得:，由①③得:，所以，得或，所以或.（2）当时，，则，所以，所以，的前项和为17．（广东省2023届高考一模）已知各项都是正数的数列，前项和满足.(1)求数列的通项公式.(2)记是数列的前项和，是数列的前时，试比较与的大小.【详解】（1）当时，，所以或（舍去），当时，有两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）由（1）得，则，所以，由（1）得所以，因为，所以，故，所以当时，.18．（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一））佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.【详解】（1）由题意可知：，注意到，取等差数列的公差，则，令，解得，即24为第5项；令，解得，即19.2为第7项；故符合题意.（2）可以，理由如下：由（1）可知：，设数列的前项和为，∵，故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.19．（广东省广州市2023届高三综合测试（一））已知数列的前项和为，且(1)求，并证明数列是等差数列：(2)若，求正整数的所有取值.【详解】（1）由，得，当时，，所以，当时，，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，所以，，，两式相减得，所以，则，由，得，即，令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，由，，则当时，，所以若，正整数的所有取值为.20．（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记，为数列的前n项和，已知，．(1)求，并证明是等差数列；(2)求．【详解】（1）已知，，当时，，；当时，，，所以．因为①，所以②．②－①得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列．（2）解：由（1）知，，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，.21．（湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试）设数列的前n项和为．已知，，．(1)求证：数列是等差数列；(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．【详解】（1）①，当时，②，①－②得：,即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列．（2）由（1）得，．当时，；当时，；又满足上式，所以．所以，记数列的前n项和为．，①，②①－②得，③则，④③－④得，所以．22．（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.（1）求数列的通项公式；（2）对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.【详解】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.

23．（江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模）在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”