《正切函数的图象与性质》示范课教案【高中数学】

《正切函数的图象与性质》教学设计教学目标教学目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．教学重难点教学重难点教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用．教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象．课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习正切函数的图象与性质.（板书：7.3.2.3正切函数的图象与性质）设计意图：情境导入，引入新课。【探究新知】问题1：（1）正切函数y＝tanx的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x)＝tanx说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tanx的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x)＝－tanx说明了正切函数的什么性质？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：（1）．（2）周期性．tan(kπ＋x)＝tan_x(k∈Z)．（3）正切函数是奇函数．追问：如何画出正切函数的图象？正切函数的图象特征是什么？预设的答案：利用正切线作出函数的图象（如图）．作法如下：(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆．(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．(3)描点．（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）(4)连线．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数，且的图象，我们把它叫做正切曲线(如图)．正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．在每个开区间上都是增函数。设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1.求函数的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由得()，所以所求函数的定义域为，}；值域为；函数的定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数又不是偶函数；正切函数在区间上为增函数，因此令，解得，即函数的单调递增区间为．反思与感悟：(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．设计意图：掌握正切函数的定义域、值域及奇偶性和单调性。例2.已知函数，求的单调递增区间．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由，可得：，．∴单调增区间为，（）．反思与感悟：求函数的单调区间时，将视为整体，代入函数的单调区间即可，注意的符号对单调区间的影响．设计意图：掌握正切函数的单调区间的求法例3.求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈[，]的值域．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由x∈[，]，得tanx∈[1，]，令tanx＝t，则t∈[1，]．∴y＝－tan2x＋10tanx－1＝－t2＋10t－1＝－(t－5)2＋24．由于1≤t≤，∴8≤y≤10－4，故函数的值域是[8,10－4]．反思与感悟：三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化．设计意图：掌握三角函数与二次函数的综合问题的求解方法。【课堂小结】1.板书设计：7.3.2.3正切函数的图象与性质1.正切函数的定义域、值域问题例12.正切函数的单调性问题例23.正切函数综合问题例32．总结概括：问题：1.正切函数y＝tanx的性质有哪些？2.求正切函数定义域的方法是什么？3.运用正切函数的单调性比较大小的方法是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1.熟练掌握正切函数的性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）最小正周期：；（4）奇偶性：奇函数；（5）单调性：在每一个开区间内均为增函数．2.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.3.①当角为同一单调区间内的角时，可以利用正切函数的单调性比较其函数值的大小；②当角不在同一单调区间内时，要先利用诱导公式，将所给的角转化到同一单调区间内，再利用单调性比较其大小.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确正切函数的图象与性质的有关知识．布置作业：【目标检测】1.函数的定义域是（）A． B．C． D．设计意图：巩固正切函数的定义域的求法。2.下列点不是函数的图象的一个对称中心的是（）A． B． C． D．设计意图：巩固正切函数的对称中心的求法。3.观察正切函数的图象，满足的取值范围是（）A． B． C． D．设计意图：巩固正切函数的单调性的求法。4.求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．设计意图：巩固正切函数的定义域的求法。5.已知函数．（1）求最小正周期、定义域；（2）若，求x的取值范围．设计意图：巩固正切函数的性质的综合应用。参考答案：1.因为的定义域为，所以由，解得，故选C．2.对于函数的图象，令，求得，可得该函数的图象的对称中心为．结合所给的选项，A、C、D都满足，故选B。3.由得，∴由正切函数y=tanx的性质得，∴使不等式的x的取值范围是.4.（1）由题意，要使函数有意义，必须且只需满足