高中数学竞赛(预赛)训练试题(六)

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）

姓名： 班级

： 分数

：

一、填空题（本题满分

56

分，每小题

7

分。）

1．已知复数

m

满足

m

1

1

1

，则

m

2008

m m

2009

．

2

．

设

f

(

x)

为 ．

1

3

cos

2

x

sin

x

cos

x

2

，

x

[

,

]

，

则

f

(

x)

的

值

域

2

2

6

4

a

3．设等差数列

n

的前

n

项和为

S

n

，若

S

15

0,

S

0

，则

16

S

1

,

a

1

S

a

S

2

,,

15

中最大

a

2

15

的是 ．

4．

已知

O

是锐角△

ABC

的外心，

AB

6,

AC

10

，若

AO

x

AB

y

AC

，且

2

x

10

y

5

，则

cos

BAC

．

5．已知正方体

ABCD

A1

B1C1

D1

的棱长为

1，O

为底面

ABCD

的中心，M，N

分别

是棱

A1D1

和

CC1

的中点．则四面体

O

MNB1

的体积为

．

6．设

A

B

C

{1,2,3,4,5,6}

，且

A

B

{1,2}

，{1,2,3,4}

B

C

，则符合条件

的

(

A,

B,

C

)

共有 组．（注：

A,

B,

C

顺序不同视为不同组．）

7

．

设

y

sin

x

cos

x

tan

x

cot

x

sec

x

csc

x

，

则

|

y

|

的

最

小

值

为 ．

8．设

p

是给定的正偶数，集合

A

{x

|

2

p

x

2

p1

,

x

3m,

m

N}

的所有元素的

p

和是 ．

二、解答题（本题满分

64

分，第

9

题

14

分，第

10

题

15

分，第

11

题

15

分，第

12

题

20

分。）

9

．

设

数

列

{a

}(n

0)

满

足

a

2

，

a

n 1

mn

a

mn

m

n

1

(a

2

2m

a

)

，其中

2n

m,

n

N,

m

n

．

（1）证明：对一切

n

N

，有

a

n2

2a

n1

a

2

；

n

（2）证明：

1

a

1

1

1

1

．

a

a

2

2009

10．求不定方程

x

x

x

3x

3x

5x

21的正整数解的组数．

1 2 3 4 5 6

11．已知抛物线

C：

y

1

2

x

2

与直线

l：

y

kx

1

没有公共点，设点

P

为直线

l

上的

动点，过

P

作抛物线

C

的两条切线，A，B

为切点．

(1)证明：直线

AB

恒过定点

Q；

12．设

a,

b,

c,

d

为正实数，且

a

b

c

d

4

．证明：

a

2 b

2 c

2 d

2

4

(a

b)

2

．

b c d a

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（六）

参考答案

一、填空题（本题满分

56

分，每小题

7

分。）

1．已知复数

m

满足

m

1

1

1

，则

m

2008

m m

2009

0

．

4

．

2

．

设

f

(

x)

3

[2,2 ]

1

3

cos

2

x

sin

x

cos

x

2

，

x

[

,

]

，

则

f

(

x)

的

值

域

为

2

2

6

4

a

3．设等差数列

的前

n

项和为

S

n

n

，若

S

15

0,

S

0

，则

16

S

1

,

a

1

S

a

S

2

,,

15

中最大

a

2

15

的是 S8 ．

a

8

4．

已知

O

是锐角△

ABC

的外心，

AB

6,

AC

10

，若

AO

x

AB

y

AC

，且

2

x

10

y

5

，则

cos

BAC

1

3

．

5．已知正方体

ABCD

A1

B1C1

D1

的棱长为

1，O

为底面

ABCD

的中心，M，N

分别

7

是棱

A1D1

和

CC1

的中点．则四面体

O

MNB1的体积为 48

．

6．设

A

B

C

{1,2,3,4,5,6}

，且

A

B

{1,2}

，{1,2,3,4}

B

C

，则符合条件

的

(

A,

B,

C

)

共有 1600 组．（注：

A,

B,

C

顺序不同视为不同组．）

7

．

设

y

sin

x

cos

x

tan

x

cot

x

sec

x

csc

x

，

则

|

y

|

的

最

小

值

为

2 2 1 ．

8．设

p

是给定的正偶数，集合

A

{x

|

2

p

x

2

p1

,

x

3m,

m

N}

的所有元素的

p

和是

22

p1

2

p1

．

二、解答题（本题满分

64

分，第

9

题

14

分，第

10

题

15

分，第

11

题

15

分，第

12

题

20

分。）

9

．

设

数

列

{a

}(n

0)

满

足

a

2

，

a

n 1

mn

a

mn

m

n

1

(a

2

2m

a

)

，其中

2n

m,

n

N,

m

n

．

（1）证明：对一切

n

N

，有

a

n2

2a

n1

a

2

；

n

（2）证明：

1

a

1

1

1

1

．

a

a

2

2009

证明 （1）在已知关系式

a

mn

a

mn

m

n

1

2

(a

2m

a

)

中，令

m

n

，可得

2n

a

0

；

0

令

n

0

，可得

a

令

m

n

2

，可得

2m

4a

2m

①

m

2

a

2n2

a

2

1

(a

2

2n4

a

)

②

2n

由①得

a

2n2

4a

n1

2(n

1)

，

a

4a

2

6

，

a

2

1

2n4

4a

n2

2(n

2)

，

a

2n

4a

2n

，

n

代入②，化简得

a

n2

2a

n1

a

2

．

------------------------------------------7

分

n

（2）由a

n2

2a

n1

a

2

，得(a

n

n2

a

n1

)

(a

n1

a

)

2

，故数列{a

n

n1

a

}

n

是首项为

a

a

2

，公差为

2

的等差数列，因此

a

1 0

n1

a

2n

2

．

n

于是

a

(a

a

)

a

(2k

)

0

n(n

1)

．

n k

n

k

1

k

1

0

n

k

1

因为

1

a

n

1

1

1

(n

1)

，所以

n(n

1)

n

n

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

(1

)

(

)

( )

1

1

．

a a a 2 2 3 2009 2010 2010

1 2 2009

------------------------------14

分

10．求不定方程

x

x

x

3x

3x

5x

21的正整数解的组数．

1 2 3 4 5 6

解 令

x

x

x

x

，

x

x

y

，

x

z

，则

x

3,

y

2,

z

1

．

1 2 3 4 5 6

先考虑不定方程

x

3

y

5

z

21满足

x

3,

y

2,

z

1

的正整数解．

x1

，

方

程

x

3,

y

2,

z

1

，

5z

21

x

3

y

12

，

1

z

2

．-----------------------5

分

当

z

1

时

，

有

x

3

y

16

，

此

方

程

满

足

x

3,

y

2

的

正

整

数

解

为

(

x,

y)

(10,

2),

(7,

3),

(4,

4)

．

当

z

2

时，有

x

3

y

11

，此方程满足

x

3,

y

2

的正整数解为

(

x,

y)

(5,

2)

．

所以不定方程

x

3

y

5

z

21满足

x

3,

y

2,

z

1

的正整数解为

(

x,

y,

z)

(10,

2,

1),

(7,

3,

1),

(4,

4,

1),

(5,

2,

2)

．

---------------------------------------10

分

又

方

程

x

x

x

x(

x

N

,

x

3)

的

正

整

数

解

的

组

数

为

C

2

1 2 3

x

x

y

(

y

N

,

x

2)

的正整数解的组数为

C

1 ，故由分步计数原理知，原不定方程

4 5 y1

的正整数解的组数为

C

2C1

C

2

C1

C

2

C1

C

2C1

36

30

9

6

81．

-------------------------------15

分

9 1 6 2 3 3 4 1

11．已知抛物线

C：

y

1

2

x

2

与直线

l：

y

kx

1

没有公共点，设点

P

为直线

l

上的

(2)若点

P

与（1）中的定点

Q

的连线交抛物线

C

于

M，N

两点，证明：

PM

动点，过

P

作抛物线

C

的两条切线，A，B

为切点．

(1)证明：直线

AB

恒过定点

Q；

PN

QM

QN

．

证明

(1)设

A(

x

,

y

)

，则

y

1 1 1

1

x

2

．

2

1

由

y

1

2

x

2

得

y

x

，所以

y

|

x

x1

x1

．

于是抛物线

C

在

A

点处的切线方程为

y

y

x

(

x

x

)

，即

y

x

x

y

．

1 1 1 1 1

设

P(

x

,

kx

1)

，则有

kx

1

x

x

y

．

0 0 0 0

1 1

设

B(

x

,

y

)

，同理有

kx

1

x

x

y

．

2 2 0 0 2 2

所以

AB

的方程为

kx

1

x

x

y

，即

x

(

x

k

)

(

y

1)

0

，

0 0 0

所以直线

AB

恒过定点

Q(k

,1)

． ------------------------------------------7

分

(2)PQ

的方程为

y

kx

2

0

x

k

0

1

(

x

k

)

1，与抛物线方程

y

x

2

联立，消去

y，得

2

x

k

x

k

2kx

4 (2k

2

2)

x

2k

0 0

x

2

x

0

．

x

k x

k

0 0

设

M

(

x

,

y

)

，

N

(

x

,

y

)

，则

3 3 4 4

2kx

4 (2k

2

2)

x

2k

0

x

x

,

x

x

0

3 4 3 4

0 0

①

要证

PM

QN

，只需证明

x

x

PN

QM

3

x

x

4

0

0

k

x

3

，即

x

k

4

2

x

x

(k

x

)(

x

x

)

2kx

0 ②

3 4 0 3 4 0

x

k

x

k

由①知，

2(2k

2

2)

x

4k 2kx

4

0 0

②式左边=

(k

x

)

2kx

0

0 0

0

2(2k

2

2)

x

4k

(k

x

)(2kx

4)

2kx

(

x

k

)

0 0 0 0 0

0

．

x

k

0

故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15

分

12．设

a,

b,

c,

d

为正实数，且

a

b

c

d

4

．证明：

a

2 b

2 c

2 d

2

4

(a

b)

2

．

b c d a

证明

因为

a

b

c

d

4

，要证原不等式成立，等价于证明

a

2 b

2 c

2 d

2 4(a

b)

2

a

b

c

d

①

-------------