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文档简介

二次型一.化二次型为标准形化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法.注：将二次型f

用正交变换化为标准形的一般步骤为：

写出二次型f

的矩阵A；求出A

的全部相异特征值1,2,…,m，对每一个ri

重特征值i，求出对应的ri

个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的r1+r2+…+rm=n

个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n

阶方阵Q，则Q

为正交阵且Q-1AQ=QTAQ=为对角阵；作正交变换X=QY，即可将二次型化为只含平方项的标准形：

f=XTAX=YT

(QTAQ)Y=YT

Y.注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：情形1二次型中含有平方项，如含有x12，先集中含有x1的项，对x1配成完全平方，再集中含有x2的项，对x2配成完全平方，如此继续下去，直到化为标准形.情形2二次型中不含平方项，只含有xixj

的项，此时先作可逆线性变换将二次型化为含平方项的二次型.二.正定二次型及正定矩阵的判定1.利用特征值判定注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定.2利用定义判定3.

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