空间解析几何基础知识演示文稿

空间解析几何基础知识演示文稿12五月20231目前一页\总数三十一页\编于十点12五月20232（优选）空间解析几何基础知识目前二页\总数三十一页\编于十点第一节空间解析几何基础知识

第六章一、空间直角坐标系二、常见的空间曲面与方程三、平面区域的概念及其解析表示目前三页\总数三十一页\编于十点一、空间直角坐标系

在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz,取定正方向,各轴上再规定一个共同的单位长度,这就构成了一个空间直角坐标系,记为Oxyz,并称O为坐标原点,称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴.目前四页\总数三十一页\编于十点

称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称xOy,yOz,zOx平面.目前五页\总数三十一页\编于十点

对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴正向时,中指正好指向z轴方向.目前六页\总数三十一页\编于十点

设给定空间中一点M,过点M作三个平行于坐标平面的平面,它们与x,y,z轴分别交于点P、Q、R,其所在坐标轴上的坐标分别为x,y,z.

我们称与点M对应的三个有序的实数为点M的坐标,记为M=M(x,y,z)其中x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,或称为x坐标、y坐标、z坐标.目前七页\总数三十一页\编于十点

三个坐标平面将空间分成八块,每一块叫做一个卦限,我们将八个卦限编号,在上半空间为I,II,II,IV,在它们的下方分别为V,VI,VII,VIII.目前八页\总数三十一页\编于十点

对于空间中任意两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离为目前九页\总数三十一页\编于十点

特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的距离为目前十页\总数三十一页\编于十点二、常见的空间曲面与方程

空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.凡位于这一曲面上的点的坐标x,y,z都要满足一个三元方程F(x,y,z)=0(7.3)

而不在这个曲面上的点的坐标都不满足方程(7.3).我们称方程(7.3)为曲面S的方程.曲面S的几何图形称为方程(7.3)的图形.下面来解决关于曲面的两个基本问题:1.巳知曲面的几何轨迹,建立曲面的方程目前十一页\总数三十一页\编于十点例1

求球心在点半径为R的球面方程.特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为目前十二页\总数三十一页\编于十点例2一动点M(x,y,z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的故M(x,y,z)的轨迹方程xoz面的方程为y=0

距离相等,求此动点M的轨迹方程.(即A、B两点连线的垂直平分面的方程)为因xy平面上任意一点的坐标满足z=0；而凡满足z

=0的点又都在xy平面上；故坐标平面的方程分别为xoy面的方程为z

=0yoz面的方程为x=0目前十三页\总数三十一页\编于十点平行于xy面的平面方程为z=c(c为常数,表示此平面平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数,表示此平面

平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数,表示此平面Ax+By+Cz+D=0

重要结论:

平面方程均为一次方程.

其中A、B、C、D均为常数,且A、B、C不全为0.在z轴上的截距)在y轴上的截距)在x轴上的截距)一般地,x,y,z的三元一次方程所表示的图形均是平面.

空间平面方程的一般形式为目前十四页\总数三十一页\编于十点2.已知曲面的方程,研究方程的图形通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于会得出曲面S的全貌——这种方法称为一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.但若依次用平行于坐标面的平面x=a、y=b和z=c去截曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就例考察下列的图形方程:“平行截口”法.目前十五页\总数三十一页\编于十点解用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆当c=0时,只有原点(0,0,0)满足此方程；若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕为当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,显然c越大，其截痕圆越大.zyOx以半径为R的圆.抛物线.故曲面是一个旋转抛物面(如图).目前十六页\总数三十一页\编于十点1.平面空间平面方程的一般形式为ax+by+cz+d=0(7.4)其中a,b,c,d为常数,且a,b,c不全为零.例如,当a=b=d=0,而c≠0时,得平面方程z=0,也就是xOy平面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.

常见的空间曲面主要有平面、柱面、二次曲面等.目前十七页\总数三十一页\编于十点2.柱面

设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.目前十八页\总数三十一页\编于十点

柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线都相交的曲线都可作为准线.我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面.设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲线L可以用联立方程组表示.目前十九页\总数三十一页\编于十点

例如x2+y2=R2表示空间的一个圆柱面,它的母线平行于Oz轴,准线是xOy平面上的圆.目前二十页\总数三十一页\编于十点

方程x2－y2=1表示母线平行于Oz轴,准线为双曲线的双曲柱面.目前二十一页\总数三十一页\编于十点方程y2=2px表示抛物柱面.目前二十二页\总数三十一页\编于十点3.二次曲面三元二次方程a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0(7.5)所表示的空间曲面称为二次曲面,其中ai,bi,ci(i=1,2,3)和d均为常数,且ai,bi不全为零.(1)球面x2+y2+z2=R2(R>0)(7.6)目前二十三页\总数三十一页\编于十点(2)椭球面当a=b=c=R时,即为球面.目前二十四页\总数三十一页\编于十点(3)单叶双曲面目前二十五页\总数三十一页\编于十点(4)双叶双曲面目前二十六页\总数三十一页\编于十点(5)二次锥面(6)椭圆抛物面目前二十七页\总数三十一页\编于十点(7)双曲抛物面(马鞍面)目前二十八页\总数三十一页\编于十点例7.1

求球面方程x2+y2+z2－4x+6y+8z=0的球心和半径.解用配方法将原方程改写为(x－2)2+(y+3)2+(z+4)2－29=0即所以球心坐标为(2,－3,－4),半径.目前二十九页\总数三十一页\编于十点三、平面区域的概念及其解析表示

设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实数,以P0为圆心,以δ为半径的圆