函数的增减性曲线的凹凸性与拐点

关于函数的增减性曲线的凹凸性与拐点5/12/20231第1页，课件共40页，创作于2023年2月一、函数增减性图1图25/12/20232第2页，课件共40页，创作于2023年2月1.利用导数来判定函数的单调性解

5/12/20233第3页，课件共40页，创作于2023年2月

解

经验5/12/20234第4页，课件共40页，创作于2023年2月解：经验:从例2、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点都可能成为单调区间的分界点.5/12/20235第5页，课件共40页，创作于2023年2月求单调区间的基本步骤：（1）确定定义区间；（2）求函数f(x)的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符号，进而确定单调区间。5/12/20236第6页，课件共40页，创作于2023年2月2.利用导数来证明不等式所以5/12/20237第7页，课件共40页，创作于2023年2月二、函数的极值5/12/20238第8页，课件共40页，创作于2023年2月2.函数取得极值的充要条件

说明：5/12/20239第9页，课件共40页，创作于2023年2月下面给出判断极值点的两种不同方法.5/12/202310第10页，课件共40页，创作于2023年2月3.第一充分条件（TheFirstSufficientCondition）（极小值）5/12/202311第11页，课件共40页，创作于2023年2月（是极值点情形）（不是极值点情形）5/12/202312第12页，课件共40页，创作于2023年2月5/12/202313第13页，课件共40页，创作于2023年2月根据上述讨论，5/12/202314第14页，课件共40页，创作于2023年2月解所以5/12/202315第15页，课件共40页，创作于2023年2月解所以5/12/202316第16页，课件共40页，创作于2023年2月4.第二充分条件（TheSecondSufficientCondition）5/12/202317第17页，课件共40页，创作于2023年2月解题步骤：5/12/202318第18页，课件共40页，创作于2023年2月解5/12/202319第19页，课件共40页，创作于2023年2月函数的最大值最小值（ExtremeProblems）在很多学科领域与实际问题中，经常遇到在一定条件下如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题，这类问题我们称为最优化问题.在数学上，它们常归结为求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、最小值问题（简称为最值问题）．5/12/202320第20页，课件共40页，创作于2023年2月我们来看一下下面的几幅图：5/12/202321第21页，课件共40页，创作于2023年2月解5/12/202322第22页，课件共40页，创作于2023年2月求最大值与最小值思路：5/12/202323第23页，课件共40页，创作于2023年2月（解答见下页）（补充题）5/12/202324第24页，课件共40页，创作于2023年2月5/12/202325第25页，课件共40页，创作于2023年2月三、曲线的凹凸性及拐点（InflectionPoint）1、曲线凹凸的定义显然，曲线AB与BC都是单调增加的，但它们单调增加的变化方式却有所不同。这说明：仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。5/12/202326第26页，课件共40页，创作于2023年2月定义:如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）(concave)；如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）(convex)。连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点(inflectionpoint)。高等数学第二章第四节06-04第27页，课件共40页，创作于2023年2月5/12/202327x1x2xyo12凹(concave)高等数学第二章第四节06-05第28页，课件共40页，创作于2023年2月5/12/202328xyo12x2x1凸(convex)高等数学第二章第四节06-06第29页，课件共40页，创作于2023年2月5/12/202329直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．5/12/202330第30页，课件共40页，创作于2023年2月2、曲线凹凸性的判定（证明略）5/12/202331第31页，课件共40页，创作于2023年2月解

5/12/202332第32页，课件共40页，创作于2023年2月解：凹的凸的凹的拐点拐点5/12/202333第33页，课件共40页，创作于2023年2月1.函数单调性的判别法（定理1）内容小结（1）会利用导数来判定函数的单调性（2）会利用导数来证明一些不等式（3）利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式5/12/202334第34页，课件共40页，创作于2023年2月解

5/12/202335第35页，课件共40页，创作于2023年2月四、函数图形的描绘5/12/202336第36页，课件共40页，创作于2023年2月5/