数学必修五复习提纲习题解三角形

(6)三角形中的诱导ABCABCA

Ctan(A A

2

,

sin

1、解三角利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AASASA)，求其他的两边及一角（只有一解②已知两边及夹角(SAS)，求第三边和其他两角（只有一解（（（边cc，最后根据方程根的情2、判断三角形形状或求①常用：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa2b2c22bccosAsin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcos②常见结论sinA=sinBAB(等腰三角形

sin2A=sin2BAB(等腰三角形)或AB(直角三角形 方法三：角化边（统一化成边sin

,sinB

,sinCc, cosA②常见结论

b2c2

,cosB

a2c2

,cosC

a2b2,a2b2c2A90(钝角三角形a2b2c2A90(直角三角形a2b2b2a2c2锐角三角①acosAbcosB(等腰三角形或直角三角形② cos

cos

cos

(等边三角形③bacosC(直角三角形④sinA2sinBcosC(等腰三角形⑤（abc)(bca)3bc,且sinA2sinBcosC(等边三角形1】在

A、B、C的对边长分别为a、bca2

，且sinAcosC3cosAsinC,a2b2c2 b2c2a2b2c2 b2c232(a2

.又由已知a2

.解得b4或b

a2c2b22bccosA.又a2

,b

.b2ccosA2又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcos sin(AC)4cosAsinC即sinB4cosAsinC，由正弦定理得sinB

，故b

②，由①，②解得b 3【例2】在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanAtanC tanAtanC的值3 A

3A3tanAtan

333 ，得 2 ，所以tanAtanC 333

tanAtanC1tanAtan

33tanAtanC tanAtanC 33 3、构成三角形三边的问2a12a22a

55

x

5,

24、周长面积问题（记得同时利用两个：余弦定理和完全平方aa22bccosAb2c2=bc2解：由S1bcsinA，即103= 3bc,bc40又abc=20,bc20 a2b2c22bccosAbc22bca220a2120,a7，BC长为5、正、余弦定理的综合应36】在ABCABC所对应的边分别为abca32sinBcosCsinAAB及b

，

ABtan

A 【解析】由 4

cos2sin

sin2cos

4 1 1

4∴sinC12 又C(0,C

，或C

由2sinBcosCsinA得2sinBcosBsin(BC，即sin(BC)∴BC，BC ，A(BC) sin1sin

sin

sin

sin

得bca 23sinA

2327】在

的对边分别为a,bc

cosA4b 353求

（Ⅱ）

（Ⅰ）∵A、B、C△ABCB

，∴C2A,sinA3 ∴sinCsin2A 3cosA1sinA34

3由（Ⅰ）知sinA3,sinC343，又∵B,b ，∴在△ABC中，由正弦定理，absinA63 sin ∴△ABCS1absinC16

3343369

B2

B+C

2=2－2

=cosA+2sin2=1－2sin22+2sin2=－2(sin2

；当

，即 时,

9】在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠Ca、b、ca2－c2=ac－bc，求∠A的bsinB的值c在△ABC

b2c2a

=bc=

在△ABC

bsinA

bsinB

b2sin

323 得2

bcsinA=2

bsinB=sinA=3 【练习1】若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ 【解析】由sinAsinBsinC511:1352112由余弦定理得cosc

25

0C【练习2】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b23bc，sinC23sinB，则 （A）

（B）

c

c23b22

b2+c2-a2

3bc23bc

23】在△ABCA、B、Ca、b、cABACBABCk(k（Ⅰ）判断△ABC的形状 （Ⅱ）若c（I）ABACcbcosABABCcacos

2,求k又ABACBAbccosAaccossinBcosAsinAcos即sinAcosBsinBcosA0sinAABA

b2c2a c（II）（I）a

ABACbccosAbc

c 2

ABaACbab0

1a3,b5，则BAC（（A.．

B．

D．30或

求；(2)c－b＝11-13121-1312 【解析】由cosA＝13，得 ＝13.又a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2·156·1-12 13 【练习6】在ABC中，sinAcosA 2，AC2，2

3,求tanA的值和ABC1】sinAcosA

2cos(A45) 2,cos(A45)1又0A180A

60)1 1 60,A60)1 1

32 3

sin(4560)sin45cos60cos45sin60 26262426262 1ACABsinA

123 3

6)

sinAcosA ①(sinAcosA)212sinAcosA 0A180,sinA0,cosA(sinAcos

12sinAcosA3，sinAcosA ①+②

sinA2 6 ①－②6

cosA2 63463从而tanAsinAcos

6 2242242

【练习7】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C 333若△ABC

，求a，b（Ⅱ）若sinCsin(BA2sin2A，求△ABC（Ⅰ）a2b2ab4，又因为△ABCa2b2ab

，所以absinC ，3312331ab4．联立方程组ab

a2b2由题意得sin(BAsin(BA)4sinAcosA，即sinBcosA2sinAcosA4242当cosA0时，A ，B ，a ，b ，当cosA0时，得sinB2sinA a2b2ab由正弦定理得b2a，联立方程组 解得ab

23，b43 所以△ABCS

1absinC2 2（Ⅱ）（）BCD9006001500,CBAC24cosCBEcos4503006 24

所以CBE150在ABEAB2

sin450150

sin9001502sin

262 62

6 46、实际应用题（求距离，角度，高度的问题抽 推 还10BAα＝60°CAβ＝30BC28m，CD.,,,

sin(90sin(90所以，ABBCsin(90 BCsin( sin(解RtABD得BDABsinBADBCcossin28cos30sin

sin(

3011A40B处有一艘渔船遇险，θCBBcosθ的值．【解析】在△ABC由余弦定理知：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800BC＝20

21，＝ ＝ ＝7＝14又θ＝∠ACB＋30°，则＝14在△ABC中，a＝2 2，B＝45°，则角A等于( A．60°或120° C．30°或150° 在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( 33 33 ②a∶b∶c＝2∶5∶ ③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3 A．0 B．1 C．2 D．3在△ABC

22

2

tanC的值为 33C.

D.2在△ABC中，sinBsinC＝cos2A，则△ABC是 2 6 66．－ B. 23已知两座灯塔A和B与观察站C的距离都等于10km，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东20°，则灯塔A与B的 23

D．15 3，A＝60°，则BC边的长是 二、填空题(520分一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船行的速度为 在△ABC中，若b＝1，c＝ ＝3等边△ABC的边长为1，→＝a，→＝b，→＝c，那么 在△ABC中 求sinA；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长 ＝516、如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，∠ABCBCADD，求△ABD的面积．17O2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，BABABC.BOACB

× 3×

2＝3 可得BA＝1，由余弦定理可得AC＝3，∴A为直角．∴C＝30°，tanC＝3

2

2

52，∴c＝

a b可得15

b＜aB＜AB 6

＝3＝3

3

6.∴速度为4

解析：∵在等边△ABC中，A＝B＝C＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝|a|·|b|cos〈

1∴a·b＋b·c＋ 3 解析：∵三角形的两条边之比为8∶5，∴可设这两条边为8k,5k.∴(8k)2＋(5k)2－142＝2×8k×5k×cos60°，即3

解：(1)由 C是三角形内角，得sinC＝ 5＝＝5 5＝5 22 25

35＝＋2