数列求和常用方法

掌握一些简单数列的求和方法12021/5/9

常用的公式有：(1)等差数列{an}的前n项和

Sn=

=

.(2)等比数列{an}的前n项和

Sn=

=

(q≠1)(3)12+22+32+…+n2=

.(4)13+23+33+…+n3=

.na1+dn(n+1)(2n+1)n2(n+1)21．公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．常用求和方法22021/5/9课堂互动讲练考点突破公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．32021/5/9(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【思路点拨】利用a1，a3，a9成等比数列，可求公差d，从而得出an.例142021/5/952021/5/9分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.62021/5/9例272021/5/982021/5/9倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.92021/5/9例3102021/5/9裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：112021/5/9已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；例4【思路点拨】由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利用公式可得an，Sn.对于{bn}，利用裂项变换，便可求得Tn.122021/5/9132021/5/9142021/5/9错位相减法对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错位相减，使其转化为等比数列问题来解．152021/5/9(2010年高考课标全国卷改编)设等比数列{an}满足a1＝2，a4＝128.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.【思路点拨】利用公式求得an，再利用错位相减法求Sn.例5162021/5/9172021/5/9

6.并项法

将数列的每两项(或多次)并到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.例六：Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2182021/5/9当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］=-3-7-…-(2n-1)=.当n是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］=1+5+9+…+(2n-1)=.故Sn=(-1)n-1(n∈N*).192021/5/91．注意对以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用．(2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．(3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和．方法感悟202021/5/92．常见求和类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解(但要注意对q要分q＝1与q≠1两种情况进行讨论)；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an}前n项和；(4)an＝bn·cn，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减