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4.1数列的概念（2）例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式

典例解析新知探究

新知探究概念解析通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.

一、数列的递推公式新知探究1.设数列{an}满足a1=1,小试牛刀新知探究1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.点睛(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即概念解析二、数列的通项与前n项和新知探究分析由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.题型一

由递推公式求前若干项练习巩固方法技巧由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.练习巩固变1已知数列{an}满足an=4an-1+3(n>1),且a1=0,则此数列的第5项是(

)A.15 B.255 C.16 D.63答案

B解析

因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.练习巩固题型二

由递推公式求数列的通项公式练习巩固练习巩固练习巩固方法技巧由递推公式求通项公式常用的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n),n>1时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.练习巩固练习巩固例3(1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1,求数列{an}的通项公式.题型三

由数列的前n项和求通项公式练习巩固解

(1)∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.(2)当n≥2时

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