近十份大学微积分下期末试题汇总含答案

-.z.大学2007-2008学年春季学期"微积分Ⅱ"课程期末考试试卷一、填空题〔每题5分，共25分，把答案填在题中横线上〕1.点M〔1,－1,2〕到平面的距离d=.2.,,,那么.3.设可微，,那么=.4.设在[0，1]上连续，且＞,与为常数.,那么=.5.设为连续函数，交换二次积分次序.二、选择题〔每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号〕6.直线l1:与直线l2:的夹角为〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.[]7.设为连续函数，极坐标系中的二次积分可以写成直角坐标中的二次积分为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[]＜8.设为的以2为周期的余弦级数，那么＜〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.[]9.设那么在点O处〔A〕偏导数存在，函数不连续〔B〕偏导数不存在，函数连续〔C〕偏导数存在，函数连续〔D〕偏导数不存在，函数不连续[]三、解答题10.〔此题总分值10分〕求曲线L：在其上点M〔1，－1，2〕处的切线方程与法平面方程.11.〔此题总分值10分〕设F可微，z是由F(,确定的可微函数，并设，求.12.〔此题总分值10分〕设D是由曲线与直线围成的两块有界闭区域的并集，求.13.〔此题总分值10分〕求空间曲线L：上的点到平面的距离最大值与最小值.14.〔此题总分值10分〕设平面区域D=，计算二重积分.15.〔此题总分值5分〕设当y＞0时可微，且.求.大学2007－2008学年春季学期"微积分II"课程期末考试试卷答案一、填空题〔每题5分，共25分〕1．.2．.3．4．，.5．或或.二、选择题〔每题5分，共20分〕6．选〔B〕.l1的方向向量，l2的方向向量，.7．选〔D〕.积分区域，化成直角坐标后故知选〔D〕.8．选〔C〕..9．选〔A〕.，偏导数存在.取，随k而异，所以不连续．三、解答题〔10～14每题10分，15题5分，共55分〕10．由L，视x为自变量，有以代入并解出，得，所以切线方程为，法平面方程为，即.11．.12．D在第一象限中的一块记为D1，D在第三象限中的一块记为D2，.所以，原式.13．L上的点到平面的距离为，它的最大值点，最小值点与的一致，用拉格朗日乘数法，设，求偏导数，并令其为零有：，，，，．解之得两组解.所以当时，最小；当时，最大.14．将分成如图的两块，的圆记为D1，另一块记为D2+15．由，有，从而知，又由，推知，所以，.注：假设用凑的方法亦可：所以，．．大学2006–2007学年春季学期"微积分Ⅱ"课程期末考试试卷开课学院：理学院考试形式：闭卷考试时间：年月日所需时间：120分钟考生：_____学号：专业：________题序一二三四五六七总分得分评卷人填空题〔每题5分，总分值30分〕直线在平面上的投影直线方程为.数量场在点的梯度为函数在P点沿的方向导数为.设具有二阶连续偏导数，那么.设，那么.曲面与椭球面在第一卦限相切，那么切点坐标为，公共切平面方程为.设函数，，其中，那么〔总分值10分〕求直线绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程.〔总分值10分〕计算.(总分值15分)由方程确定，试求.〔总分值15分〕设平面为曲线上的点到平面的距离，求的最大，最小值.(总分值15分)如图是一块密度为〔常数〕的薄板的平面图形〔在一个半径为R的半圆直径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h〕,平面图形的形心位于原点(0,0).试求：1.长度h；2.薄板绕x轴旋转的转动惯量.(总分值5分)求证:当时，成立不等式.参考解答：一．1．；2.；3.；4.5.6..二．直线：曲面上点直线上点那么旋转曲面方程：三．四．五．最小距离：，最大距离：六．形心：即七．设且对固定的，当当所以，取得最小值且为0，那么，即1、,那么_____________.2、,那么___________.3、函数在点取得极值.4、,那么________.5、以(为任意常数)为通解的微分方程是____________________.知与均收敛,那么常数的取值围是(c).(A)(B)(C)(D)数在原点连续,是因为该函数(b).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值8、假设,,,那么以下关系式成立的是(a).(A)(B)(C)(D)9、方程具有特解(d).(A)(B)(C)(D)10、设收敛，那么(d).(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定一、填空题(每题3分,共15分)1、.2、.3、.4、1.5、.11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：的函数为。且时，。于是12、求二重极限.解：原式(3分)(6分)13、由确定，求.解：设，那么，，，(3分)(6分)14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解：令,得,,为极小值点.(3分)故在下的极小值点为,极小值为(6分)15、计算.解：(6分)6、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限的区域.解：＝＝(6分)17、解微分方程.解：令,,方程化为,于是(3分)(6分)18、判别级数的敛散性.解：(3分)因为19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于,,,(3分)那么,.(6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:，求最优广告策略解：公司利润为令即得驻点,而(3分),,,,所以最优广告策略为：电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元).(6分)四、证明题(每题5分,共10分)21、设，证明：.证：22、假设与都收敛,那么收敛.证：由于,(3分)并由题设知与都收敛,那么收敛,从而收敛。(6分)1、设，那么_____________.2、，那么＝___________.3、设函数在点取得极值，那么常数4、,那么________5、以(为任意常数)为通解的微分方程是__________________.6、与均收敛,那么常数的取值围是().(A)(B)(C)(D)7、对于函数,点().(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点(C)是极大值点(D)是极小值8、,,其中为,那么().(A)(B)(C)(D)9、方程具有特解().(A)(B)(C)(D)10、级数收敛，那么级数().(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不定11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限.13、设,求.14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值.15、计算.16、计算二重积分,其中是由轴及圆周所围成的在第一象限的区域.17、解微分方程.18、判别级数的敛散性.19、将函数展开成的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,假设生产单位甲产品,生产单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.21、设,证明.22、假设与都收敛,那么收敛.〔可能会有错误大家一定要自己核对〕一、填空题(每题3分,共15分)1、设，且当时，，那么。〔〕2、计算广义积分=。〔〕3、设，那么。〔〕4、微分方程具有形式的特解.〔〕5、设，那么_________。〔1〕二、选择题(每题3分,共15分)1、的值为〔A〕A.3B.0C.2D.不存在2、和存在是函数在点可微的〔A〕。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是〔D〕。A.；B.；C、；D.4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，那么其通解为〔C〕。A.；B.；C.；D.5、无穷级数(为任意实数)〔D〕A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题(每题6分,共60分)1、求以下极限：。解：…〔3分〕…〔6分〕2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：…〔4分〕…〔6分〕3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有…〔3分〕方程两边对求导得:,有…〔6分〕4、求函数的极值。解：，那么，，，，求驻点，解方程组得和.…〔2分〕对有，，，于是，所以是函数的极大值点，且…〔4分〕对有，，，于是，不是函数的极值点。6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；解：.…〔4分〕…〔6分〕7、连续函数满足，且，求。解：关系式两端关于求导得：即…〔2分〕这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：=…〔5分〕又，即，故，所以…〔6分〕8、求解微分方程=0。解：令，那么，于是原方程可化为：…〔3分〕即，其通解为…〔5分〕即故原方程通解为：…〔6分〕9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,.…〔3分〕当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故的收敛区间是,…〔5分〕那么的收敛区间为.…〔6分〕10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为…〔2分〕由比值判别法知收敛()，…〔4分〕从而由比拟判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…〔6分〕四、证明题(每题5分,共10分)1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。证：，…〔3分〕而由收敛，故由比拟原那么，也收敛。…〔5分〕2、设,其中为可导函数,证明.证明：因为,…〔2分〕…〔4分〕所以.…〔5分〕一、填空题(每题3分,共15分)1、设，且当时，，那么。〔〕2、计算广义积分=。〔〕3、设，那么。〔〕4、微分方程具有形式的特解.〔〕5、级数的和为。〔〕二、选择题(每题3分,共15分)1、的值为〔B〕A、0B、3C、2D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的〔B〕A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是〔B〕A.；B.；C、；D.4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，，那么其通解为〔D〕A、；B、；C、；D、5、无穷级数(为任意实数)〔A〕A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散三、计算题(每题6分,共60分)1、求以下极限：。解：…〔3分〕…〔6分〕2、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：…〔4分〕…〔6分〕3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：〔一〕令那么，，利用公式，得…〔3分〕…〔6分〕〔二〕在方程两边同时对x求导，得解出，…〔3分〕同理解出…〔6分〕4、求函数的极值。解：，那么，，，，求驻点，解方程组得和.…〔2分〕对有，，，于是，所以点不是函数的极值点.…〔4分〕对有，，，于是，且，所以函数在点取得极小值,…〔6分〕…〔5分〕6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；解：…〔4分〕…〔6分〕7、连续函数满足，求。解：关系式两端关于求导得：即…〔2分〕这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：…〔5分〕又，即，故，所以…〔6分〕8、求微分方程的通解。解这是一个不明显含有未知函数的方程作变换令，那么，于是原方程降阶为…〔3分〕，别离变量，积分得即，从而…〔5分〕再积分一次得原方程的通解 y＝…〔6分〕9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,.…〔3分〕当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故的收敛区间是,…〔5分〕那么的收敛区间为.…〔6分〕10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为…〔2分〕由比值判别法知收敛()，…〔4分〕从而由比拟判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…〔6分〕四、证明题(每题5分,共10分)1、设级数收敛，证明也收敛。证：由于，…〔3分〕而,都收敛，故收敛，由比拟原那么知收敛.。…〔5分〕2、设,证明:。证明：因为,…〔2分〕,,…〔4分〕所以…〔5分〕中南民族大学06、07微积分〔下〕试卷及参考答案06年A卷评分阅卷人1、,那么_____________.2、,那么___________.3、函数在点取得极值.4、,那么________.5、以(为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每题3分,共15分)评分阅卷人知与均收敛,那么常数的取值围是().(A)(B)(C)(D)数在原点连续,是因为该函数().(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值8、假设,,,那么以下关系式成立的是().(A)(B)(C)(D)9、方程具有特解().(A)(B)(C)(D)10、设收敛，那么().(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定三、计算题(每题6分,共60分)评分评分评阅人11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人12、求二重极限.评分评阅人13、由确定，求.评分评阅人14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.评分评阅人15、计算.评分评阅人16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限的区域.评分评阅人17、解微分方程.评分评阅人18、判别级数的敛散性.评分评阅人19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.评分评阅人20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:，求最优广告策略.四、证明题(每题5分,共10分)评分评分评阅人21、设，证明：.评分评阅人22、假设与都收敛,那么收敛.答案一、填空题(每题3分,共15分)1、.2、.3、.4、1.5、.二、选择题(每题3分,共15分)6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D).三、计算题(每题6分,共60分)11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：的反函数为。且时，。于是12、求二重极限.解：原式(3分)(6分)13、由确定，求.解：设，那么，，，(3分)(6分)14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解：令,得,,为极小值点.(3分)故在下的极小值点为,极小值为(6分)15、计算.解：(6分)16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限的区域.解：＝＝(6分)17、解微分方程.解：令,,方程化为,于是(3分)(6分)18、判别级数的敛散性.解：(3分)因为(6分)19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于,,,(3分)那么,.(6分)20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:，求最优广告策略.解：公司利润为令即得驻点,而(3分),,,,所以最优广告策略为：电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元).(6分)四、证明题(每题5分,共10分)21、设，证明：.证：(3分)(6分)22、假设与都收敛,那么收敛.证：由于,(3分)并由题设知与都收敛,那么收敛,从而收敛。(6分)06年B卷一、填空题(每题3分,共15分)评分阅卷人1、设，那么_____________.2、，那么＝___________.3、设函数在点取得极值，那么常数.4、,那么________.5、以(为任意常数)为通解的微分方程是__________________.二、选择题(每题3分,共15分)评分阅卷人6、与均收敛,那么常数的取值围是().(A)(B)(C)(D)7、对于函数,点().(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点(C)是极大值点(D)是极小值点8、,,其中为,那么().(A)(B)(C)(D)9、方程具有特解().(A)(B)(C)(D)10、级数收敛，那么级数().(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不定三、计算题(每题6分,共60分)评分评分评阅人11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人12、求二重极限.评分评阅人13、设,求.评分评阅人14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值.评分评阅人15、计算.评分评阅人16、计算二重积分,其中是由轴及圆周所围成的在第一象限的区域.评分评阅人17、解微分方程.评分评阅人18、判别级数的敛散性.评分评阅人19、将函数展开成的幂级数.评分评阅人20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,假设生产单位甲产品,生产单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.四、证明题(每题5分,共10分)评分评分评阅人21、设,证明.评分评阅人22、假设与都收敛,那么收敛.07年A卷一、填空题(每题3分,共15分)评分阅卷人1、设，且当时，，那么.2、计算广义积分=.3、设，那么.4、微分方程具有形式的特解.5、设，那么_________二、选择题(每题3分,共15分)评分阅卷人6、的值为().(A)(B)(C)(D)不存在7、和存在是函数在点可微的().(A)必要非充分的条件(B)充分非必要的条件(C)充分且必要的条件(D)即非充分又非必要的条件8、由曲面和及柱面所围的体积是().(A)(B)(C)(D)9、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，那么其通解为().(A)(B)(C)(D)10、无穷级数(为任意实数)().(A)收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)无法判断三、计算题(每题6分,共60分)评分评分评阅人11、求极限.评分评阅人12、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人13、求由所确定的隐函数的偏导数.评分评阅人14、求函数的极值.评分评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:.假设提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.评分评阅人16、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域.评分评阅人17、连续函数满足，且，求.评分评阅人18、求解微分方程=0.评分评阅人19、求级数的收敛区间.评分评阅人20、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每题5分,共10分)评分评分评阅人21、设正项级数收敛,证明级数也收敛.评分评阅人22、设,其中为可导函数,证明.07〔A〕卷参考答案〔可能会有错误大家一定要自己核对〕一、填空题(每题3分,共15分)1、设，且当时，，那么。〔〕2、计算广义积分=。〔〕3、设，那么。〔〕4、微分方程具有形式的特解.〔〕5、设，那么_________。〔1〕二、选择题(每题3分,共15分)1、的值为〔A〕A.3B.0C.2D.不存在2、和存在是函数在点可微的〔A〕。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是〔D〕。A.；B.；C、；D.4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，那么其通解为〔C〕。A.；B.；C.；D.5、无穷级数(为任意实数)〔D〕A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题(每题6分,共60分)1、求以下极限：。解：…〔3分〕…〔6分〕2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：…〔4分〕…〔6分〕3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有…〔3分〕方程两边对求导得:,有…〔6分〕4、求函数的极值。解：，那么，，，，求驻点，解方程组得和.…〔2分〕对有，，，于是，所以是函数的极大值点，且…〔4分〕对有，，，于是，不是函数的极值点。…〔6分〕5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:.假设提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.解：显然此题要求:在条件下,求的最大值.令,…〔3分〕解方程组…〔5分〕得:,所以,假设提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略.…〔6分〕6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；解：.…〔4分〕…〔6分〕7、连续函数满足，且，求。解：关系式两端关于求导得：即…〔2分〕这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：=…〔5分〕又，即，故，所以…〔6分〕8、求解微分方程=0。解：令，那么，于是原方程可化为：…〔3分〕即，其通解为…〔5分〕即故原方程通解为：…〔6分〕9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,.…〔3分〕当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故的收敛区间是,…〔5分〕那么的收敛区间为.…〔6分〕10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为…〔2分〕由比值判别法知收敛()，…〔4分〕从而由比拟判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…〔6分〕四、证明题(每题5分,共10分)1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。证：，…〔3分〕而由收敛，故由比拟原那么，也收敛。…〔5分〕2、设,其中为可导函数,证明.证明：因为,…〔2分〕…〔4分〕所以.…〔5分〕一、填空题(每题3分,共15分)评分阅卷人1、设，且当时，，那么.2、计算广义积分.3、设，那么.4、微分方程具有形式的特解.5、级数的和为.二、选择题(每题3分,共15分)评分阅卷人6、的值为().(A)(B)(C)(D)不存在7、和在存在且连续是函数在点可微的().(A)必要非充分的条件(B)充分非必要的条件(C)充分且必要的条件(D)即非充分又非必要的条件8、由曲面和及柱面所围的体积是().(A)(B)(C)(D)9、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，，那么其通解为().(A)(B)(C)(D)10、无穷级数(为任意实数)().(A)无法判断(B)绝对收敛(C)收敛(D)发散三、计算题(每题6分,共60分)评分评分评阅人11、求极限.评分评阅人12、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人13、求由所确定的隐函数的偏导数.评分评阅人14、求函数的极值.评分评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:.假设提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.评分评阅人16、计算二重积分,其中是由,及所围成的闭区域.评分评阅人17、连续函数满足，求.评分评阅人18、求微分方程的通解.评分评阅人19、求级数的收敛区间.评分评阅人20、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每题5分,共10分)评分评分评阅人21、设级数收敛，证明也收敛.评分评阅人22、设,证明:.07年〔B〕卷参考答案〔可能会有错误大家一定要自己核对〕一、填空题(每题3分,共15分)1、设，且当时，，那么。〔〕2、计算广义积分=。〔〕3、设，那么。〔〕4、微分方程具有形式的特解.〔〕5、级数的和为。〔〕二、选择题(每题3分,共15分)1、的值为〔B〕A、0B、3C、2D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的〔B〕A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是〔B〕A.；B.；C、；D.4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，，那么其通解为〔D〕A、；B、；C、；D、5、无穷级数(为任意实数)〔A〕A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散三、计算题(每题6分,共60分)1、求以下极限：。解：…〔3分〕…〔6分〕2、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：…〔4分〕…〔6分〕3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：〔一〕令那么，，利用公式，得…〔3分〕…〔6分〕〔二〕在方程两边同时对x求导，得解出，…〔3分〕同理解出…〔6分〕4、求函数的极值。解：，那么，，，，求驻点，解方程组得和.…〔2分〕对有，，，于是，所以点不是函数的极值点.…〔4分〕对有，，，于是，且，所以函数在点取得极小值,…〔6分〕5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经历公式:.假设提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.解：显然此题要求:在条件下,求的最大值.令,…〔3分〕解方程组…〔5分〕得:,所以,假设提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略.…〔6分〕6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；解：…〔4分〕…〔6分〕7、连续函数满足，求。解：关系式两端关于求导得：即…〔2分〕这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：…〔5分〕又，即，故，所以…〔6分〕8、求微分方程的通解。解这是一个不明显含有未知函数的方程作变换令，那么，于是原方程降阶为…〔3分〕，别离变量，积分得即，从而…〔5分〕再积分一次得原方程的通解 y＝…〔6分〕9、求级数的收敛区间。解：令,幂级数变形为,.…〔3分〕当时,级数为收敛；当时,级数为发散.故的收敛区间是,…〔5分〕那么的收敛区间为.…〔6分〕10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：。解：因为…〔2分〕由比值判别法知收敛()，…〔4分〕从而由比拟判别法知收敛，所以级数绝对收敛.…〔6分〕四、证明题(每题5分,共10分)1、设级数收敛，证明也收敛。证：由于，…〔3分〕而,都收敛，故收敛，由比拟原那么知收敛.。…〔5分〕2、设,证明:。证明：因为,…〔2分〕,,…〔4分〕所以…〔5分〕商学院2008/2009学年第二学期考试试卷(A)课程名称：微积分(下)考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：学号：：.题号一二三四五六总分分值20102028166100得分阅卷人一、填空题〔每题2分，共20分〕1、。2、假设，那么。3、。4、设曲线()与直线及y轴围成的图形面积为，那么。5、假设是的一个原函数，那么。6、交换积分次序后。7、假设，那么。8、当满足时，级数条件收敛。9、的通解是。10、的极值点为。二、单项选择题〔每题2分，共10分〕1、〔〕。〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕2、假设，那么〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕3、以下级数中，发散的级数是〔〕。〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、设，那么〔〕。〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕5、设，那么〔〕。〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕三、计算题(一)〔每题5分，共20分〕1、设，求2、计算。3、求的和函数。4、求方程的通解。四、计算题(二)〔每题7分，共28分〕1、求。2、设在上具有连续导数，且满足，求。3、，其中。4、求幂级数的收敛半径及收敛域。五、应用题〔每题8分，共16分〕1、求，和所围成的图形的面积A及绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。2、某石油公司所经营的一块油田的收益率及本钱率分别为〔百万元/年〕，〔百万元/年〕，求该油田的最正确经营时间及在经营终止时获得多少总利润〔设固定本钱为2百万元〕？六、证明题〔6分〕设在上可微，且，试证存在，使。商学院2008/2009学年第二学期"微积分(下)"期终试卷(A)答案一、填空题〔每题2分，共20分〕1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、单项选择题〔每题2分，共10分〕1、D 2、A 3、B 4、D 5、B三、计算题〔每题5分，共20分〕1 、(4分)(5分)2、(2分)(4分)(5分)3、(2分)(4分)(5分)4、特征方程为(2分)得(3分)通解为(5分)四、计算题〔每题7分,共28分〕1、令，，(2分)原式(4分)(6分)(7分)2、方程两边对求导，得(2分)化简，得别离变量，得(3分)两边积分，解得(5分)由，得(6分)故所求函数为(7分)3、(3分)(5分)(7分)4、令，原级数变为，(1分)其收敛半径(3分)当时，发散；当时，是收敛的交织级数(4分)所以当，即时，收敛，收敛域为(6分)假设不考虑端点，这是以为中心，半径为的区间，所以收敛半径为(7分)五、应用题〔共16分〕1、解： (4分) (8分)2、，(2分)令，得〔年〕为唯一驻点 (5分) 又，因此〔年〕为最正确经营时间，此时利润最大，(7分)最大利润为〔百万元〕(8分)六、证明题〔共6分〕令，利用积分中值定理，，有； (4分)在上运用Roll定理，那么存在，使，即。 (6分)工商大学2006/2007学年第二学期考试试卷填空题〔分〕1．那么时，是极大值点.2．假设收敛，那么.3．设，那么.4．.5．幂级数的收敛域为.6．设，那么.7．交换积分次序后.8．.9．微分方程满足的解为.10．假设是平面上长半轴和短半轴分别为的椭圆圆域，那么.单项选择〔分〕1.的全微分，那么〔〕.A.0B.C.D.2.级数的和为〔〕.A.B.C.D.3.以下广义积分发散的是〔〕.A.B.C.D.4.假设级数发散，那么必有〔〕.A.B.C.发散D.发散5.方程是〔〕方程.A.可别离变量B.齐次C.一阶线性D.伯努利计算题〔一〕〔分〕1．.2．.3．函数,求.4．函数是由方程所确定的隐函数,求.计算题〔二〕〔分〕求二重积分，其中是由与轴及轴所围平面图形的第一象限局部.判断级数的敛散性.求在处展开的幂级数.求微分方程的通解.五、应用题〔分〕1.D为由与围成的平面图形，求