高二下学期数学期末考试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省葫芦岛市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．【详解】∵∴，．故选：B．【点睛】考查描述法的定义，不等式的性质，以及交集的运算．2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（）A.1B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的乘法运算公式对已知式子进行整理，结合所给点的坐标即可求出.【详解】解：，由题意知，对应的点的坐标为，则，故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了已知复数对应点坐标求参数，属于基础题.3.设，则“”是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由，结合充要条件的定义得答案．【详解】由．可得设，故选：，则“”是的充要条件．．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数的性质，是基础题．4.2020年以来，为了抗击新冠肺炎疫情，教育部出台了“停课不停学”政策，全国各地纷纷采取措施，通过网络进行教学，为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展，为学生家长带来了便利，节省了时间，提供了多样化选择，满足了不同需求，也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时，网课也存在以下一些现象，自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣，授课教师教学管理的难度增大基于以上现象，开学后某学校对本校学生网课学习情况进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生进行测试、问卷等，调查结果形成以下列联表：认真上网课不认真上网课合计25男生女生合计520103015202550通过以上数据分析，认为认真参加网课与学生性别之间（）参考公式：0.050010.0013.8416.63510.828A.有关的可靠性不足95%B.有99%的把握认为两者有关C.有99.9%的把握认为两者有关D.有5%的把握认为两者无关【答案】B【解析】【分析】结合已知列联表求出，进而可选出正确答案.【详解】解：由列联表可知，所以有99%的把握认为两者有关，故选:B.【点睛】本题考查了独立性检验，属于基础题.5.设函数在处可导，且，则等于（）A.B.C.1D.-1【答案】A【解析】【分析】对已知极限式子进行变形，结合导数的定义可得【详解】解：由题意知，从而可求出.，所以，故选:A.【点睛】本题考查了导数的定义，属于基础题.6.已知，则的大小关系（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】，，，，，的大小关系为故选：．．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（）A.20B.18C.10D.9【答案】B【解析】【分析】因为，所以从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从2，4，6，8，10这五个数中，共可得到任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．【详解】首先从2，4，6，8，10这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，又，，从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，，共可得到的不同值的个数是：故选：．．【点睛】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属于中档题．8.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求出第一次摸出的是次品的概率以及第一次摸出的是次品，第二次摸到的是正品的概率，结合条件概率的计算公式即可求出所求答案.【详解】解：记“第一次摸出的是次品”，“第二次摸到的是正品”，由题意知，,，则,故选:D.【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）9.复数满足A.的实部为，则下列说法正确的是（）B.的虚部为2C.D.【答案】AD【解析】【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误；，D正确；，C错误；故选:AD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.10.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则下列说法正确的是（）A.3是函数C.函数的周期B.函数在上递减，在上递增的最大值为，最小值为0D.当时，【答案】AB【解析】【分析】A.根据，变形为判断；B.由时，，是增函数，利用是定义在上的偶函数和周期为3判断；C.根据选项B由在是减函数，在是增函数判断；D.根据时，的解析式，利用周期判断.【详解】对于选项A.，因为所以，所以3是函数的周期，故正确；对于选项B.，当时，，是增函数，又因为是定义在上的偶函数，所以函数在是减函数，又周期为3，所以在上递减，在在上递增，故正确；对于选项C，由B知函数是减函数，在是增函数，所以的最小值为，最大值为，故错误；对于选项D.，当时，，所以，故错误.故选：AB【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性的综合应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.11.已知函数，则下列在关于的不等式解集中的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】构造函数，判断出的奇偶性和单调性，由此化简不等式，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数，由于，所以，所以的定义域为.，所以当为奇函数，.时，都为增函数，所以当由时，递增，所以在上为增函数.得，即，所以，解得.所以不等式的解集为.故选:BCD.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.本题的难点是构造函数，这也是本题的关键.12.已知函数，若直线（其中与交于三个不同的点），则的可能值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】BC【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线在出正确答案.时切线的斜率，然后根据题意分别求出的取值范围，进而选，设切点的坐标为：，，【详解】在因此有时，，，所以切线方程为：，当该切线过原点时，，所以切点的坐标为：，因为直线所以有与交于三个不同的点，相交时，解方程组：，当切线与直线，因此有，于是有，所以，显然选项BC符合，故选：BC【点睛】本题考查好已知两曲线交点的个数求参数的到值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知函数【答案】【解析】【分析】先计算的导函数为，且满足﹐则________．，然后代入，简单计算即可得到结果.【详解】由题可知：，则所以，则故答案为：【点睛】本题考查函数在某点处的导数，熟悉导数的运算，属基础题.14.《中国诗词大会》（第三季）将《沁园春•长沙》《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》排在后六场.要求将《沁园春•长沙》排在最后，同时《蜀道难》排在《游子吟》的前面且二者必须相邻，这六场的排法共有___________.【答案】24种；【解析】【分析】分3步讨论：依次分析《沁园春长沙》、《蜀道难》排在《游子吟》和其他三个节目的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分3步进行分析：①《沁园春长沙》排在最后，有1种排法，②《蜀道难》排在《游子吟》的前面且二者必须相邻，将两者看成一个整体，有1种情况，③将这个整体与其他三个节目全排列，有种排法，则有种不同的排法；故答案为：24【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.若的展开式中各项系数之和为256，则___________；展开式中常数项是___________.【答案】(1).8(2).252【解析】【分析】根据各项系数和为256，令【详解】由已知，令可求出的值，然后利用通项求出常数项．得：，得．故该二项式为通项为：，，令，得．．常数项为：故答案为：8,252【点睛】本题考查二项式展开式的通项，以及赋值法在研究系数中的应用．属于基础题．16.对于函数与，若存在，，使得，则称函数与为“相关零点函数”.现已知函数与互为“相关零点函数”，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】求出函数的零点为，可得出，可将问题转化为函数在区间内有零点，由，结合参变量分离法得出，可得出的取值范围即为函数在区间上的值域，结合双勾函数的基本性质可求得结果.【详解】函数由为上的增函数，且，解得，，可得，由题意可知，函数在区间上有零点，，则函数在区间上有零点，令，可得，令，其中，则的取值范围即为函数在区间上的值域，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，则当时，，所以，函数在区间上的值域为.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数零点的新定义，考查了利用参变量分离法求解函数零点问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.四、解答题（本题共6小题，共70分17题10分，18题-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数偶函数.（1）求实数的值；（2）若，求的值.【答案】(1)2；(2)0.【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义，即可求出实数的值.(2)分别令，，结合(1)即可求出.【详解】解：(1)，因为即为偶函数且定义域为，则，恒成立，.(2)由(1)可知，令令可得可得，，所以.【点睛】本题考查了已知奇偶性求参数的值，考查了多项式展开式中部分系数的和，属于基础题.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数的单调区间.；（2）答案见解析.【答案】（1）【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，通过的范围，判断函数的导数的符号，判断函数的单调性即可．【详解】（1）当时，，因为，所以，所以曲线函数在点处的切线方程为：．（2）定义域为．因为，，①当时，恒成立．所以函数②当在上单调递增．时，令，则或或；．所以当当时，时，，所以函数在和，上单调递增，在，上单调递减．综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和，上单调递增，在，上单调递减．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．19.随着科学技术和电子商务的发展，近年来人们的购物方式发生了翻天覆地的变化，网络购物成为当下流行的购物方式，同时网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，除了各大商场逐渐萧条外，居民区的蔬菜水果市场受到一定程度的影响.统计部门为了解市场情况以及查找原因，在民安社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”的家庭（方式甲）和“利用网络购买水果蔬菜”的家庭（方式乙）进行抽样调查统计：从民安社区随机抽取了100户家庭进行调查研究，将消费金额（元）按照大于0元且不超过1000元、超过1000元且不超过2000元、超过2000元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有5户统计结果如表：消费群体购买方式低消费群体中等消费群体高消费群体仅方式甲仅方式乙两种方式都用16户14户20户8户13户18户1户3户2户（1）从民安社区随机抽取一户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率；（2）从样本中的高消费群体里任取3户，用来表示这3户中仅用方式乙的家庭数，求的分布列和数学期望；（3）将上个月样本数据中的频率视为概率，现从民安社区（民安社区家庭数量很多）随机抽取4户，发现有3户本月的消费金额都在2000元以上.根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化？说明理由.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）有变化，理由见解析．【解析】【分析】（1）依样本数据可知两种购买方式都使用的人数为40户，样本数量为100，由此可估计上个月两种购买方式都使用的概率．（2）根据题意，样本中高消费群体共6户，仅用方式乙购买家庭3户，的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．（3）设事件“从该社区抽取1户消费金额在2000元以上家庭”，（A），抽取4次，可设高消费家庭出现次数为，消费群体有变化．，求出，根据抽取结果，认为高【详解】（1）依样本数据可知两种购买方式都使用的人数为40户，样本数量为100，所以可估计上个月两种购买方式都使用的概率．（2）根据题意，样本中高消费群体共6户，仅用方式乙购买的家庭3户，故的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123．（3）设事件（A）“从该社区抽取1户消费金额在2000元以上家庭”，，抽取4次，可设高消费家庭出现次数为，于是，有．，根据抽取结果，认为高消费群体有变化．理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知定义域为的函数（1）求是奇函数.的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)【解析】【分析】;(2).(1)根据函数的奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可得的值.(2)根据条件判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.【详解】(1)解：因为定义域为的函数是奇函数，所以，，即由，解得，所以得，，解得，即；此时为奇函数，；(2)由(1)可知在上为增函数，恒成立，由题意知，即则在在恒成立，恒成立，整理得令当，时，，则.【点睛】本题考查了奇偶性的应用，考查了单调性的应用，考查了不等式恒成立问题.利用奇偶性和单调性将不等式进行转化是解决本题的关键.21.“全面小康路上一个也不能少”是习近平总书记向全国人民作出的郑重承诺！是对全面建成小康社会的形象表达，其中一个重要指标，就是到2020年我国现行标准下农村贫困人口全面脱贫.目前，全国还有一些贫困县未摘帽，不少贫困村未出列，建档立卡贫困人口尚未全部脱贫.某市为了制定下一步扶贫战略，统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入，并绘制了如下频率分布直方图：（1）若这1000户家庭中，家庭年纯收入不低于5（千元）的家庭，且不超过7（千元）的户数为40户，请补全频率分布图，并求出这1000值表示）；户家庭的年纯收入的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点（2）由频率分布直方图，可以认为这1000户的家庭年纯收入服从正态分布，其中近似为年纯收入的平均值近似为样本方差，经计算知；设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为千元（即家庭年纯收入大于千元，则该户家庭实现脱贫，否则未能脱贫），若根据此正态分布估计，这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，试求该市的脱贫标准；（3）若该市为了加大扶贫力度，拟投入一笔资金，帮助未脱贫家庭脱贫，脱贫家庭巩固脱贫成果，真正做到“全面小康路上一个也不能少”，方案如下：对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元，对家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元，对家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭每户家庭给予扶持资金8千元，对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持，设为每户家庭获得的扶持资金，求（结果精确到0.001）.附：若随机变量，则.【答案】（1）直方图见解析，12；（2）8.96；（3）7.434【解析】【分析】（1）先计算频率，再补全图形，再利用直方图平均值公式求解即可；（2）由和可知；，（3）根据正态分布分别计算需要补助的各种家庭所占的比例，再计算数学期望．【详解】（1）家庭年纯收入不低于5（千元）且不超过7（千元）的频率为纵坐标为0.02；家庭年纯收入超过15（千元），但不超过17（千元）的家庭频率为，纵坐标为0.05，补全频率分布直方图如下图：这1000户家庭的年纯收入的平均值为：．（2）1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，则未脱贫概率为，设该市的脱贫标准为，则，根据，得脱贫标准（3）．，，家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭频率为，家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭频率为，家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭频率为家庭年纯收入超过15.04千元的家庭频率为，则每户家庭获得的扶持资金的数学期望千元．【点睛】本题考查了古典概型，频率分布直方图，正态分布的性质，数学期望计算，考查运算求解能力，属于中档题．22.设函数（1）当，其中实数.时，求在的极大值；（2）若函数（3）设函数上有零点，求的取值范围；，证明：当时，对于都有.【答案】（1）-1；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，，求导判断的单调性，即可求得的极大值；（2）求导判断的单调性，可得的最大值，分别讨论小于零，等于零，大于零三种情况下零点存在情况，即可得答案.（3）根据题意可得等价于，根据m的范围，结合题意，只需证即可，构造函数，利用导数求得的单调性及最值，即可得证.【详解】（1）当所以时，，，当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，所以（2）的极大值为；当时，，则为增函数，时，，则为减函数，，所以当的最大值为时，即时，即时，函数无零点，在也无零点；当时，函数有唯一的零点，且，所以满足题意；当时，即时，因为，所以，解得，综上的取值范围为.（3）当时，，所以等价于，整理得：因为，，所以，要证成立，只需证，则即可，设设，，，则所以因为所以因为在上单调递增，，，在上有唯一零点，且，，所以，即，当当时，时，，为减函数，，为增函数，所以当所以时，有最小值，，即成立，即成立，综上可知，当时，对于都有.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性和极值最值、函数的零点，证明不等式等问题，考查分析理解，求值计算的能力，综合性较强，属较难题.附赠材料：怎样提高做题效率做题有方,考试才能游刃有余提到考试,映入我眼帘的就是一大批同学在题海里埋头苦干的情景。我并不排斥大家用题海战术,但是做题也不能瞎做蛮干。有许多同学,同一道题做十遍考试的时候还是错。那么,这样的做题又有什么意义呢?北京四中特级教师李俊和是这样对他的学生说的:“每一次做题的时候都先想想,最终目的是什么?我们不能为了做题而做题,求的应该是一种解题思维和题方法。不愧是有多年教育经验的老师,李俊和老师真是一语道破了学习中的关键之处。光解题没方法,做100道都不及别人做1道。试题训练法我们需要做哪些题,做多少题。试题训练法是巩固学习成果的有效方法,是学习中不可忽视的环节。但是盲目地做大量的习题而不去深入思考,不仅浪费时间,而且还可能把自己搞糊涂。那么,哪些习题值得一做呢?第一种是涉及教材知识的重点题。例题是课本中最重要的题,做例题有利于巩固基础知识;其次,与教材中重点有关的练习题也是必须做的,这些涵盖了教材里的主要内容。第二种是关于难点的练习题。与课堂上老师特意强调的难点部分相关的习题一定不能放过。难点部分通常也是难懂的地方,不弄懂就不可能真正掌握知识。而且,如果你在平时的训练中只做那些没有难度的习题,你的能力不仅得不到提高,而且时间久了还会让你感到学习枯燥无味,成就感和新鲜感就更不用提了第三种是关于疑