高二解析几何难点微专题25讲18-蒙日圆与应用_第1页
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文档简介

椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆：．例1．已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.解析：（1）由题意知，且有，即，解得，因此椭圆的标准方程为；（2）①设从点所引的直线的方程为，即，当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，，化简得，即，则、是关于的一元二次方程的两根，则，化简得；②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.综上所述，点的轨迹方程为.例2．给定椭圆C：(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．解析：（1）∵椭圆C的一个焦点为其短轴上的一个端点到F的距离为.∴，∴，∴椭圆方程为，∴“准圆”方程为x2＋y2＝4.（2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±，当l1：x＝时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，－1)，此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x＝－时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中.设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为y＝t(x－x0)＋y0，∴由得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理，得(3－)t2＋2x0y0t＋1－＝0，∵，∴有(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0.设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0，∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．综合①②知，l1⊥l2.∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l

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