第12讲不定方程（原卷版）

第12讲不定方程【考点预测】1、二元一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程，通常称之为二元一次不定方程．对二元一次不定方程，人们研究得比较彻底，解决了它什么时候有解，什么时候无解，有解时如何求出它的一组解以及它的所有解等问题．【定理1】二元一次不定方程（为整数）①有整数解得充分必要条件是．此时，且方程②与方程①同解，因此，我们只需讨论时方程①的解．【定理2】若，且，为方程①之一解，则方程①全部解为，（为整数）．2、勾股数与佩尔方程的应用（1）勾股方程：．方程满足，的全部整数解为，，，，且一奇一偶．（2）佩尔方程定义：设，不是平方数，称为佩尔方程．定理：佩尔方程具有无限多个整数解，在它的正整数解中，值最小的一对设为，和由确定，则佩尔方程的一切正整数解为，在，前冠以适当的正、负号就得到它的一切整数解．即【典例例题】例1．（2019·全国·高三竞赛）求所有的实数，满足方程，其中，表示不超过实数的最大整数．例2．（2019·全国·高三竞赛）设、为正整数，表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意，存在无穷多个正整数，使得.例3．（2019·全国·高三竞赛）已知各项均为整数的无穷数列满足：、、，，，，，，证明：对任何大于1的正整数，存在无穷多个正整数，使得.例4．（2018·全国·高三竞赛）记是所有质数从小到大排成的序列，令．证明：对任意的正整数，闭区间上至少有个完全平方数．例5．（2019·全国·高三竞赛）数列中没有完全平方数.例6．（2019·全国·高三竞赛）求所有的正整数、、，使得是整数．例7．（2019·全国·高三竞赛）求方程的所有正整数解.例8．（2019·全国·高三竞赛）求出所有非零整数，使得是一个整数．其中，表示的最大公因数．例12．（2018·全国·高三竞赛）求所有正整数，使得给定序列，，中的每一项都是平方数．【过关测试】1．（2022·上海·高三校考强基计划）定义，其中为奇素数.(1)给出同余方程的满足的一组解；(2)（代数基本定理）设，且，求证在内至多有个解；(3)（小定理）求证：；(4)（原根存在定理）若正整数满足：，且，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有；(5)求证，存在，都存在中必有一者成立；(6)说明当时，必有一组非零解.2．（2021·江苏·高三强基计划）已知，，求．3．（2021·高一课时练习）若关于的不等式的整数解共有个，求实数的取值范围．4．（2021·浙江·高二期末）设等差数列的前n项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若､30､成等差数列，､18､成等比数列，求正整数p､q的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.5．（2021·全国·高三竞赛）求方程的所有正整数解．6．（2021·全国·高三竞赛）已知a、b、c、d是不同的正整数，且满足是整数，求证：不是质数．7．（2021·全国·高三竞赛）两两不等的实数x、y、z满足，求.8．（2020秋·上海虹口·高二校考期末）已知为等差数列的前项和，若，（1）求数列的通项公式；（2）对于数列极限有如下常用结论：，设，用记号表示，试求的值.（3）从（2）的数列中取出部分项按原来的前后顺序组成一个无穷等比数列，且满足它的各项和等于，试求出的通项公式.9．（2020·高一课时练习）求方程6x+22y=90的非负整数解．10．（2019·新疆·高三校联考竞赛）设是正整数，且，并满足.试求出所有可能的解.11．（2019·江西·高三校联考竞赛）试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：.12．（2019秋·广东中山·高三中山纪念中学校考阶段练习）设是两两不同的实数，且满足，求所有可能的取值.13．（2019·全国·高一假期作业）把下列各式分解因式：(1)；(2).14．（2019·全国·高一假期作业）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).15．（2018·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p，至少存在一个，满足.16．（2018·河南·高三竞赛）已知的三边长分别为．、、，且满足，是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由．17．（2019·全国·高三竞赛）求最小的实数，使得对任意正整数n，均有，其中，表示正整数a、b的最大公约数，表示不超过实数x的最大整数.18．（2018·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个正整数n，使得，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数．19．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数.已知，且.求满足条件的一切有序数组.20．（2019·全国·高三竞赛）求最小的正整数,使得的所有正约数的平方和为.21．（2018·全国·高三竞赛）求所有正整数对.其中,,且,使得.22．（2018