桥梁设计理论第七讲

第七讲薄壁杆件的组合扭转上二讲分别讨论了薄壁杆件的自由扭转和约束扭转，建立了相应的扭转角微分方程。而实际工程中的杆件受扭时，扭转角应该是自由扭转和约束扭转的综合变形。即作用在截面上的扭矩（图7-1）为自由扭转剪应力（）形成的扭矩及约束扭转剪应力（）形成的扭矩（或）的组合，亦即（或）以及开口截面（7-1-1）闭口截面（7-1-2）a)自由扭转a)自由扭转b)约束扭转c)组合扭转图7-1第一节开口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于开口薄壁截面杆件自由扭转和约束扭转，分别取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有（7-2）上式对求导（见图7-2a）），两边同时除以，得：（7-3）此式即为开口薄壁杆件扭转角微分方程。式中：（7-4）称为薄壁截面的弯扭特征。即截面自由扭转刚度和约束扭转刚度之比。而（7-5）为扭矩沿杆长的分布集度。第二节闭口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于闭口薄壁杆件，仍从式（7-1）出发，此时约束扭转力矩以待定函数表示，即用式（6-44）代入，于是组合扭转微分方程可表达为：浑贞赤趋寇强红灭（写7-配6秒）圆（斯7-哭1命）怠方程中包饥括两个未黑知函数探及剖。现根据须静力学条鬼件建立未粒知量拥及耕间的关系班，以便与彩式桂（浊7-擦6墙）联立求闸解。间设自由扭谅转与约束惯扭转产生步的总剪力竿流为扎，它对扭盛转中心的徒扭矩应等越于作用于拣截面的荷后载扭矩忠。即气傲鞋忧恭打变匠蹄算（腿7-煎7袜）那根据虎克混定律并引刻用式朋（面6-只2臂），剪力概流可写成荒：泥或除祥恭特谦烫这数嘴雨见靠扶散喜（禽7-匀8沿）穴而羊典级半窜钢削恒肝凯欺泼少渡（朵7-脱9侵）攻（世6-1膨5中）拖上式对渴求导后代枕入式攻（患7-赢8湾），再将遇式律（舍7-乡8量）代入式隆（磁7-赠7播），积分突化简得：堤畅汗兽途特蚕舰稳（侧7-1罢0仇）我其中痛：序炸雕嫌浩筝依额框旱托奏膊花（寻7-1厘1畏）植称为截面口翘曲系数吸。交对于单室智截窑面华良对于多室购截所面歌敌而案为截面的缺极惯矩，已下同。辜式辜（绳7-1凉0茅）推导如区下：角由式垒（芳7-厉8旋）有逐：折进而由式疑（聚7-态9甲）有速：敏悼则式诚（挎7-尾8营）的第一绳项庭催阅嗓仆网越震沉跨（断a度）美有式仗（爪6-1性3馒）有冒：分灶将其代入辉式妇（障a吹）得：昨住牙奇她止林缓南（继7-1闪3撞）讽将式凳（愧7-1杠3泄）代入式歪（刑7-甚8敏）有：舟蔑坛烟轮冻枯（碎b装）事又截面内础剪应力聪与内力拢有如下关裤系：冠将式许（副b禾）代入后魂积分得：标技已各（控c造）谦又有式玉（劈5-4轿6梳）有：庆弟释教信庆护更扣白登（呢d娘）步而忆消艇呆瑞消剑范证长跃侄坐必场类（撕e兴）萝将疫及式感（债d抛）、俭（包e影）代入式会（顶c摄）可得：故或其中：。勒若堂为骨的二次或赶二次以下膜的函数，返即有就，则由式耀（券7-1确0幕）可得：丰搬终真胸嫂昌衡（乳7-1背4格）奖（扒7-1高0灰）客将其代入经式轮（兴7-胆6浙），便得像出闭口薄途壁杆件的陕扭转变形赢微分方程株像浇州仰浓（栽7-1号5腿）膨（元7-浸6汉）税其中咽：薄留沃撤妄凤监骡追状锅至潜巡（劳7-1裤6仿）催（杏7-惨4蔽）戚比较式傻（睬7-1演5驼）与式敌（利7-旷3辰）和式糕（罚7-1燕6夹）与式周（雪7-攻4弯）可以看灰出，对于构闭口截面级，可利用剑开口截面木的扭转微候分方程的衫表达式，列而以崇代替遍即可。这饥一比拟关钩系，对以谈后直接根肝据开口截介面的变形予公式写出堪闭口截面砍的变形公露式，颇为呼有用。织务必注意沉，对于闭绒口截面，仙尽管可以爱用灭代替即，从而直当接套用开诉口截面中奇关于扭转桨角姓的微分方葵程，但因蜻闭口截面络约束扭转饿双力矩要及扭转力材矩家均与冰的导数有担关，故由省式票（价7-1兆0占）有：型壮贝始幸凑袄阶况（苏7-1属7助）肆第三狭节殿够扭转角微差分方程的慈初参数解反法虎扭转角微致分方程式羡（失7-住3霉）及式艰（苗7-1轧5毛）为四阶注常系数（蚊等截面）归非齐次线革性方程，徒其解由齐栗次解和特够解两部分竞组成，齐丘次解将有篮四个积分蛮常数，由砍问题的边武界条件确诞定。斯一、开口吨薄壁杆件别扭转角微障分方程的柳初参数解饰法牌先讨论开怒口薄壁杆守件扭转角针微分方程女式敬（母7-雾3啄）的解法荷。微分方偏程垄悠辱绿邮飘灵论番（小7-1区8损）踩（凝7-堂3劣）绍其齐次解辽为：恨新保象亩策咱（鱼7-1闭9庭）春据此，不例难求得各酱阶导数，培进而得到龟扭转角的啄变化率替、约束扭冲转双力矩环、总扭矩社的表达式弊。祥盲疗凳直博乏档弦（呀7-2蛾0稠）钥球柳吧孟其林（向7-21巾-康1档）着猾誉秒举池（托7-21遣-送2叼）脆帝伯槽向墨克苏引早（阿7-2恋2籍）井式中积分倚常数畅、误、架、籍可表达为参杆件在坐描标原点处同（塑=绞0芬）的扭转象角（灾）、扭转牢角的变化尽率（冬）、双力言矩（丰）及扭矩匙（饥）格的鼻捐函数。将佩=带0辉代入式真（锻7-1眼9满）、任（鱼7-2约0篮）、考（背7-2畅1歉）及宫（随7-2政2猛）有：伐（避7-2摔3驾）附解此方程姜得：监将其代入华式胃（推7-1羡9删）～兵（宽7-2音2为），便得卧到以初参虫数雪表达的增、愁、俘及例的解析式迫：展耗驳赤（阔7-2韵4暑）肉（呆7-1垒9亏）画亏孙秘卖芬（需7-2慕5遥）捐（纠7-2见0裂）颜伍肺惊飘（枪7-2硬6史）沉（数7-2胃1侨）冤（恶7-2鱼7馆）户-峰（挨7-2把2以）盈式中铺仍为未定壁常数，可奥根据初始串值的物理绵意义，由蔽起始点（采=掀0突）边界条炭件直观确皂定。盛微分方程罢的特解，贤可根据作蹦用在杆件尼上的扭转恳荷载形式询，利用微销分方程的键特征方程汽式，用待射定系数法卖求得。对黄于常见的羡荷载（钱图墨7-浙2气）包括集偿中双力矩芽，集中力施矩百，分布扭恨矩魔，特解可拔写成一般惹的形式，塞即a)a)b)图7-2敲（匙7-2都8暖）竭式中瓶、拦、袖、极及达均表示自霸计算截面包（洞）沿坐标途轴该的负方向块量取的距院离，故式业（桐7-2湿8却）为蔬的线性函果数。式碌（紧7-2哀8贿）对作求导，得按到扭转率伟、双力矩泳和扭矩的肾特解如下炒：己（涉7-2烦9终）孙（贼7-3困0写）已（号7-3时1陶）漆微分方程灶的通解则喜为：伏（筹7-3售2击）丙将式劝（筝7-2绵4牺）构～澡（罪7-2错7邀）格及式式（竭7-2雀8抛）似～恶（稿7-3竭1棒）蜡代入式删（尚7-3忌2盲）占，即得到先开口薄壁烛杆件扭转吊变形的最前后解答式揭。超对于薄壁于杆件扭转泳的具体问妈题，先按究实际作用骨的荷载，席列出式殃（筝7-3祥2希）粉，由于通紫常情况下捐荷载沿杆搭件纵向是惠不连续的帖，故式中袋必须是分式段表达（兴见本讲算斗例），然吃后根据边咸界条件求惕解初始参蝇数，再由别式撒（跃7-3漫2促）霸计算任意汪截面的扭泪转角照，扭转率舟，双力矩葵和扭矩贸。疲容易看出沸，这里介壤绍的初参红数法与梁坟弯曲理论罪的初参数各法是相似叫的。怒二、闭口安薄壁杆件姿扭转角微权分方程的踩初参数解悉法已对于闭口近薄壁杆件病，由于其缺扭转角微质分方程式晌（摩7-1级5映）涨与开口薄克壁杆件扭凡转角微分冤方程式久（骄7-尺3米）相似，错在数学问左题上属于子同一类问悔题，故式害（熄7-1昼5属）的齐次相解，与开骄口薄壁杆根件的具有剩相同的形以式。由于雁闭口薄壁更杆件的纵款向位移、产双力矩、枕扭矩等都美与函数姿的导数有像关（见式蒸（怖6-3工1多）、藏（推6-3选4鞋）、雄（劝6-4撇4般）同）成,基因此，对扑应于式瘦（果7-2裂9优）～修（歼7-3义1潮），引入彼闭口薄壁要杆件的画函数，由得式靠（柱7-1丙0尝）及式掉（苗7-1刃7续），考虑史微分方程逐的齐次解尸（脚）时，累与函数矿间有如下梯的关系：都即匙糖事霜奖拦淡（蜜7-3头3范）皇（势7-1答0叨）轮（故7-1改7窑）胖于是仿照两（时7-2处4洒）倚-犁（福7-2旅7剧）的推导截，可得到束闭口薄壁目杆件扭转镇角微分方候程的齐次贼解，这格时式中的厌系数与取式谎（狡7-1抬6僻）的形式厚。群底伸（辩7-3职4屿）璃（没7-2辟4析）宫匙远信（赤7-3甚5误）呈（控7-2迟5名）脱坑峰甚盘（免7-3造6掩）灭（匹7-2雷6帐）兆会案踩佳商取掉聋效（榨7-3帮7护）符（嫂7-2多7街）恢由式赶（遍7-2示4宏）～末（攀7-2减7戚）与式扒（碎7-3捆4震）尾-撞（浑7-3蛇7旧）可以看鸦出，闭口滑薄壁杆件体的齐次解牛，可由开史口薄壁杆毅件的对应浊齐次解，瓦以虑代替青得到。摸对于尽图忙7-山2而所示各种姥荷载形式汇的特解，撞上述代换鸽也是适用晨的，故有究：仰（馒7-3割8潮）朋（柏7-2剩8仪）洞拖帮（点7-3毙9代）景（棵7-2友9康）峰臣清（协7-4熟0侮）急（地7-3战0剪）湾理在茶印贿岛傻（默7-4之1质）堪（穷7-3策1懒）浆同样，微殿分方程式胞的通解则脉为：MACROBUTTONMTEditEquationSection2候轧该刃章裳衣SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h拌累劫秀适纸挨脸（领7-4挣2冒）筑（幼7-3浆2些）毒第四犁节份获边界条件聚组合扭转俭微分方程锄的通解式清（雹7-3非2植）或式挽（郊7-4沃2涝）中的初押始参数焦需由具体于问题的边概界条件定慰出。对于葡工程中常训见的情况把，边界条相件可归结糠为验表垫7-柜1忧。看1裁、简支端幼如比图中7-者3滤所示，表冶示杆端扭鱼转被完全伟约束（午=冬0影），但允火许其自由馅翘曲，相绒应的边界贱条件为昆=0疑a)构造b)图示c)图示图7-3a)构造b)图示c)图示图7-3需2责、固定端乏表示杆件垦的支座完着全阻止了毅截面的扭折转（琴=撒0炼）和翘曲误（盏=凯0彼），如大图护7-确4提所示，相爽应的边界遭条件为：缠=0榴a)构造a)构造b)图示图7-4葵3滚、自由端惨即杆端截拣面无任何婆约束，可我以自由变修形，其扭与转角、翘伶曲位移均仿不为零。关4草、中间支稀承蒸当杆件具铅有中间支览承时，相廊应的扭转挽受到约束勿=胖0揪，杆件在第此截面左辈右的内力鼓及变形相翻等。项现将开口矮和闭口薄振壁杆件的究边界条件扒，分别列汉于夸表析7-1狼开口和闭惭口薄壁杆盒件的边界椒条盆件济列习表河7-1土支承情况找开口截面洞闭口截面毙简支端碧自由端薪固定端首中间支承掀截面变化霉处帖第五揪节骑旧算鹿筝今例肚[腥例剪7-1]败都图椒7-愚5涂所示两端掘简支杆，骡=20层m棍，跨中承螺受集中扭违矩乱=200敏0kN蹄m葬作用。分丸别计算鼻（妄1五）工字型堵截面；回（帖2冤）单室双刻箱截面发姥生扭转时纷的应力全。截面尺范寸参见第碎五讲恢图葬5-夫8壮。b)单位：b)单位：图7-51010a)(单位：m)c)单位：d)单位：[解]奋一、工字悲型截面魂1龙、边界条埋件打由杆件的锋对称性可饿知丰,橡杆端约束晒反力均为岸，方向如边图训7-5澡a然）所示。顽由密表雄7-筐1弊可知，简瓶支端的边喇界条件为戴：时笋描烫（思a肥）时谜殖沿（籍b用）常2项．计算截桂面的抗扭鱼特性祥由第五讲蹦例雪5-居1鄙和第六讲立例删6-腹1执知：（c）捞翅做（打d乡）查3慰．计算内乐力双力矩使培万（夏e士）县将式近（华b安）中帜、马代入式牲（局e兆）有：则谋陶序（途f把）碑由式苹（榨e唯）知，当兼时，有：煌笔脊（稀g夜）当时，词奥驴（艰h很）惧则也取得最大绍值。并将鞭值代入，肥则狭孔填特（薄k衔）纱双力矩分白布图如富图联7-5单b普所示。掠将式洒（骄g快）轨,伸（央h深）分别代拆入约束扭枣转力矩新得：毅矿遣腐（饼l烈）（m）蝇于是，当身时，左右论截面得扭极转力矩为携：狂示包（通n比）蒙而注=班0国时，锁同样，当斯时凑约束扭转陈力矩得分费布如俩图劈7-5济c异）所示。字自由扭转脚力矩补，则骨自由扭转逢力矩场分布图如杰图卫7-5沙d军）所示。钱4弊、应力计贯算介约束扭转源正应力胁在截面内富为痒的影响函浑数（或称煎分布函数泉），观察陡第六讲宜图疏6-3嫁b郊）可知，坦最大值发逼生在四个撇角上（剥）岂,鸽相应的森，又有第螺六讲乡例料6-益1驳已知燕，故嘴据此作且图，如斜图团7-6彩b史）所示25252525250.430.43a)b)图7-6岂约束扭转嫌剪应力杀或慢。兵由上式可临见，辰为胜的影响函土数，观察穴图秆6刃-离4悉c脱）习可知，劳最大值发佩生在翼缘疤的中部（气、工点）相应贸的主扇形渠矩闷＝誉0.07编5宽（艳），故冲沿截面的瓶分布如图孔7窜-启7b统）所示。清二、单箱猫双室截面弹1坐、杆件的怨边界条件耀同式（邮a渣）、式（合b罪）。搏2门、闭口截拐面的翘曲梦系数派，而极惯贪矩：故塞其中幻系引用第赶六讲例影6封-魔1视的计算结晚果。讲3招、截面弯竞扭特性非由第五讲留例裂5禁-畅1荣及第六讲滩6赢-卧1破知虹4新、内力计缘算默同开口截捧面一样，件将式（抗7寿-以36隶），式（索7唱-呆40屿）代入（穿7餐-倒42转）后，利闪用边界条叙件旁得到：剑将数据代叛入，则由有：况杂沫（认）（）湖于是，当庆时，截面疑左右的扭鼓转力矩：差搞盾（所q剃）饱、品分布图如卷图胶7-5顷b仆）棵、冤c弟）所示，移图中括号背内的数字巷即为单箱量双室截面姿的数值。胸5凉、应力计岁算侦翘曲正应醋力服翘曲剪应垃力塘其中黄、膝、菜、喜的数值均波取自第六恨讲满例猛6-驰1榆。倒及患分布图如喷图掘7-秋6脾和茄7-还7肃所示。2.52.52.5b)图图7-70.26纵向预应力筋纵向预应力筋0.26纵向预应力筋纵向预应力筋1.07纵向预应力筋纵向预应力筋0.88纵向预应力筋纵向预应力筋a)图纵向预应力筋纵向预应力筋0.8