2023年高考数学一轮复习课件：第八章 8-1空间几何体及其表面积与体积

第八章§8.1空间几何体及其表面积与体积考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述

现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，

能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相

且____多边形互相

且____侧棱___________相交于

但不一定相等延长线交于____侧面形状________________________1.多面体的结构特征平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等，____于底面相交于_____延长线交于____

轴截面全等的_____全等的__________全等的_____________侧面展开图_______________

2.旋转体的结构特征垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为

，z′轴与x′轴和y′轴所在平面

.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍

，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

，平行于y轴的线段在直观图中长度为

.垂直45°或135°平行于坐标轴不变原来的一半

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝_________4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrlπ(r1＋r2)l5.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝___锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝______台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝_____V＝_____Sh4πR21.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(

)(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.(

)(3)菱形的直观图仍是菱形.(

)(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(

)×√××1.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱√2.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A.1cm B.2cmC.3cm D.cm√设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为______.设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，1∶47TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1

(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是题型一空间几何体命题点1三视图√根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.例2有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.命题点2直观图命题点3展开图√设圆锥的母线长为l，1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A.三棱锥

B.三棱柱C.四棱锥

D.四棱柱教师备选√由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.2.(2022·益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为√√设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，思维升华(1)由几何体求三视图，要注意观察的方向，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推测几何体的可能形式.(2)①在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.②S直观图＝

S原图形.跟踪训练1

(1)(2021·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是√方法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为2)的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形(腰长为1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积(2)(2022·中卫模拟)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝

，那么△ABC是一个A.等边三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.钝角三角形√根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系中的图形，如图，则BC＝B′C′＝2，所以△ABC是一个等边三角形.(3)(2022·曲靖模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为√如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，则由题意可得2π×4＝12θ，在△POP′中，OP＝OP′＝12，则小虫爬行的最短路程为例4

(1)(2022·成都调研)如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是√题型二表面积与体积命题点1表面积如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.√∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为_____.教师备选36∴该几何体的表面积为36.思维升华(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.命题点2体积例5

(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为√作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，(2)(2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为___.1如图，由正方体棱长为2，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，(3)(2022·大同模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是A.4立方丈

B.5立方丈C.6立方丈

D.8立方丈√如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形.(2022·佛山模拟)如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，则该几何体的体积为______.教师备选如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，AD＝ACcos30°＝3，BD＝AB－AD＝1，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，该几何体是以AB为直径的半个球中间挖去两个同底的半圆锥，思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2

(1)(2022·武汉质检)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为√如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为

，如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥.圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，所以圆锥的半径为

，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，(2)(2022·天津和平区模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为√如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，又

＝23＝8，KESHIJINGLIAN课时精练1.下列说法不正确的是A.圆柱的每个轴截面都是全等的矩形B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面基础保分练√12345678910111213141516B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行.2.(2022·梧州调研)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为A.2丈4尺

B.2丈5尺C.2丈6尺

D.2丈8尺√1234567891011121314151612345678910111213141516如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为＝26(尺)，即为2丈6尺.3.(2021·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为√1234567891011121314151612345678910111213141516根据三视图可得如图所示的几何体－正三棱锥O－ABC，其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，4.(2022·兰州模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，筒高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为(单位：cm3)A.23.04－3.92π B.34.56－3.92πC.34.56－3.12π D.23.04－3.12π√12345678910111213141516由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，123456789101112131415165.(2022·商洛模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为12345678910111213141516√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，12345678910111213141516∴D1E＋CE的最小值为D1G，7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为12345678910111213141516√8.(2022·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为

米，则A.正四棱锥的底面边长为4米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24

平方米D.正四棱锥的侧面积为12

平方米12345678910111213141516√如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，123456789101112131415169.如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为_____.1234567891011121314151612345678910111213141516利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.在Rt△B′D′C′中，10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝_______cm2.123456789101112131415162600π将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.11.(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是__________cm3.1234567891011121314151612345678910111213141516螺帽的底面正六边形的面积12.(2022·佛山质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SBA为等边三角形，且面积为4

，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________.1234567891011121314151612345678910111213141516又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh＝8；又r2＋h2＝16，13.(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________________________(写出符合要求的一组答案即可.)12345678910111213141516技能提升练图①图②图③图④

图⑤③④(答案不唯一，②⑤也可)根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示.12345678910111213141516图1

图21234567891011121314151614.(2022·南京模拟)小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图①所示)，并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图②所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则

的值为______.图①

图②∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1，∴设点