2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)

2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)第15页（共26页）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第1页。2021年广东省梅州市高考数学质检试卷（二模）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第1页。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i2．（5分）设A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分条件也非必要条件3．（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A． B． C． D．4．（5分）F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，点P（2，3）在C上1F2⊥F2P，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．5．（5分）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，孔径5.9cm，外径19.6cm（）（单位：cm3）A．3300 B．3700 C．3900 D．45006．（5分）函数f（x）＝（1﹣）cosx的图象大致形状是（）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第2页。A． B． 2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第2页。C． D．7．（5分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1），过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝，连接AC；（2）以C为圆心，交AC于点D；（3）以A为圆心，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：2.236）A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.6188．（5分）设x1，x2，x3均为正数，且2+log2x1＝0，1+2log2x2＝0，1﹣2log2x3＝0，则（）A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．（5分）若＞＞0，下列不等式中正确的是（）A．a2（1+b）＜ab（1+a） B．a3+b3＞2ab2 C． D．loga+23＞logb+1310．（5分）函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+1（）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第3页。A．f（x）+f（﹣x）＝2 2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第3页。B．f（﹣x）的图象关于x＝﹣对称 C．若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2） D．存在x1，x2，x3∈[，]，使得f（x1）+f（x2）＜f（x3）11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含顶点），若D1M⊥MN，下列命题正确的是（）A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1﹣A1D1M体积不变12．（5分）曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路（）A．曲线C只有两条对称轴 B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为22021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第4页。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第4页。13．（5分）二项式（x2+）6展开式中含x3项的系数为．14．（5分）为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动．某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号．根据该次比赛的成绩，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn＝1，则++…+＝．16．（5分）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中点O为坐标原点），则△ABF面积的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccosB．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，AD＝2，DB＝18．（12分）已知等差数列{an}的公差为d＞1，前n项和为Sn，满足S3＝9，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2n﹣1，判断an与bn（n∈N*）的大小，并说明理由．19．（12分）2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产i（单位：百台，i＝1，2，…，9），数据作了初步处理，得到如图所2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第5页。示的散点图．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第5页。ti2tizi2.731952851095注：图中日期代码1～9分别对应9月1日～9月9日；表中zi＝e，＝zi．（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线y＝ln（bt+a）的附近（bt+a），并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．参考公式：回归直线方程是v＝μ+，＝＝，＝﹣．参考数据：e5≈148.4．20．（12分）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE＝1，AC＝CD＝2（1）求证：EP⊥平面BCD；（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第6页。求MP的长．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第6页。21．（12分）已知函数f（x）＝2alnx+（a∈R）．（1）当a＝1时，求证：函数f（x）没有零点；（2）若存在两个不相等正实数x1、x2，满足f（x1）＝f（x2），且x1x2＝1，求实数a的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线x+y+2﹣1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心（1）求椭圆C的方程；（2）△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第7页。2021年广东省梅州市高考数学质检试卷（二模）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第7页。参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）＝3，∴z﹣3＝＝2+i∴z＝5+i，∴＝7﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．（5分）设A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分条件也非必要条件【分析】利用韦恩图，结合充要条件的定义得到答案．【解答】解：若A⊆B成立，由韦恩图得到A∩B＝A一定成立，反之，若A∩B＝A成立，所以A⊆B是A∩B＝A的充要条件，故选：C．【点评】本题考查充要条件的有关定义，属于基础题．3．（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第8页。A． B． C． D．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第8页。【分析】以BA，BC为邻边作平行四边形BAMC，利用平行四边形法则可得：，已知，得到，可得点P是对角线的交点．即可得出．【解答】解：如图所示，以BA，BC为邻边作平行四边形BAMC，∵，∴，可得点P是对角线的交点．∴．故选：C．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，属于基础题．4．（5分）F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，点P（2，3）在C上1F2⊥F2P，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．【分析】利用已知条件求出a，b的值，利用双曲线的性质求解离心率即可．【解答】解：F1、F2是双曲线C：＝1（a＞0、右焦点，点P在双曲线C上，F2F2⊥F2P，所以，，，可得a＝1，c＝2，所以e＝＝2．故选：A．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第9页。【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力，是基础题．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第9页。5．（5分）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，孔径5.9cm，外径19.6cm（）（单位：cm3）A．3300 B．3700 C．3900 D．4500【分析】由题意，利用棱柱体积减去内部圆柱体积，再结合实际情况得答案．【解答】解：由题意，该仿古玉琮的体积为底面边长为19.6cm，高为9.7cm的圆柱的体积．则V＝19.6×19.6×7.8﹣π××8.8≈3497cm3．结合该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为3300cm6．故选：A．【点评】本题考查棱柱与圆柱体积的求法，考查考生分析和解决实际问题的能力，是基础题．6．（5分）函数f（x）＝（1﹣）cosx的图象大致形状是（）A． B． C． D．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第10页。【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用当0＜x＜时，f（x）＜0，利用排除法进行判断即可．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第10页。【解答】解：f（x）＝•cosx•cos（﹣x）＝，则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，B，当0＜x＜时，f（x）＞8，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1），过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC＝，连接AC；（2）以C为圆心，交AC于点D；（3）以A为圆心，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（）（参考数据：2.236）A．0.236 B．0.382 C．0.472 D．0.618【分析】由勾股定理可得：AC＝，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为＝0.236，得解．【解答】解：由勾股定理可得：AC＝，由图可知：BC＝CD＝1，AD＝AE＝≈1.236，则：8.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型，可得：2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第11页。使得BE≤AF≤AE的概率约为＝0.236，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第11页。故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型，属简单题．8．（5分）设x1，x2，x3均为正数，且2+log2x1＝0，1+2log2x2＝0，1﹣2log2x3＝0，则（）A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x2＜x1 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x1＜x3【分析】利用对数函数，指数函数的单调性，得到x1，x2，x3的范围即可．【解答】解：∵x1＞0，∴＞16x1＝﹣＜﹣11＜，∵x2＞7，∴＞62x2＝﹣∈（﹣2，∴x2∈（，1），∵x3＞6，∴＞62x3＝∈（7，∴x3∈（1，4），∴x1＜x2＜x6．故选：A．【点评】本题考查对数函数，指数函数的单调性，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．（5分）若＞＞0，下列不等式中正确的是（）A．a2（1+b）＜ab（1+a） B．a3+b3＞2ab2 C． D．loga+23＞logb+13【分析】由＞＞0，利用不等式的性质可得ab＞0，0＜a＜b，再逐一分析各选项，从而确定正确答案．【解答】解：由＞＞3，0＜a＜b，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第12页。对于A，a2（3+b）﹣ab（1+a）＝a（a﹣b）＜0，故a8（1+b）＜ab（1+a）成立；2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第12页。对于B，当a＝5，a3+b3＝6+27＝35，2ab2＝5×2×9＝36，故a5+b3＞2ab3不成立；对于C，﹣＞0，，（﹣）2﹣（）7＝2（﹣）＜0，故﹣＜；对于D，当a＝6，loga+23＝logb+33，故loga+28＞logb+13不成立．故选：AC．【点评】本题考查了不等式的基本性质、基本不等式，属于基础题．10．（5分）函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+1（）A．f（x）+f（﹣x）＝2 B．f（﹣x）的图象关于x＝﹣对称 C．若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2） D．存在x1，x2，x3∈[，]，使得f（x1）+f（x2）＜f（x3）【分析】首先利用三角函数的关系式的恒等变化，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质，单调性，对称性，函数的值的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x﹣cos3x+1＝2sin（2x﹣，对于A：由于f（x）＝2sin（5x﹣）+1，所以f（x）+f（﹣x）＝2sin（2x﹣﹣2x）+3＝2；对于B：由于f（﹣x）＝2sin（，令x＝﹣﹣x）＝4为最大值；对于C：若0＜x1＜x2＜，则﹣3﹣＜2x4﹣＜，故f（x）单调递增6）＜f（x2），故C正确；对于D：设，得到f（x1）+f（x3）＝4，当时，f（x3）＝3，故D错误；故选：ABC．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第13页。11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含顶点），若D1M⊥MN，下列命题正确的是（）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第13页。A．MN⊥A1M B．MN⊥平面D1MC C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥C1﹣A1D1M体积不变【分析】对于A，证明MN⊥平面A1D1M即可；对于B，证明MN不与D1C垂直；对于C，利用△A1AM∽△MBN得到A1A•BN＝AM•MB即可判断；对于D，利用即可判断．【解答】解：对于A，∵A1D1⊥平面ABCD，∴A2D1⊥MN，又MN⊥D1M，D5M∩A1D1＝D3，∴MN⊥平面A1D1M，∴MN⊥A3M，所以A正确；对于B，∵MN⊥A1M，∴MN不与A1B垂直，∴MN不与D4C垂直，∴MN⊥平面D1MC不成立，所以B错误；对于C，∵MN⊥A1M，∴△A7AM∽△MBN，∴A1A•BN＝AM•MB＝，∴BN；对于D，显然M到平面A1C2D1的距离为3，∵＝＝，所以D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了空间中的垂直位置关系的判断和空间长度的最值问题，其中结合了等体积法进行考查，属于中档题．12．（5分）曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，将所有原来需要穿越相交道路2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第14页。的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路（）2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第14页。A．曲线C只有两条对称轴 B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2【分析】对于A选项可根据图形进行判断；对于B选项采取特殊点代入法即可判断；对于C，D选项可利用均值不等式进行判断．【解答】解：由图知曲线C有4条对称轴，故选项A错误；第一象限内经过的整数点为（1，5），2），1），所以曲线C在第一象限内不经过整数点，结合对称性可知曲线C只经过（8，故选项B错误；由x2+y2≥5xy，（x＞0，得，所以＝4（x2+y2）2，∴x7+y2≤4，故选项C正确；矩形面积，∴所围成矩形面积的最大值为2．故选：CD．【点评】本题考查了曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，具有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）二项式（x2+）6展开式中含x3项的系数为540．【分析】求出展开式的通项公式．令x的指数为3，进而可以求解．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第15页。【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第15页。令12﹣3r＝3，解得r＝3，则展开式中含x7项的系数为C＝20×27＝540，故答案为：540．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14．（5分）为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动．某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号．根据该次比赛的成绩，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为6人．【分析】根据茎叶图中数据，按分层抽样原理抽选即可．【解答】解：40名学生得分在低于85分且不低于70分的学生有16人，可或“诗词能手”称号；按分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为15×．故答案为：6人．【点评】本题考查了茎叶图与分层抽样应用问题，是基础题．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn＝1，则++…+＝502．【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得an，Sn，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：由an+Sn＝1，可得n＝1时，a5+S1＝2a3＝1，解得a1＝，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第16页。n≥2时，an﹣2+Sn﹣1＝1，又an+Sn＝4，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第16页。两式相减可得an﹣an﹣1+Sn﹣Sn﹣1＝6，即为an＝an﹣6，数列{an}是首项和公比均为的等比数列，则an＝（）n，Sn＝1﹣（）n，＝2n﹣7，则++…+2+...+26）﹣8＝﹣8＝29﹣10＝502．故答案为：502．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义、通项公式和求和公式、数列的分组求和，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中点O为坐标原点），则△ABF面积的最小值是．【分析】由题意设直线AB的方程，联立方程组，可得y1y2，x1x2，由＝2，可得AB与x轴的交点，然后将面积用y1﹣y2来表示，再用基本不等式求出最小值．【解答】解：由题意，设直线AB的方程为：x＝ty+m1，y1），B（x5，y2），直线AB与x轴的坐标为M（m，0），可得y2﹣ty﹣m＝0，y2•y2＝﹣m，x1x2＝y12•y82＝（y1y6）2，＝2，∴x3x2+y1y6＝2，即m2﹣m﹣8＝0，∴m＝2或﹣7，∵A，B在x轴的两侧1y2＝﹣m＜8，即m＝2，设A在x轴的上方，则y1＞2，∵F（，4）×|y6﹣y2|，y1+y2＝，y1•y4＝﹣2，∴S＝，当t＝0时．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第17页。故答案为：．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第17页。【点评】本题主要考查了直线与抛物线的综合和利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccosB．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，AD＝2，DB＝【分析】（1）结合余弦定理和已知条件，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，再利用余弦定理，即可得解；（2）由角分线定理知，＝＝2，在△ABC中，由余弦定理，可求得BC的长，进而知AC与cosB的值，再在△BCD中，由余弦定理，得解．【解答】解：（1）由余弦定理知，cosB＝，∵2a+b＝7ccosB，∴2a+b＝2c•，即a2+b2﹣c3＝﹣ab，由余弦定理知，cosC＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由角分线定理知，＝＝＝2，设BC＝x，则AC＝4x，在△ABC中，由余弦定理知2＝AC2+BC4﹣2AC•BC•cos∠ACB，∴＝4x6+x2﹣2•5x•x•（﹣），解得x＝7，∴a＝BC＝3，b＝AC＝6，∴cosB＝＝＝，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第18页。在△BCD中，由余弦定理知2＝BD7+BC2﹣2BD•BC•cosB＝8+9﹣2××3×，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第18页。∴CD＝2．【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握角分线定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（12分）已知等差数列{an}的公差为d＞1，前n项和为Sn，满足S3＝9，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝2n﹣1，判断an与bn（n∈N*）的大小，并说明理由．【分析】（1）由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得数列{an}的通项公式；（2）验证n≤3时，an≥bn，构造函数f（x）＝2x﹣1﹣（2x﹣1），x≥4，利用导数证明当n≥4时，an＜bn．【解答】解：（1）由题意，，解得a1＝1，d＝3．∴an＝1+2（n﹣2）＝2n﹣1；（2）当n＝4时，a1＝b1＝5，当1＜n≤3时，an＞bn，当n≥2时，令f（x）＝2x﹣1﹣（3x﹣1），x≥4，则f′（x）＝4x﹣1ln2﹣2，当x≥4时3ln7﹣2＞0，∴f（x）在[5，+∞）上单调递增，∴x≥4时，f（x）≥f（4）＝1＞3x﹣1﹣（2x﹣4）＞0，∴n≥4时，bn＞an．综上，当n≤5时，an≥bn，当n≥4时，an＜bn．【点评】本题考查等差数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．19．（12分）2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产i（单位：百台，i＝1，2，…，9），数据作了初步处理，得到如图所2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第19页。示的散点图．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第19页。ti2tizi2.731952851095注：图中日期代码1～9分别对应9月1日～9月9日；表中zi＝e，＝zi．（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线y＝ln（bt+a）的附近（bt+a），并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．参考公式：回归直线方程是v＝μ+，＝＝，＝﹣．参考数据：e5≈148.4．【分析】（1）设事件A：所取2个点的日生产量都不高于300台，事件B：所取2个点的日生产量高于200台，利用条件概率公式计算即可．（2）由z＝ey＝bt+a求出回归系数，利用回归方程计算ln（4t﹣1）＞5时t的最小整数值即可．【解答】解：（1）9个样本点中日生产量都不高于300台的有5个，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第20页。高于200台且不高于300台的有4个，2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第20页。设事件A：所取2个点的日生产量都不高于300台，事件B：所取2个点的日生产量高于200台，∴事件AB：所取6个点的日生产量高于200台且不高于300台，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝×＝．（2）∵y＝ln（bt+a），∴z＝ey＝bt+a，＝5，，∴＝＝＝4，∴＝﹣＝19﹣4×2＝﹣1，∴y＝ln（4t﹣3）．令ln（4t﹣1）＞3，解得t＞≈，∴t≥37.35，所以估计该公司从生产之日起，需要38天呼吸机日生产量可超过500台．【点评】本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了转化思想与推理计算能力，是中档题．20．（12分）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE＝1，AC＝CD＝2（1）求证：EP⊥平面BCD；（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第21页。2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第21页。【分析】（1）作PQ∥DC交BC于点Q，连接AQ，由已知得到AE∥PQ，且AE＝PQ，得到四边形AEPQ是平行四边形，即EP∥AQ，再由平面与平面垂直的判定及性质可得直线AQ⊥平面BCD，进一步可得EP⊥平面BCD；（2）设O是AC的中点，在正△ABC中，BO⊥AC，作Oz∥AE，证明Oz⊥平面ABC，再以，方向为x，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面EAB的法向量，设M（t，0，0），其中﹣1≤t≤2，再由t表示平面PEM的法向量，由题意列式求解t，可得M的坐标，则MP的长可求．【解答】（1）证明：如图，作PQ∥DC交BC于点Q，∵BP＝PD，∴PQ＝，又AE∥CD，AE＝8，∴AE∥PQ，且AE＝PQ，得EP∥AQ，∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE＝AC，CD⊂平面ACDE，∴CD⊥平面ABC，而CD⊂平面BCD，∵△ABC为等边三角形，Q为BC的中点，∵AQ⊂平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，∴AQ⊥平面BCD，又EP∥AQ，∴EP⊥平面BCD；（2）解：如图，设O是AC的中点，BO⊥AC，作Oz∥AE，∵AE⊥AC，∴由平面ABC⊥平面ACDE，可得AE⊥平面ABC，再以，方向为x，则O（0，0，2），0，0），，0），0，5），0，2），2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第22页。∵BP＝PD，∴P（﹣，．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第22页。＝（﹣1，，3），，0，1），设平面EAB的法向量为＝（x3，y1，z1），由，取y4＝1，得＝（，5；∵点M在线段AC上，设其坐标为M（t，0，其中﹣1≤t≤4，∴＝（t﹣1，0，＝（，，设平面PEM的法向量为＝（x2，y2，z5），由，取x5＝2，得＝（2，2．由题意，设平面PEM与平面EAB所成的锐二面角为θ，则cosθ＝||＝＝＝，整理得（t﹣1）4＝1⇒t＝0或t＝5，∵﹣1≤t≤1，∴M（2，0，∴|MP|＝．2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第23页。2021年广东省梅州市高考数学质检试卷(二模)全文共26页，当前为第23页。【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝2alnx+（a∈R）．（1）当a＝1时，求证：函数f（x）没有零点；（2）若存在两个不相