人教版A版高中数学必修4课后习题解答

第一章三角函数

L1任意角和弧度制

练习(P5)

1、锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何

一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.

2、二，二，五

说明：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上.题目联系实际，

把教科书中的除数360换成每个星期的天数7,利用了“同余”(这里余数是3)来确定7%天

后、7Z天前也是星期三，这样的练习不难，可以口答.

3、(1)第一象限角；(2)第四象限角；(3)第二象限角；(4)第三象限角.

4、(1)305°42'第四象限角；(2)35°8'第一象限角；(3)249°30'第三象限角.

5、(1){例/7=1303°18'+h360°次eZ},-496°4Z,-136°42z,223018f；

(2){/3\/3=-225°+k-360°,keZ},-585°,-225°,135°.

练习(P9)

(3)

3

2、(1)15°；(2)-240°；(3)54°.

7T

3^(1){a\a-k7r,keZ}；(2){aa=—+k7r.k^Z},

4>(1)cos0.75°>cosO.75；(2)tan1.2°<tan1.2.

说明：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制.注

意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置.如求cosO.75。之前，要

将角模式设置为DEG(角度制)；求cosO.75之前，要将角模式设置为RAD(弧度制).

5、-m.6、弧度数为12

3

习题1.1A组(P9)

1、(1)95°,第二象限；(2)80°,第一象限；

(3)236°50,,第三象限；(4)300°,第四象限.

2、S={a|a=Z48()o,ZGZ}.

3、(1){例尸=60。+八360。,丘Z},-300°,60°；

(2){例/?=—75。+人36()。,丘2},-75°,285°；

(3)[(3\/3=-824°30,+k-360°,k^Z},—104。30',255030,；

(4){ft\p=-75°+k-360°,k&Z},-75°,285°；

(5){例4=90。+&-360。,丘2},-270°,90°；

(6){例尸=270。+%.360。,％GZ},-90°,270°；

(7){⑼尸=180°+心360°#eZ},-180°,180°；

(8){/?|P=A＞360°,ZGZ},-360°,0°.

说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出

与指定的角终边相同的角.

4、

象限角度制弧度制

7T

—•{/3\k-360。</7<90。+%•360。,％wZ}邛2k兀<(3<—+2k7L,kGZ}

JI

二{"90。+k-360°<尸<180。+360。,k&Z]{尸—<°<兀+2女乃，&GZ}

37r

三{尸180。+A-3600</3<270。+左•360°,k^Z}邛7i+Ikxc<(3<—+2k7V,ke.Z}

3万

四{例270。+k-3600<£<360。+左•360°,k^Z]M+2k7r</?<2乃+2k7T,keZ]

5、(1)C.说明：因为0。＜々＜90。，所以0。＜2。＜180。.

(2)D.说明：因为％•360。＜&＜90。+4・360。/eZ,

所以hl80°＜£＜45°+ai80°,keZ

当人为奇数时，区是第三象限角；当Z为偶数时，里是第一象限角.

22

6、不等于1弧度.这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所

对的弧比半径长.

7T54737r

7、(1)-；(2)--；⑶—；(4)8%.

5612

8、(1)-210°；(2)-600°；(3)80.21°；(4)38.2°.

9、640.10、14cm..

习题1.1B组(P10)

q-r0

1、(1)略；(2)设扇子的圆心角为。，由3=1---------=0.618.

‘23产(2)一。)

可得0=0.618(2万-0),则8=0.764不«140°.

说明：本题是一个数学实践活动，题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生

先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足“1=0.618

(黄金分割比)的道理.

2、(1)时针转了—120。，等于——弧度；分针转了—1440。，等于-84弧度.

3

(2)设经过fmin分针就与时针重合，〃为两针重合的次数.

因为分针旋转的角速度为也=二(rad/min)

6030

时针旋转的角速度为一=='-(rad/min)

12x60360

所以(二一3-)f=2»〃，BPr=—n

3036011

因为时针旋转一天所需的时间为24x60=1440(min)

所以7上20“41440,于是〃W22.

11

故时针与分针一天内只会重合22次.

24万

2、864°,---,151.2〃cm.

5

说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式.当大齿轮转动一周时，小

齿轮转动的角是4上8x360。=864。=2"4乃rad.

205

由于大齿轮的转速为3r/s

48

所以小齿轮周上一点每1s转过的弧长是一x3x2^-x10.5=151.2TT(cm)

20

1.2任意角的三角函数

练习(P15)

,7万1,7兀V3

1、sin——=——,costan—=—.

62］一_y63

12

2、sin^=—,cos6=---,tanc

131312

3、

角a0°90°180°270°360°

7T3兀

角a的弧度数71

07~T2乃

sina0i0—10

cosa10—101

tana0不存在0不存在0

4、当a为钝角时，cosa和tanal解负值.

5、(1)正；(2)负；(3)零;(4)负；(5)正；(6)正.

6、(1)①③或①⑤或③⑤；(2)①④或①⑥或④⑥；

(3)②④或②⑤或④⑤；(4)②③或②⑥或③⑥.

7、(1)0.8746；(2)6；：3)0.5；(4)1.

练习(P17)

1、终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同

的角的同一三角函数的值相等.

2、(1)如图所示:

(2)、(3)、(4)略.

3、225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5cm,3.5cm,5cm；330°角的正弦、余弦、

正切线长分别为2.5cm,4.3cm,2.9cm,其中5,2.5是准确数，其余都是近似数(图略).

353.5

sin2250=------=-0.7»cos225==一，tan225；

55

4.329

sin330°=-0.5,cos33住——=0,tan3S住一=-0.

55

4、三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定

义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值

符号的变化规律、公式一等的理解容易了.

练习(P20)

2、解：***tan9Vo

1、解：由sin?c+cos2a=1

.••e为第二或第四象限角

49

得sin2a=\-cos2a=1-(--)2

-25

.sin。r-

为第三象限角・tan9=------=73

cos。

sina=—伫=—3

V255/.sin^=-\/3cos^9

.sina/3、/5、3

・・tancc——()x()—sin20+cos20=1

cosa544

/.3COS2^+COS2^=1,得cos2夕=：

3、解：3sin8>0且sinOwl

••.e为第一或第二象限角(1)当0为第二象限角

221

由sin0+cos0=1cos^>=-—

得cos?6=1-sin?6=1-0.352=0.8775

sin9=tan^-cos^=-5/3x(--^)=

(1)当。为第一象限角

cos9«0.94

八sin。0.35(2)当0为第四象限角

tan6=------«------«0.37

cos。0.941

(2)当6为第二象限角cos9=5

cos0«-0.94

八sin(90.35…,r1V3

tan6=------«--------«-0.37sin69=tan6?•cos(p=73x—=-----

cos0-0.9422

“八sine.八/八#2cos-a-(cos-a+sin-a)cosa-sin-a.

4、(1)原式=cos。-----=sm。；(2)原1s式=；-------；-----------=—--------=1.

cos。(cosa+sin-a)—2sin-acosa-sin-a

5、(1)左边=(sin)a+cos?a)(sin2a-cos2a)=sin2a-cos2a；

(2)左边=sin?a(sin2tt+cos2a)+cos2a=sin?a+cos?a=\.

习题1.2A组(P20)

(-马=立

sin,c°s(-乌」tan(号)=G

1、(1)

3232

,21兀V22UV2217r।

(2)sin-----=-------cos-----=-------,tan-----=1；

42424

23万234)=V，tan(-23万

(3)sin(-cos(-)；

666T

(4)sinl500°=—,cosl5000=-,tan1500°=73.

22

sino=±34

2、当a>0时,cosa,tana=—；

553

_434

当a<()时,sina=cosa=——,tana--

-553

2(4)

3、(1)-10；(2)15；(3)4

2

4、（1）0；(2)(p-q¥;(a—；(4)0.

5、(1)—2；(2)2

6、⑴负；(2)负;(3)负;(4)正;（5）负；（6）负.

7、(1)正；(2)负;(3)负;(4)正.

8、(1)0.9659；(2)1：(3)0.7857；(4)1.045.

9、(1)先证如果角。为第二或第三象限角，那么sinPtan6<0.

当角。为第二象限角时，sin8>0,tanOcO,则sin夕tan6<0；

当角。为第三象限角时，sin6<0,tan6»>0,则sin"tan6<0,

所以如果角。为第二或第三象限角，那么sin"tan6<0.

再证如果sin"tane<0,那么角。为第二或第三象限角.

因为sin6-tane<0,所以sin8>0且tan8<0,或sin8<0且tan6>0,

当sin6>0且tan6<0时，角。为第二象限角；

当sin6<0且tan8>0时，角。为第三象限角；

所以如果sinPtan6<0,那么角。为第二或第三象限角.

综上所述，原命题成立.

（其他小题同上，略）

10、(1)解：由sin?a+cos?c=1(2)解：由siYa+cos2a=1

得sin2a=1-cos2a-\-(---)2=

得cos2a=1-sin2a=1-13169

4

Ya为第二象限角

〈a为第四象限角・.12

・・sina=—

...cosa--113

2sina12/13、12

tana=------=—x(-----)=-----

sinay/3rrcosa1355

tana=------=------x2=73

cosa2

(3)解：tancr<0(4)解：cosa>0且cosah1

・・・a是第二或第四象限角••.a是第一或第四象限角

..sina3

•tana--------=——sin2a+cos2a=1

cosa4

・.3

・・sma=——cosa，sin2a=1-cos2a=l-0.682=0.5376

4

(1)当a是第一象限角时

sin26Z+cos2a-\

sina=40.5376«0.73

.♦.—>cos2<z+cos2a-1.

16sina0.73,,

tana=------«------«1.1

cosa0.68

..cos-a--

25(2)当a是第四象限角时

(1)当。是第二象限角时

sin«=-V().5376«-0.73

4

cosa=——

5sina-0.73..

tana=------a--------1.1

.33.43cosa0.68

sina=——cosa=——x(——)=-

4455

(2)当a是第四象限角时

4

cosa=一

5

.3343

sinar=——cosa=——x—=——

4455

11、解：：sinxvO且sinx力一112^解：*.*tana—‘访'=6

cosa

・・・x是第三或第四象限角

sina=石cosa

*/sin2x+cos2x-1

8

-22

cos2x=l-sin2x=l-9-Vsin+cosa-1

（1）当。是第三象限角时3cos2a+cos2a-\

2V2_3

cosx=•cos2a-Lsin2a

4-4

..3

sinx13V2.7i<a<—7i

tanx=------=——x(z-------j=x)=——2

cosx32j24

1

cosa=——,sina二

(2)当a是第四象限角时2--v

272

cosx=-----1出

3•*.cosa-sina=-----1-

2T

sinx13"

tanx=------=——x--=------

cosx325/24

一、上(cosx-sinx)2cosx-sinx_1—tanx

13、(1)左边二-----J---------------：——

(cosx+sinx)(cosx-sinx)cosx+sinx1+tanx

2/11、.21-cos2x.sin2x.,2

(2)左叱=sirrx(——-----l)=sin"x------------=sin-2x-------=sin2"x-tanx；

COSXCOSXCOSX

(3)1-2cosP+cos2P+sin2/?=2-2cos(3；

(4)左边=(sin?x+cos2x)2-2sin2x-cos2x=l-2sin2x-cos2x.

习题1.2B组(P22)

1、原式二(1+s'［。)-cos2a=cos2a+sin2a=1.

cosa

八目#J(l+sina)2/(I-sina)2|l+sina|ll-sinctrl

2、原式二J---------------J--------1—=—,------r~i-----------

V1-sirrav1-sina|cosa\|cosa|

Ta为第二象限角.

・etx1+sina1—sina11.

・・原式=----------------=--------tana-\----------tana=-2tana.

-cosa-cosacosacosa

八..小.sina+cosatana+12+1.

3、.tancr=2,-------------=-----------=------=3.

sina-cosatana2-1

4、又如sin,x+cos4x=l-2sin2x-cos2xtilMsin2x+cos2x=1的一个变形；

—=1+tan2x是sin2x+cos2%=1和=tanx的变形；等等.

cos-xcosx

1.3三角函数的诱导公式

练习(P27)

1、(1)-cos—";(2)-sin1；(3)—sin一；(4)cos7()°6'.

95

2、(1)(2)(3)0.6428；(4)--

222

3、(1)-Sin-6ZCOS6Z;(2)sin4a.

4,4万54547)8万1\n

a

-TT"TV-T

币上_A/2

sina也

V~TVVF

J_旦

cosa72

~2-2

F22

25

5、(1)-tan—；(2)-tan79°39r；(3)-tan一TT；(4)-tan35°28\

536

一冬(2)

6、(1)---；(3)—0.2116；(4)-0.7587；(5)6；(6)-0.6475.

2

.9

7、(1)sin-a；(2)cos2a+---

cosa

习题1.3A组(P29)

71

1、(1)-cos300；(2)-sin83°42'；(3)cos—；(4)sin—；

63

2乃jr

(5)-cos——;(6)-cos75°34'；(7)—tun87°36'；(8)—tan—.

96

V2

2、(1)--;(2)-0.7193；(3)-0.0151；(4)0.6639；(5)-0.9964；(6)--

22

3、(1)0；(2)-cos2a

4、(1)sin(360°-a)-sin(-tz)=—sina360；(2)(3)略

习题1.3B组(P29)

1、(1)1;(2)0；(3)0.

旦当a为第一象限角

‘瓜当a为第一象限角

L(2)«2；⑶

2、(1)—；(4)<

2-由■，当a为第二象限角2-6,当a为第二象限角.

2

1.4三角函数的图象与性质

练习(P34)

1、可以用单位圆中的三角函数作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象，还

可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同，位置不同，例如函数

y=sinx,xe[0,2幻的图象，可以通过将函数y=cosx,尤e募]的图象向右平行移动]

个单位长度而得到.

2、两个函数的图象相同.

练习(P36)

1、成立.但不能说120°是正弦函数)，=sinx的一个周期，因为此等式不是对x的一切值都

成立，^!1sin(20°+120°)sin20°.

2、(1)—；(2)-；(3)2%；(4)6兀.

32

3、可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性

质扩展到整个定义域.

练习(P40)

1、(1)Qk汽，兀+兀),keZ；(2)(—乃+2人乃,2Z〃),Z£Z；

7/7/'Jit]L

(3)(-—+2k7r,—+2k7r),ke：Z；(4)(耳+2左乃,手+2左万)，攵eZ.

3

2、(1)不成立.因为余弦函数的最大值是1,而cosx=->l.

2

(2)成立.因为sin2_x=0.5,即Ex=土'，而正弦函数的值域是,±^-e[-l,l].

7T

3、当=+肛ZeZ｝时，函数取得最大值2；

2

TT

当X€｛X尤=~+2k7T,keZ｝时，函数取得最大值-2.

1Syr14-7T

4、B.5、(1)sin250°>sin260°；(2)cos—>cos—；

(3)cos515°>cos530°；(4)sin(----->sin(---------万).

6、4—,kjiH-----1，4wZ

88

练习(P45)

1、在x轴上任取一点。「以01为圆心，单位长为半径作圆.作垂直于x轴的直径，将。

分成左右两个半圆，过右半圆与x轴的交点作。的切线，然后从圆心01引7条射线把右半圆

分成8等份，并与切线相交，得到对应于-加，0,阳等角的正切线.

48848

相应地，再把X轴上从-工到生这一段分成8等份.把角X的正切线向右平行移动，使它的起点

22

与x轴上的点x重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函数y=tanx,

xe(—的图象.

冗冗

2、(1){xkK<x<-+k7r,keZ]-(2){x|x=Z乃，AeZ}；(3){x--+k;r<x<k^,keZ}.

3、{xxH—i---,kGZ\4、(1)—；(2)27r.

632

5、(1)不是.例如0<%，但tan0=tan%=0.

(2)不会.因为对于任何区间A来说，如果A不含有工+版■(ZeZ)这样的数，那么函

2

数丁一皿乂》6人是增函数；如果A至少含有一个万(ZeZ)这样的数，那么在直线

%=工+人万两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).

2

1317

6、(1)tan1380<tan143°；(2)tan(一~—^)<tan(一"—

习题1.4A组(P46)

3

2、(1)使y取得最大值的集合是{x|x=6攵+3/eZ},最大值是：；

使y取得最小值的集合是{x\x=6k,keZ],最小值是1；

(2)使y取得最大值的集合是{xx=£+版■次eZ},最大值是3；

O

34一

使y取得最小值的集合是{xX=—+k7T,keZ),最小值是-3；

8

jr3

(3)使y取得最大值的集合是{尤x=2(2Z+l)+[«eZ},最大值是1；

使y取得最小值的集合是{九x=。+4版eZ},最小值是-|；

JT1

(4)使)取得最大值的集合是{xx=§+4版■次eZ},最大值是]；

使y取得最小值的集合是{xX=-半54+4k兀,keZ},最小值是-11.

7T

3、(1)3»；(2)

2

4744

4、(1)sinlO3015,>sinl64030,；(2)cos(-—>cos(一-—^)；

(3)sin508°<sin144。；(4)cos760°>cos(-770°).

TTTC

5、(1)当]£[—5+2左左+时，y=l+sinx是增函数；

当x£[]+2左孙辛+2%7],攵cZ时，y=1+sinx是减函数.

(2)当尤-%+2%肛2%%],kEZ时，y=-cos%是减函数；

当X£[2%],兀+2&矶%£Z时，y=-cosx是增函数.

71

6、{xW——卜k兀,keZ}.7、-

2

13

8、(1)tan(——兀)>tan(一57)；(2)tanl519°>tan1493°

937乃TV

(3)tan6—^)>tan(-5—；(4)tan——re<tan—.

86

9、(1){x——+k7r<x<—+k/r,keZ}；(2){x—^kTt<x<--\-k7i,keZ}.

4232

10、由于/(x)以2为最小正周期，所以对任意XER,有/(X+2)=/(X).

于是：/(3)=/(1+2)=/(1)=(1-1)2=0

73331

/(-)=/(-+2)=/(-)=(--1)=-

11、由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标

7T

为(左肛0),keZ.正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是x=—万/eZ.

2

7T

由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(工+攵肛0).Z£Z,

2

对称轴的方程是X=)U,ZGZ；正切曲线的对称中心坐标为(含,0)4eZ.正切曲线不是轴对

称图形.

习题1.4B组(P47)

TT27r3乃37r

1、(1){x—+2^zr<x<——+2ATT,&£Z}；(2){x---+2k7r<x<——+2k兀,keZ].

3344

2、单调递减区间(工+红，包+幺)MeZ.

8282

3、(1)2；(2)y=/(x+l)的图象如下：(3)y=\x-2k\,xe[2k-\,2k+\],keZ.

2

1.5函数y=Asin(ox+e)的图象

练习（P55）

1、

2、(1)C；(2)B；(3)C.

3、7=4"，/=—

34%

y=sinr向右平移、.，一横坐标伸长到原来、、,勺吒

三个单位'>y-swH-防倍，嬴嬴示不变》y

4、雪把正弦曲线在区间后,+8）的部分向左平移展个单位长度，就可得到函数

rr

y=sin(c+—)#w[O-po的图象.

习题1.5A组(P57)

1、(1)C；(2)A；(3)D.

2、(1)(2)

-as

(3)(4)

2彳

1In

~n__

71

2兀~TT

nT

3、(1)A=8,T=8兀，(p--—

8

•向右平移、•,冗

y=s1-~->户s1rt<—t坐标仰长到原来

4倍，纵刻标不变3)

2个单位8f

纵坐标伸长到原来、o；A_n、把',轴左侧、

的8倍，横坐标不变'y-6、I7~加部分抹去）＞一，xe)+8|

48

/c、A1T27r

(2)A=一,T——，(D—7—i

337

横坐标缩触到原来

y=sinx甘平移>y=sin(x+-)=sin(3x+y)

J尹单位?7的g倍，纵坐标不变

纵坐标缩短到原来>>'=1sin(3x+y)〉y=；sin(3x+

把了轴左侧G[0,+00)

的部分抹去X

的g倍，横坐标不变

T」，7=50,..71

4、(1)A=5,(p=—

50

f=()时，i=3叵

(2)r=-^-时，i=s.，=_L时，j=o；

2600150

7

t=-----时-，i=—5；t=—0't,z=0；

60060

5、(1)7=24(2)约24.8cm

g

习题1.5B组（P58）

1、根据已知数据作出散点图.

由散点图可知，振子的振动函数解析式为y=20sin（[0,+00)

2、函数/i=2sin（r+巴）在［0,2乃］上的图象为

4

yk

(1)小球在开始振动时的位置在(0,五);

3K7K(2)最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；

(3)经过2乃秒小球往复运动一次；

2nx

4(4)每秒钟小球能往复振动,次.

2万

-2

3、点P的纵坐标关于时间f的函数关系式为丁=rsin(M+0),，w[0,T8)；

点尸的运动周期和频率分别为生和色.

0)2万

1.6三角函数模型的简单应用

练习(P65)

1、乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处.

2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是1天.

3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人

体节律曲线，它们都是正弦型函数图象.根据曲线不难回答题中的问题.

习题1.6A组(P65)

1、(1)30。或150。；(2)135°；(3)45°；(4)150°.

4〃55乃(3)生或我(4)生或竺

2、(1)—或一；⑵—；

3322244

3、5.5天；约