微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

微积分（曹定华）（修订版）课后题答案第二章习题详解

第二章

习题2-1

1.试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limxn=a，则对任何自然数k,有

limxn+k=a.

n

n

证：由limxna,知0,N1,当nN1时，有

n

xna

取NN1k,有0,N,设nN时（此时nkND有

xnka

由数列极限的定义得limxnka.

2.试利用不等式ABA说明：若limxn=a，则lim|xn|=|a|.考察数列

n

n

xn=（-l）n,说明上述结论反之不成立.

证：

limxna

x

0,N,使当nN时，有xna.

而xnaxna于是0,N,使当nN时，有

xnaxna即xna

由数列极限的定义得limxna

n

考察数列xn(1),知limxn不存在，而xn1,limxn1,

n

n

n

所以前面所证结论反之不成立。

3.利用夹逼定理证明：

n

1121

(1)lim2=0；(2)lim=0.22nnn!n(n1)(2n)

证：(1)因为

In

2

In

2

2n

In

2

l(n1)

2

2

(2n)

In

Inn22nn

2n

而且lim

n

0,lim

n

0,

所以由夹逼定理，得1

111lim20.22n(n1)(2n)n

(2)因为0

2

n

2122232n12n4n

，而且lim4n!

nOn,

所以，由夹逼定理得

lim

2

n

n

n!

0

4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.（1）xln

en

1

,n=l,2,…；

⑵xl

xn+1

,n=l,2,….证：（1）略。（2

）因为xl

2,不妨设xk2,则

xk1

2

故有对于任意正整数n,有xn2,即数列xn有上界，又

xn1xn

，而xn0,xn2,

所以xn1xn0即xn1xn,即数列是单调递增数列。

综上所述，数列xn是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

■

,证明：limxxf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

证：先证充分性：即证若limf(x)limf(x)a,则limf(x)a.

xx

xx

xxO

由lim

f(x)a及limf(x)a知：

xxO

XX

0,10,当0xOx1时;有f(x)a,

20当0xxO2时，有f(x)a。

取min1,2,则当0xOx或0xxO时，有f(x)a,而

0xOx或0xxO就是0xxO,2

于是0,0,当0xxO时，有f(x)a,所以limf(x)a.

xxO

再证必要性：即若limf(x)a,则limf(x)limf(x)a,

xxO

xxO

xxO

由limf(x)a知，0,0,当0xxO时，有f(x)a,

xxO

由0xxO就是0xOx或0xxO,于是0,0,当

0xOx或0xxO时，有f(x)a.

所以limf(x)limf(x)a

xxO

xxO

综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在xO处的左、右极限均存在且都等于a.

xxO

1

2.(1)利用极限的几何意义确定lim(x+a),和limex；

x0

x0

2

1X

(2)设f(x)=e,x0,,问常数a为何值时，limf(x)存在.

x02

xa,x0,

2

解：(1)因为x无限接近于0时;xa的值无限接近于a,故lim(xa)a.

2

x01

1

当x从小于0的方向无限接近于。时，ex的值无限接近于0,故limcx0.

x0

(2)若limf(x)存在，则limf(x)limf(x),

x0

x0

x0

由(1)知limf(x)lim(xa)lim(xa)a,

x0

22

x0

X0

1

limf(x)limex0

x0

x0

所以，当a0时，limf(x)存在。

x0

3.利用极限的几何意义说明limsinx不存在.

x

解：因为当x时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一

定直线yA,亦即yf(x)不以直线yA为渐近线，所以1imsinx不存在。

x

习题2-3

1.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与

无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当x0时，tanx,sinx都是无穷小量，但由

sinxtanx

cosx(当x0时，3

cosx1)不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x时，2x与x都是无穷大量，但小量。

2xx

2不是无穷大量，也不是无穷

例3：当x0时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tanxcotx1不是无穷

大量，也不是无穷小量。

2.判断下列命题是否正确：

(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2)有界函数与无穷小量之积为无穷

小量；(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4)有限个无穷小量之和为无穷小

量；(5)有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6)y=xsinx在(-8,+8)内无界，但limxsinxWs；

x

(7)无穷大量的倒数都是无穷小量；(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.解：(1)错

误，如第1题例1；(2)正确，见教材§2.3定理3；

cotx为无穷大量，(3)错误，例当x0时，sinx是有界函数，cotxsinxcosx

不是无穷大量；

(4)正确，见教材§2.3定理2；

(5)错误，例如当x0时,与

xl

lx

都是无穷大量，但它们之和

lx

(

lx

)0不

是无穷大量;

(6)正确，因为M0,正整数k,使2k”

f(2kn+

n2

)(2kn+

n2

)sin(2kn+

n2

)2kn+

n2

n2

M,从而

M,即y*51n乂在(，)内无界，

又M0,无论X多么大，总存在正整数k,使kii>X,使

f(2kn)knsin(kn)0M,即x时，xsinx不无限增大，即limxsinx

(7)正确，见教材§2.3定理5；

(8)错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意

义。

3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1)f(x)=

3x4

12

,x-*2;(2)f(x)=lnx,x—0+,x-*l,x-*+°°；

2

(3)f(x)=ex,x-*0+,x-*0-；(4)f(x)=

-arctanx,xf+8；

⑸f(x)=

lx

sinx,x-*°°;(6)f(x)=

2

X—8.

4

2解：(1)因为lim(x4)0,即x2时，x4是无穷小量，所以21

x42是无穷x2

小量，因而3

x42也是无穷大量。

(2)从f(x)Inx的图像可以看出，limlnx,limlnx0,limlnx

x0xlx

所以，当x。时，x时，f(x)Inx是无穷大量；

当x1时，f(x)Inx是无穷小量。

1

x

11(3)从f(x)e的图可以看出，limex,limex0,x0

lx0

所以，当x0时，f(x)ex是无穷大量；

1

当x0时，f(x)ex是无穷小量。

(4)lim(xn2arctanx)0,

n

2arctanx是无穷小量。当x时，f(x)

(5)当x时，

lx是无穷小量，sinx是有界函数，1

xsinx是无穷小量。

(6)当x时，1

是无穷小量。

习题2-4

1.若limf(x)存在，limg(x)不存在，问lim[f(x)±g(x)],lim[f(x)•g(x)]是否

存在，

xxOxxOxxOxxO

为什么？

解：若limf(x)存在，limg(x)不存在,则xxOxxO

(1)lim[f(x)±g(x)]不存在。因为若lim[f(x)土g(x)]存在，则由

xxOxxO

g(x)f(x)[f(x)g(x)]或g(x)[f(x)g(x)]f(x)以及极限的运算法则可得

limg(x),与题设矛盾。xx05

(2)lim[f(x)•g(x)]可能存在，也可能不存在，如：f(x)sinx,g(x)

xxO

lx

,则

limsinx0,lim

x0

lx

x0

不存在，但lim[f(x)•g(x)]=lim

xxO

lx

x0

sinx0存在。

又如：f(x)sinx,g(x)

lcosx

,贝ijlimsxin

x

n2

,Him

x

Icosx

n2

不存在，而

xxO

lim[f(x),g(x)]limtanx不存在。

x

Jr2

2.若limf(x)和limg(x)均存在,且f(x)》g(x),证明limf(x)》limg(x).

xxO

xxO

xxO

xxO

证：设limf(x)=A,limg(x)=B，则0,分别存在10,20,使得当

xxO

xxO

0xxO1时-，有Af(x),当0xxO2时，有g(x)B

令min1,2,则当0xxO时，有

Af(x)g(x)B

从而AB2,由的任意性推出AB即

xxO

limf(x)limg(x).

xxO

3.利用夹逼定理证明：若al,a2,…，am为m个正常数，则

lim

n

二A,

其中A=max{al,a2,am}.

VaI+a。小

QmA”

A

1

,即

1

mnA

而limAA,limmnAA,由夹逼定理得

n

n

lim

n

A.

，…，

4.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若xl

,x2

J2+产

xn+1

J?+&

(n=1,2,…)，则limxn存在，并求该极限.

n

证：因为xlx2有x2xl

xk,由数学归纳法知，对于任意

今设xk

xk1,贝ijxk1

正整数n有xn1xn,即数列xn单调递增。

6

又因为xl2,今设xk2,

也+2

贝ijxk1

2,由数学归纳法

知，对于任意的正整数n有xn2,即数列xn有上界，由极限收敛准则知limxn存

在。

n

2

设limxn

,2+%

b,对等式xn1

n

,2+b

两边取极限得b

，即b2b,

解得b2,b1(由极限的保号性，舍去)，所以limxn2.

n

5.求下列极限：(1)lim

3n2n45nnn1

3

23

n

；(2)lim1

n

n

cosn；

nn1

(3)lim

n

113

;(4)lim

1.13

nn

(2)3(2)

n1

n

3

1

(5)lim

n

1

3

2

2

In

2

4

3

解：(1)原式二lim

n

5In

In

3

35

>

(2

亚

)因为lim(l

n

0,即当n

yf2

时，1

是无穷小量，而cosn是有界变

五

量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim(1

cosn0；

(3

+

n

2

n

lim

n

1

2

limn

lim

n

；(4)lim

(2)3(2)

n1

nnn1

n

3

2nlnl

(1)0

1；lim

n2n13n1

(1)01

3

7

百

1(12

)

n1

1111(In(5)lim

nl4[1

limlim)11

4n.

113InIn1

n3nl(3

)3[1

(In133

)]1

13

6.求下列极限：(1)limx3；(2)lim2x3x3

x2

9

x1

x2

5x4

6x3(3)lim

4;sinxcosxx

2x4

3x

2

(4)lim

x

cos2x

2

3

(5)lim

(xh)x

3

h0

h

;(6)lim

x

，2x+3

\fx+I-2

3

2

(7)lim

xxxn

n

xsinxx1

x1

(8)lim

xsinx

x(9)lim

(10)lim(

131x

3

x1

1x

(11)lim(x2

sin

lx0

x

).

解：(l)lim

x331x3

x2

9

lim

xx3

(x3)(x3)

lim

lx3

x3

6

(2)lim(x25x4)0,lim(2x3)lx1

x1

2

lim

x5x4x1

2x3

0,即lim

2x3x1

x2

5x4

6

3

4(3)lim

6x44

x

2x4

3x

2

limx

0；2

3x

2sinn

(4)lim

sinxcosxcos

JI

x

兀cos2x

1;

2

cosn

3

3

(5)lim

(xh)x

(Xh)X(xh)2(xh)xx2

h0

h

lim

h0

h8

22

3x2；lim(xh)(xh)xxh0

(6

yjlx+3-3

Jx+1-2

)

7777

[(.v+1)-4](J2K+3+3)

lim

x3

lim

(2x3)92)

x3

2(x+3)(4+1+2)

(x-3)(417+3+3)

2(Jx+I+2)

Jlx+3+3

2

lim

x3

lim

n

x3

43

♦

(7)lim

xxxn

x1

2n

x1

lim

(x1)(x1)(x1)

x1

x1

2nIn2

lim1(x1)(xx1)(xxx1)x1

123

12

n(n1)；

(8)lim

sinxx

x

0(无穷小量

lx

与有界函数sinx之积为无穷小量)

lim

x

X2+X

sinxxsinx

1lim

x

sinx1；

sinxx

1

22

(9

./+X+ylx'_X

)limx

lim

1;

lim

x

x

(10)lim(

x1

11x

31x

3

)lim

(1xx)3

1x

2

2

x1

3

lim

xx21x

3

x1

lim

(x2)(x1)(1x)(1xx)

2

x1

lim

2

(x2)1xx

2

x1

1

(11)当X0时，X是无穷小量，sin

2

lx

是有界函数，

1

Oox

它们之积xsin

lx

是无穷小量，即limxsin

x0

2

习题2-5

求下列极限（其中a>0,aWl为常数）：

9

1.lim

sin5xx0

3x

;2.lim

tan2xx0

sin5x

;3.limx0

xcotx;

x

4.lim

x

\J\-COS.V

0

X

;5.lim

cos5xcos2x

x0

x

2

;6.limxx

1x;

x

7.lim13sinxcotx

x

x0

;8.lim

alx0

x

;9.lim

axa

x0

x

x)Inx

x

;11.lim32x

lx

10.lim

ln(lx

x

;112.limx22x

xx2;

13.lim

arcsinx

arctanx

x0

x

;14.limx0

x

解：1.lim

sin5x

5sin5x5sin5xlim5x31imx5x03x03x05x3；2.

1imtan2x1imsin2x21sin2xcos2xsin5x1im5x

x0sin5xxOx05cos2x2xsin5x

21sin51imlim2x1im5x2x0cos2x2x02x5x0sin5x5

3.limxcotxlim

xcosxlimx

limcosx1cosOlxOxOsinxxOsinxx0

yj\~COSA

，X

.2sin"—

Y2

石

x4.lim

x

lim

lim

sinlim

x0

x0

0

2

亘

A*

百

百

X0

X

2

sinx

2x

1

0

22

♦

2

2sin7xsin

3x

735.lim

cos5xcos2x

sinxsinx

X

2

lim

lim(2)73x0

x0

x

2x022732x2x

sin7sin3

212

lim

xx0

lim

x

217x

x0

32

2

2

x

x

X

6.limx

1liml1；xlimx1x

1XXX

(1Ixex)10

cosx

1

3cosx

7.lim(l3sinx)

cotx

lim(l3sinx)sinx

lim3sinx)3sinxx0

x0

x0

(1

1

lim(l3sinx)3sinxe,lim3cosx3x0

x0

1im(l3sinx)

cotx

e3

x0

8.令uax

L则xloga(lu),当x0时，u0,

ax

lim

lulx0

x

lim

u0

loglim

a(lu)u0

1

u

loga(lu)

1

1

lloglna.

limlogae

u0

a(lu)u

XX

x9.lim

aa

x

lim

(a1)(a

x

1)

limaxlax1

x0

x0

x

x0xx

x

lim

ala

x

1

x0

x

lim

x0

x

InaIna21na

(利用了第8题结论lim

ax

lx0

xIna)

；10.lim

ln(lx)Inx

lim

11xx

x

X

xIn

x

lim

Ixln(11)lim

lx

x

XX

limln(l

lx

x

)0；

x

XX

22x

11.lim32xlim11lim11

22x

X22xx22xx

22x

lim1

22x

e,lim

x

lx1

22xx

22x

2

x

1

lim32x2xe2；x

2

1

1

12.limll

2

x

In

1x2xl2

x

(1

x2)xlimx

x(1lim(1)x2

lim

xx

ln(l

1)

x

x2)

x

e

ex

2

lim

1

limlnd

lx

2

ex

xx

X

2

)

e

0Ine

eO

1;

11

13.令arcsinxu,则xsinu,当x0,u0,

lim

arcsinx

x

x0

lim

usinu

u0

lim

u0

Isinuu

1;

14.令arctanxu,贝ljxtanu,当x0,u0,

lim

arctanx

x

x0

lim

utanu

u0

lim

usinu

u0

cosulim

Isinuu

u0

limcosu1.

u0

习题2-6

1.证明：若当xfxO时，(x)f0,B(x)f0,且(x)W0,则当x-x0时\(x)〜

8(x)的充要条件是lim

(x)(x)

(x)

=0.

xxO

证：先证充分性.若lim

(x)(x)

(x)

xxO

=0,则lim(l

xxO

(x)(x)

)=0,

即1lim

(x)(x)

xxO

0,即lim

(x)(x)

xxO

1.

也即lim

(x)(x)

xxO

1,所以当xxO时，(x)(x).

再证必要性：

若当xxO时，(x)(x),则lim

(x)(x)

(x)

(x)(x)

xxO

1,

所以lim

xxO

=lim(l

xxO

(x)(x)

)=1lim

(x)(x)

xxO

1

xxO

Him

(x)(x)

110.

综上所述，当x->xO时，(x)〜P(x)的充要条件是

lim

(x)(x)

(x)

=0.

xxO

2.若B(x)W0,limB(x)=0且lim

xxO

(x)(x)

xxO

存在，证明lim(x)=0.

xxO

证：lim(x)lim

xxO

(x)(x)

xxO

(x)lim

(x)(x)

xxO

lim(x)lim

xxO

(x)(x)

xxO

00

即lim(x)0.

xx012

3.证明：若当xf。时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb),则f(x)•g(x)=o(xab),其中

a,b都大于0,并由此判断当x—0时，tanx—sinx是x的儿阶无穷小量.

证：:当x-0时，f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)limf(x)A(A0),limg(x)

xOxaxbB(B0)x0

于是：limf(x)g(x)limf(x)g(x)f(x

xOxabxOxaxblim)limg(x)ABOxOxaxOxb

・••当xfO时，f(x)g(x)O(xab),

Vtanxsinxtanx(1cosx)

而当xfO时，tanx0(x),1cosx0(x2),

由前面所证的结论知，tanx(lcosx)0(x3),

所以，当X-*0时，tanxsinx是x的3阶无穷小量.

4.利用等价无穷小量求下列极限：

(1)limsinaxcoskx

xOtanbx(bWO)；(2)liml

0x2；x

(3)limln(lx)；(4)lim

Jl+.K-1

Ox

y/l-A/14-COS.V

S+-1

Oarctanxaxbx

(5)limarcsinx；(6)limee

xOxOsinaxsinbx(aWb)；

(7)limlncos2x；(8)设limf(x)3

x2=100,求limx01ncos3xxOxOf(x).

解(1)limsinaxlimax

\J\+X-1

-5/l+COSX

\!\+X*-1

石

>/1+cosX

a.xOtanbxxObxb

(1-COSX)Vl+-V2+1

l(kx)2

(2)limlcoskxlim12

x0x2x0x22k.

(3)limlimx2.xOxOx

2

1

(4)limx2

y/\+COSX

1limlimx0

+X2

xOx

-J\+X2

x0x2limlx0

4

13

2(y/2+\J\+cos,v)

(5)lim

arctanxlim

x1.x0

arcsinx

x0

x

bx

ax

(6)lim

e

ax

e

1)(ebx

l)x0

sinaxsinbx

lim

(ex0

2cos

ab

xsinab22xe

ax

bx

lim

1lx0

2cos

abxsin

ablime

x0

ab

2

x

2cos

2xsin

ab22

x

lim

ax

lim

bx

x0

2cos

abx0

2xab2

x

2cos

ab2xab2

x

lim

a

b

x0

(ab)cosablimx0

2x

(ab)cos

ab2

x

aab

babab

ab

1.

(7)lim

lncos2xllnlim

In1(cos2x1)x0

cos3x

In1(cos3x1)

lim

cos2xx0

x0

cos3x1

1

(2x)2

lim

1cos2xlcos3x

limlim

4x2x010

9x

2

4x0

2

(3x)

2

x9.

(8)由lim

f(x)31002

x0

x

2

，及limx0知必有lim[f(x)3]Ox0

x0

即lim[f(x)3]1imf(x)3Ox0

x0

所以limf(x)3x0

习题2-7

1.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

(1)f(x)=x31,0x1,(2)f(x)=x,1X1,

3x,1x2;

1,x1或x1.解：(1)limf(x)lim(x3

1)1f(0)

x0

x0

・•・f(x)在x=0处右连续，又lim

f(x)lim(3x)2

x1

X1

limf(x)lim3

x1

1

(x1)2

xlim(x)limx1

ff(x)2f(l)

x114

・・・£a)在炉1处连续.

又limf(x)lim(3x)1f(2)

x2x2

・•・f(x)在x=2处连续.

又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续，综上所述，f(x)在［0,2］上连续.图形如下

图2T

(2)limf(x)limx1

x1x1

xHimf(x)lim1lx1

xHimf(x)limf(x)1f(l)x1

・・・£6)在卡1处连续.

又limf(x)liml1

x1x1

xHimf(x)limx1x1

故limf(x)limf(x)

x1x1

・・・£6)在朽-1处间断,x=-l是跳跃间断点.

又£&)在(，1),(1,1),(1,)显然连续.

综上所述函数f(x)在x=T处间断，在(1),(1,)上连续.图形如下

图2-2

2.说明函数f(x)在点xO处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联

系？略.

3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.15解：函数在

其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.x例如f(x)lx0,x0是其的

一个第二类间断点，但limf(x)limx0即在xOx0xx0

0处左极限存在，而liml

f(x)lim,即在x0处右极限不存在.xOx0x

4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：

2

(1)f(x)=x1

x2；(2)f(x)=sinxx3x2sinx；

(3)f(x)=1x1

x；(4)f(x)=x2

x24；

(5)f(x)=xsinl

x.

解：⑴由x23x20得x=T,x=-2

2

limf(x)limx1lim(x1)(x1)limx12xlx1x23x2x1(x

1)(x2)xlx2limf(x)x2

・・・x=-l是可去间断点，x=-2是无穷间断点.

⑵由sinx=O得xkn,k为整数.

limf(x)limsinxxlim(lx

xOxOsinxxOsinx)2

limf(x),

xk

(k0)

1

(3)f(x)(1x)xx0

1

(1x)XX0

1

limf(x)lim(1x)xe,xOx0

11

limx)lim)xlimx

f((1x[(1(x))]1elxOxOx0

・・・x=O是跳跃间断点.

(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.

limf(x)limx2liml,

x2x2x24x2x2

limf(x)liml1,x2x2x24

・・.x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.

16x

1(5)limf(x)limxsin0,f(x)xOxOx在x=0无定义

故x=0是f(x)的可去间断点.

值，使函数f(x)=ex

5.适当选择a,x0,在点x=0处连续.

ax,x0

W：Vf(0)=a,

limx)lim

x0f((ax)a,x0

limf(x)limxl,

x0x0e

要f(x)在x=0处连续,必须limf(x)limf(x)f(0).

x0x0

即a=1.

x

6派.设f(x)=limaax

xaxax,讨论f(x)的连续性

x2x1lx0

ft?：f(x)alimaaxaxaxalimaa2x1lx0sgn(x)

Ox0

所以，£&)在(，0)(0,)上连续,x=0为跳跃