微积分二8910章课后习题答案

练习8.1

3.解：⑴由于14x+y+144(x,y)wO

JJdcrK|j(x+y+X)d(j<||4Jcr

DDD

So"JJ(x+y+l)dbW4so(5。为。面积)

D

2<J|(x+y4-l)Jcr<8

D

22

⑵・・・94x~+y+9<13(x,y)GD

•••95/0"+"+9)加〈13打

D

36/r<||(_x-+y+9)dcr<52万

D

4.•.•对于(x,y)eZ),|x|+|y|wi

(|x|+|y|)2<1

即X2+y-41-2|盯区1

・•.Ml+ylw。

；./取负号。

练习8.2

1.据定理1,有

JJ7(x，y)db=fdx/f(x,y~\ly

D

JJ7(x，)')db=dx^f(x,y)dx

D""

所以等式成立。

2.(1版据累次积分，可得积分区域0:14x42,1WyW/,

将D写成分型区域：l<y<4,^<x<2

原累次积分=!J/(x,y)dcr=j*dy^_f(x,y)dx

(2)积分区域D为：OWyWl,

写成x型区域：04xWl,x2<y<x,

原累次积分=JJ/(x,y)dcr=^dx^2f(x,y)dy

DX

(3)积分区域D为：l<y<2,—<x<y

y

将D写成x型区域

Dl:^x<l,-<y<2

2x

D2：^x<2,x<y<2

原累次积分=/(x,y)dy+『dx^f{x,y)dy

2x

(4)积分区域D由DI和D2构成

Di：0<x<l,0<y<x

D2:l^x<2,0<y<2-x

D写成y型区域：0<y<l,y<x<2-y

原累次积分=/dy['f(x,y)dx

3.⑴原积分=fdxf(1+3/y+R

+3x3—+—kjx

11

+—X

(424J0

=1

y

⑵原积分=£可dy

(1+%2+/)'

]

=办2dx

="122节

+厂+y

]--d{y2+x2+1)dx

32

+x+y2yJ

1(1+x2+y2

dx

2

2

2IX

=£加7号!x利用第六章例23可得

：.原积分=ln(l+V2)-ln(l+73)

(3)原积分=J；dx「xcos(x+y)dy

=J；Hsin(x+y)]，dx

=£dx(-xsinx)dx=£xdcosx

xcosx|„-£cosxdx

=-sinx|jJ二一乃

(4)原积分=『dy£xyZx

一)2p

CP2-£p_

=LPy与上办'

r->n

4X237

2P=JL

=1>K--p-21

z8P?7”y=4-/一上8P引

4.(1)jJ<9Jf(rcos0,rsin0)rdr

rrl这8$e

(2)jJ/(x,y)JxJy=J^t/0J/(rcos^,rsin^)rt/r

D2

5(1)积分区域为：04x4R,0<y<7/?2-x2

将积分区域用极坐标形式表达：0W6W工，0<r<R

2

原积分=fd。f/(r2cos2e+r?sin29)rdr

⑵积分区域为：0<x<2/?,0<x<\2Ry-y2

积分区域极坐标表达形式为：0464卫，Q<r<2Rsin0

2

祀Rsin夕

原积分=Jr/(rcosrsin0)rdr

6(1)原积分=J(4-rcos-rsin0)rdr

=,(2〃：-coseg「-sineg|；)je

AK88

=j(8--cos-sinOyiO

『+

-167——sin。|cos6|E=16万

31

l-(rcos^)"一(rsin。厂,

（2）原积分=pd。--------------n-------------、rdr

3l-(rcos^)2+(rsin^)2

冗

---dt(r2=t)

arcsinz

2

-+yj\-t\'a丁丁1)=*2)

(3)原积分=ln(l+r2)rdr

兀

+r2)rdr

2

7t

7+r2)dr2

=^ln(l+r2)rf(r2+1)

=—fIntdt(厂2+1=t)

4」

=?(八时一,力)

jr

=：(21n2-1)

(4)原积分=ft/e『sin/rdr

=—「sinr2rdr

21

--fsinr2Jr2

4Jr

=—(-cosr2)|^=?(cos乃2—cos4乃2)

习题八

1.选择题。

(1)C(2)C(3)C(4)C(5)B(6)D(7)

B(8)A.B.C(9)A.B.C(10)C.D(11)C(12)B(13)

B(14)A(15)C(16)A(17)D(18)C(19)

C(20)A

92/X

2.(1)-/9<+4y-+9<25(x,y)eO

2

2

9SD<+4y+9)da<25SD

即36]<0(%+4y+9)<100万

DJ

⑵^-x+y2-1(x，y)e。

22

-l<In(x~+y)<0

j]In(x+y}da<0

D

JJ/〃(X?+y)dor<0

D

(3)•/0<sin2xsin2y<sin2ycos20=1

22

0<jjsinxsinyda<SD=K~

D

3.(1)yylc>=^dx£/(x,y)dy(先对y积分，后对x积分)

D

=J：dyJ：/(x,y(先对x积分，后对y积分)

(2)将D表达成x型：0<X<1,X<J<1

原积分=j'dx£f(x,y)dy(先对y积分，后对x积分)

将D表达成y型：0<^<l,0<x<y

原积分=fdy£f(x,y，x

(3)将D表达成x型：l<x<£,0<y<Inx

原积分=[dxf(x,y)/y(先对y积分，后对x积分)

将D表达成y型：0<^<1,^'<x<

原积分=1dy£J(x,y

4.(1)积分区域为：

表达成y型：£>(:0<y<p0<x<j

i]一,

原积分='dy£/(x,y+£dy['/(x,y

(2)第一项积分的积分区域Dj:0<x<l,0<y<,2x—J

第二项积分的积分区域。2:lWxW2,0WyW2-x

将两区域合并成区域D,将D表达成y型:

D:0<y<l,<x<2-y

原积分={dyf(x,y"x

(3)第一项积分的积分区域为£),:0<x<2,0<y<|

2

第二项积分的积分区域为。2：2<x<272,0<y<^-x

将D(由D和»构成)表达成y型：D

0<y<2,^2y<x<,8一：

原积分=/(x,y\lx

(4)积分区域D为：

0<x<1,VV«五

将。分成三个区域D，D，D；并将其表达成濯：

D：i<y<l,J2<X<1

£)2：0<y<1,yy

£)3：0<y<j,j+y/i~y<x<1

2yx

原积分=£dyf(x,y}lx+j2f(x,yylx+^-dyf^

5.(1)D:0<x<1x<y<5x

原积分=J；公£\x+6yby

山江+6•身卜

=£般+724=76.钟=当

(2)D：-l<x<0,-l-x<y<l+x

D、：0<x<1,x-l<y<i-x

原积分4M

-£e-e\-'-xdx+£'e''e'|dx

=J"{〜1)/x+J"(d)dx

r°2x+i.r0-i.r12x-i.r1.

=j।e4X-J]edx_je"'+J()

=i(e-7)-e'+e-i(e-e']=e-e'

D:j<x<y0<y<2

(3)原积分=J；dsj(12+y2_*,

_3_

-16

(4)0:0<y<l,0<x<y

原积分=W°"dx

6.(1)D:O<0<2TT,l<r<2

原积分=£J/(rcos0,rsin0)rdr

(2)将x=rcos6,y=rsin。,代入(x-D?+(y—1>=1

r2-2r(cos6+sin6)+1=0

2(cos6+sin8)±J4sin26

r=--------------------------------

2

=cos8+sine±Jsin2。

・•・积分区域。的极坐标表达形式为:

0<^<—,cos6+sin。-Vsin20<cos6+sin6+dsin20

eYrC~fcos6+sine+\/sin29

原积分=rd3p__/(rcos0,rsin0)rdr

JOJtos^+sin6>-Vsin2^

7.(1)将x=rcos仇y=sin/代入y=炉得

r=secOtan。(y=x?的极坐标方程)

。区域的极坐标表达形式为：0<^<—,0<r<sectan0

r-“If-rsecOtan。

原积分=

J(rcosJ)2+(isin6)

，sec6tan。

⑵根据7题⑴可知：^=/的极坐标方程为r=56（：见211。

£）区域极坐标表达形式为：046W—,sec6^tan^<r<sec^

eec。

原积分=/(rcos0,rsinO)rdr

8.(1)将x=rcos6,y=rsin代入Y+y1=x得

r=cos6(—+/=册极坐标方程)

D:--<0<—,0<r<cos0

22

兀________________

原积分=yjrcosO-rdr

n______2O乃

「y/^osOg|y=-JX(l-sin2B)dsin0

i〉5

2

=|(sin6>fsin而

-?3

将x=rcos0,y=rsin，代入y=9,r=secgtan0

积分区域D的极坐标表达形式为：

D:0<6><f,0<0<tan(9sec

原积分=^dO『'"Wrdr-J：sec6tan，

=sec6I=V2-1

9.(1)D:l<x<2,j<y<x

2

原积分=「dxj：毛〜

"，y

=1：X*@dx=fx2(-7+^

=f(-x+x%=(一年+不)|；T

(2)D:y-a<x<9a<y<3a

原积分=『可二3+y)公

=「(立+选•

,34

=L｛心3心—〃)]+”)dy

="|1中“+。兵

4

=14Q

)2

⑶将x=rcos。，y=rsin^,代入/~+y=/?x

r=Rcos6

ITTT

D:--<3<—,0<r<Reos0

22

原积分=/K-『rdr

~~1°

=£一纸

2Ish?例。+—1R3%

3-f3

=—R37l

3

2

10.D:l<y<44-y<x<4y-y

4y-ydx

眄4-y

D=J>J

--4+y}dy

5y_y._4)d)，=5^4-4

=9

~2

11.积分区域为D,OWyWl,y<x<l

将D表达成x型：0<x<l,0<y<x

clcr212.1

原积分=Jo公Jo,办'=5*；=”-1)

12.由于/(》,〉)=X>+“/(〃,v)dudv

D

两边二重积分

(1-S。)y)dxdy=^xydxdy+jj/(w,v)dudv•JJdxdy

DDDD

(1-5D)y)dxdy=^xydxdy

DD

5,，=卜2八=弄=；

^xydxdy=fdx[

D

2

5环dx=；fx5dx

j_L

2~612

;y)dxdy=^xydxdy=1

即J/"'，v)dudv=-

D8

/，、1

.•./(x,y)=xy+~

o

13.将。分成A，。？

在2区域和2区域为yzx2,在2区域y

所以/=Jj]y-x]dxdy

y-x2Mxdy+jj(x2-y)dxdy

D,D2

2r2

=fi，(2-x2)-与「2dx

-j(--x4)dx+f](2--—x4-2)dx

=f2x2dx-fx4dx-2fdx

J-iJ-iJ-i

46

=------

15

14.将。分成2(x+y=)的右上方)和。2(尤+y=加的右下方)

1=JJ[—sin(x+y)]Jxdy+JJsin(/+y)dxdy

4。2

r"产.严严一*.

=一])"']sin(x+y)dy+]dx]sin(x+y)dy

=-£[-cos(x+y)]忆4dx+£[-cos(x+y)|/

=2»

15.将区域。表达成y型

1<y<2,y<x<y2

原积分=^dy/sin券dx

2y，71XI2,

----cos——vdy

7i2yy

2/Jiy兀

——Iy(cos----cos—)dy

九522

4「)

rlydsin

乃52

4/.12f2JI

二(y失九sin,ydy)

4242

=—r(-l—)=—(1+—)

7l~717c71

16.用直线y=x将D分成DI和D2

原积分=JJ(y-犬近力+jj(x-y\lxdy

DID2

57t

二g16,(rsin6-rcose)-dr+£汗1夕rcosO-rsin0)rdr

44

5”3n3

『(sin夕-cos6)gLde+(cos0-sin0]—|o(10

4^3

151n

=-F(sin6-cos6)je+-g(cos6-sin6*6

3434*

55re兀

=-[(-cos^)f-sin^^]1。41

+一sin。(+COS_3£J

DA4A434~T

3

17.D:04y42,-2<x<-

原积分=f)ydx

2y-jT+21)'

y，2y_y-dy+4

令y・l=cos。,原式=()(1+cos8)sin。(-sin。”。

[sin20dO+[sin20cos0d0

=£--c；2®d°+£sin2Odsin0

1

=一汽

2

所以原积分=4」乃.

2

18.D区域边界为12+>"=尢+)+1即(x—g)+(y

A11

令x-§=u,y--=v

原积分=+g+v+D:，+/=|

=[|]w+—+v+—\iudv

收22y

令u=rcos^,v=rsin^

f3

原积分二「de『(rsine-rcos0)rdr

注意到cos0d0=0,sinddO=0.

所以原积分==34.

19.由二重积分中值定理得

y）dxdy=/（£,〃）S。（&〃）e。

D

又D是d+y'L围成的区域。所以乱尸万广

故lim」TJj/（^y）dxdy

r->0兀yD

r->071y

=lim/（&〃）

r->0

•.•r—0D区域趋于一点所以（£,〃）7（0,0）

原式=f（0,0）=0.

2

原式=lim

.r->0_x_

l-e4

=lim2\

x->0X

4

(-W’

=lim(2\

XT0x■

4

/

2Jdt

=limM

x—>0X

X2

2=j°vp

令v=t--|2dtte~dv=-e~'dv

22-

[2]dv

•••原式=limL^—

.DX

(户/dvy

=lim

10X

x

=lim

x->0

=4

21.由于Jdxdy>0（对任意定义4）

D为图中所示区域将上式展开得

dxdyLi2+2(b-a)2A+^f(x)dxdy>0

)D

不等式左边是关于4的二次式，该二次式对任意X大于零，所以二次式判

别式满足

4(b-a)4-4p<0

~^y[dy[j\xylx<Q

(b-a丫-1M

(b-a)4-(b-af-dx^d^f(x)dx<0

>(b-aJ

21.和22题图

22.

由于。[/(*)+而3Ydxdy>0

（对任意定义2）

D为图中所示区域将上式展开得

JJg2(x)dxdy22+(2+^f2(x)dxdy>0

\D7DD

上式对力恒成立。所以二次式判别式必小于或等于零。即：

(\2

4JJ/(x)g(x)dxdy-4jj/2(x)dxdy)JJg2(x)dxdy<0

\DJDD

[fdxf/(x)g(x^y了wfdxf/2(加f"xfg2^x\ly

伍-a)2([/(x)g(xMx)2<(b-a)2ff2(x)dx[g2(x)dx

(f/(x)g(》如)*f，2々"xfg*々Mx

练习9.1

L指出下列微分方程的阶数：

解：⑴一阶⑵一阶⑶一阶⑷二阶

2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解，并指出哪些是特解哪些是通

解。(C,C；,C2为任意常数)

解：(1)不是解(2)特解(3)通解(4)不是解

3.写出以下列函数为通解的微服方程，其中。,的,6为任意常数

解：⑴直接求式子求导，可得缶-卢卜+产=0

(2)直接求式子求两次导,可得y〃+V-2y=0

练习9.2

1.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：

⑴解：4=cosxdx

y

两边同时积分

11

---=sinx+c=>y=---------

ysinx+c

小积分c，

(2)解：一=2xdx=>\ny=x2+c=>y=c-ex

y

(3)解法一:

dx-dy+d(x>?)=0=>]一)，+孙=c

n(x-l)(y+1)=c或(1-x)(l+y)=c

解法二：

dydxA,„,

-^-=-—令〃=l+y,J=l-x

1+y1-x

—=--=>ln7=ln—+c=>7=—=>(1-x)(l+y)=c

n&J4

r3232

(4)解：x(l+x)dx-y(l+y)dy=0=>—+--------=c1

32

=2x+3x-2y3-3y2=c

(5)解：e\ey-X)dx+e\ex+l)dy

=>-e'dx+eydy+ex+y(dx+dy)=0

ney—e'+e'+'=c

n(，一l)(e*+l)=c

x(O)=f,令r=0

dx4

(6)解：----=eldt=>tanx=el+c=>1=1+c=0=>c=0

cosx

故tanx=e,尤=arctane1

(7)解：ydy—dx=>—=ln(l+r)+c

1+e”2

令冗=1,由y(1)=1=>g=ln(l+e)+c=c=；—ln(l+e)

故y2=2ln(l+/)+1-2ln(l+e)

(8)解：—+=0=>Inlyl+arctanx=c

y1+x1

jr-rr

令x=l,由y⑴=1得0+—=c=>c=—

44

故ln|y|+arctanx=—

2.求下列各微分方程的通解或特解：

(1)解：虫=上•令"2n空=x也+„

dx2_]xdxdx

x

duuL/c八i

=x——+〃=----=>—ln(2w-u)=Inx+G

dxu-\2

=>2u-u2=c-x2=>2xy-y2=c

(2)解：令〃=2则x也+〃=2&+〃

xdx

dudxriii

--r==—，y/u=In|x|4-c

2“x

u=(ln|x|+c)2=y=x(ln|x|+c)2

(3)解：令〃=)=>%+u—u—J1+〃2=0

xdx

=>]"=—=>ln(w+Jl+[J)=Inlxl+c,

Vl+W2X

=〃+Jl+.2=ex=y+yjx2+y2=ex2

(4)解：,x-=sinu=>Intan—=ln|x|+c

xdx2

令=xl,〃=C

2

=>lnl=lnl+c=>c=O

=〃=2arctanx=>y=2xarctanx

(5)解：令u=—贝ij—=y--+u

ydydy

du1-3w2du1-5〃2

化简得y---+〃=------=>y---=------

dy2udy2u

然斗=-川-5“=1巾|+c

令x=0则y(0)=l,z/(O)=0得c=0

故(1-5〃2)=二=>y5-5x2y3=1

y

(6)解：生=」，令〃=上

x

dxZ+1

x

iduu—1du—1—u~

贝mi!]u+x——=----=>x——=-------

dxw+1dxl+w

(l+u)dudx1.L

=>--------=—=>——lnl+〃2|-arctanw=ln|^|+c

(l+w2)x21

令x=1,则)>⑴=0,M(1)=0,得，=0

一;ln(l+〃2)-arctanu=ln\x\

2,2

故=>IniT+2arctan—=-21n|%|

xx

=>ln(x2+y2)+2arctan—=0

x

3.求下列微分方程的通解:

(i)解：虫=-2-1

=—3HO

dxx+2y-l12

-2x-y—l=0x=-1.x=^-\

n°「令

x+2y-1=01外=1J=〃+l

则也令

延4+2〃J

44,„JW-2-u1+2〃

故+”=------=>-------------7

1+2〃一2—2〃一2〃~

—ln|-2—2u—2w2|句咽+

21

n2(1+“+〃2)n自2+潸+/=c

2

=(x+l)2+(x+l)(y-l)+(y-1)=q

即：x2+y2+xy+x-y=c

7-3

(2)解：空=7x3y7、==40。0

dx-3x+7y+3-37

7x—3y—7=0%=1x=£+l

=>故令＜

一3x+7y+3=0Vo=°y=n

令〃，

dn_7g_3〃&„du7—3u7〃-3du*

得=>〃——=>-----7

痣一_3g+7〃苣-3+7〃7-7M2

=>——ln|l-w2积卜味|+

21

3

52

」+吁r

k1-WJ=>(1+(li)，=—

n(〃+"(…丫=c

=>(x-y-l)“x+y-1)'=c

dy_-x-y-l-1-1

(3)解:A0

dx2x+2y-l22

dzz-1z-2

令z=x+y区1+2z-l-2z-l

2z-l

dz=dx=2z+31nlz-2|=x+c

z-2

即x+2y+3\n\x+y-2\=c

(4)解：金=一中型A=0

dx-x+y+5

dz[z+1-4

令z=y-x—=-l+----

dxz+5z+5

Zu4

(z+5)dz=-4Jx=>—F5Z=-4x+c=>+5y-x=c

2

4.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解:

(1)解：利用函数变量法：令p(x)=lQ(x)=e-，

-\p(x)dxr\p(x)dx

y=eJJQ(x)eax+c

=^-A[je-v-exdx+c\=e~v(x+c)

(2)解：y=e^~dx(14x-e~xdx+c)=e~~x(14x-e2xdx+c)分部积分

=e~2x\e2x(2x-l)+c]=2x-l+c-e~2x

(3)解:y=jcos?xe3nMdx+c]=-[Jcosxe^^dx+c

1r.,1rl+cos2xj】xsinxc

=----[rcos3dx+c]=-----[r---------dx+c]=-------+-----+-----

cosxJcosxJ22cosx2cosx

(4)解：尸，含丁卑/含'"0]=」一[藤3+8=一一+坐

Jx-1X—1JX-1X-1

⑸解:虫+匕?+1=0

dyy

Ff/V

故x=e?[f(-l).3.^+c]=卜/孽+可

1

=y2-ey[-ey+c]=-y2+cy2-ey

(6)解:&==-ln(3x+1)=ln(r+2)+c

3x+1f+23

令t=O,x(O)=O,得c=-ln2

11

故(3x+l)3=/Q+2)

(7)解：y=ex[

2

令x=2,设y(2)=l即1=上上£=>c=2-/

2

(8)解：y=e匕7%|■也士2jEdx+c]=jL-[心@二上上■dx+c]

Jx-lx-lJx-1X

=-^[j(2x-l)Jx+c][x2-x+c]

x-1

令x=2,y(2)=44=2x(4-2+c)=>c=0

故y=x?

5.求下列方程的通解:

⑴解正

令z=x"则出=一4也

dyxdy

虫=_j=_”_y3

dyx

z=e>yJ-dy+c]=e=[f-y3-e^dy+c]

y2y2

=e耳[-eT(/-2)+c]=-(y2-2)+2

_yi

即：x(c,e2-y?+2)=1

⑵解：令z=y3则上=-3广电=3・Z-3/

dxdxx

卜dx+c]=x3[-j^-dx4-c]

z=e

=x3(-31nx+c)即x3y3(c-3Inx)=1

⑶解:M=X-殳令Z=x2则丝=2x虫

dyxdydy

—=2x2-4y=2z-4y

dy

故2=©'孙[卜4y•eR"dy+c]

x2=e2y[j-4ye~2ydy+c]=e2y[e~2y(1+2y)+c]=ce2y+l+2y

(4)解：令z=，

X

dz1dx

—=--2—=~^yz-y

dyx"ay

z=e卜”[J(一y)J+c[=e;[_Jye2Jy4-c]=e2+c]

1-宜1

—=c*e2—

x3

练习9.3

1.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解:

⑴解：给出其特征方程万_4=0故2=±2

2t2x

其通解为y=c,e+c2e-

⑵解：特征根分别为±3i

故其通解为：y=C]cos3x+Qsin3x

(3)解：特征根为：4=0,4=4

4x

故通解为：y=c,+c2e

n

(4)解：4=1，4=2y=c,e'+c2e

x

(5)解：4.2=T(二重根)^y=e(q+c2x)

X

故y=e2©

3x

(7).4=2,Z>=3故y=C]/'+c2e

11

.厂…n'故y=#

1=2C]+3c2。2=0

0=C,.,二

(8),2=3(二重)y=e3x(c,+cx)故y=2xe3x

22=g

2.求下列微分方程的通解:

⑴解：齐次方程的特征根：4=3,4=-1

故齐次方程的通解:y=c/，+C2I

令其特解为：丫=人小,代入原方程得A=L

5

+4

故丫=。*+c2e~'^'

(2)解：4=2,4=一1.2为特征根

故令其特解为：y=x-e2x-/l

y=(A+2Ax)e2x

y"=(4A+4Ax)e2x

故4A+4Ax-A-2Ax-2Ax=1

3A=1=>A=-

3

2xx

故y=G+^)e+c2e~

(3)解：42=±2iw0故令其特解为：y=A+Bx

代入原方程：A=1,B=1

32

Sky=c,cos2x+c2sin2x+2x

(4)解：4=2,%=3w5令特解为：y=(Ax+B)e5x

21

代入方程解为：A=^,B=-4

318

o1

3r5x

故y=c/x+c2e+(-x-—)e

(5)解:九=1(二重根)令特解为：y=x2(Ax+B)^

2

代入原方程：A=|B=-—

O18

x2x制

故y=C]/+c2xe+xe

(6).4=0吐=10为其一重根故令特解为：y=x(Ax2+BA：+C)

代入方程解为：A=-l,B=0,C=l.

x3

故y=5+c2e-x+x

(7).4,2=±2z,令其特解为y=x(Acos2x+Bsin2x)

代入方程解：A=O,B=1

2

尤

故丫=《cos2x+。2sin2x+5sin2x

(8)42=笞电=1±2»为其特征根