力学与结构课件幻灯片六

第7章

压杆稳定

目录.ppt压杆稳定的概念临界荷载和临界应力压杆稳定性的实用计算提高压杆稳定性的措施习题本章内容

教学要求：熟悉压杆稳定的概念，能够区分稳定平衡状态和不稳定平衡状态；掌握三种杆端支承情况细长压杆的临界荷载及临界应力计算。掌握对受压直杆进行稳定校核和截面选择的方法；了解临界应力随压杆柔度变化的临界应力总图，了解提高压杆稳定性的措施。建筑结构中受压构件的应用十分广泛，如：桁架结构、网架结构中的腹杆和上弦杆，框架结构中的轴心受压柱，都是受压构件。按压力作用位置不同，分为轴心受压和偏心受压两类。工程中常把轴心受压的直杆称为压杆。本章主要介绍压杆稳定的基本概念、三种杆端支承情况的细长压杆的临界荷载及临界应力计算、受压直杆的稳定校核和截面设计以及提高压杆稳定性的一些措施。压杆稳定的概念当压杆的长度较短时，只要满足强度要求，构件就不会发生破坏。但对于较长的轴心受压杆件，仅满足强度要求还不够，还必须验证构件的稳定性，否则，可能会造成压杆的失稳破坏。所谓压杆失稳，就是指构件在发生强度破坏之前，由于杆件比较细长，在一定的压力作用下，构件不能保持稳定的直线平衡状态而失去承载能力。压杆失稳破坏在实际工程中会造成很大的危害，小则使结构发生局部失稳，大则会引起结构的整体坍塌，造成生命和财产的巨大损失。因此，我们必须正确认识压杆稳定问题。现结合图7.1来说明压杆稳定的概念，所谓压杆稳定，就是指压杆所处的平衡状态的稳定性。对于一根处于轴心受压状态的细长直杆，当力P较小时，杆件保持直线平衡状态(如图7.1(a)所示)，如果在垂直于力P的方向上轻推一下压杆(即给一横向干扰力)，它会产生微小弯曲(如图7.1(b)所示)，当干扰力撤去以后，杆件又恢复到原来的平衡状态(如7.1(a)所示)，这时的平衡状态是稳定的，压杆处于稳定的平衡状态。图7.1压杆稳定平衡状态当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于细长杆的原因。如果没有考虑到压杆的稳定问题，仅按照强度破坏来计算压杆的承载力，可能会造成严重的损失。1907年北美洲加拿大魁北克圣劳伦斯河上的一座548m的铁桥，在施工的过程中由于悬臂桁架中一根受压弦杆突然失稳屈曲而倒塌；2001年上海龙门起重机安装过程中由于刚性牛腿的受力失稳发生倒塌事故，造成36人死亡，直接经济损失8000多万元。因此，压杆的稳定性对各类结构都是非常重要的，要保证压杆的正常工作，还必须对它进行稳定性计算。图7.2压杆不稳定平衡状态压杆稳定的概念临界荷载和临界应力一、临界荷载1.材料的连续、均匀、各向同性假设由7.1分析可知，当轴心受压力P<Pcr时，构件处于稳定平衡状态，不会发生失稳破坏，当P>Pcr时，构件处于不稳定平衡状态，往往会发生失稳破坏。因此，压杆的破坏形式是失稳破坏还是材料强度破坏，主要取决于特定力Pcr，我们称Pcr为压杆的临界荷载。临界荷载的大小受很多因素的影响，1744年欧拉最早推导出两端铰支情况下的压杆稳定临界力的计算公式，即欧拉公式：式中，E为材料的弹性模量，I为压杆截面惯性矩，EI为压杆抗弯刚度，l为压杆的计算长度。由式(7-1)可以看出，影响临界荷载的因素有压杆的材料特性，截面几何形状和压杆长度等。在前面章节的学习中可以知道，对截面完全相同的梁，两端固定的梁比简支梁承受的弯矩要大，同理，对同一根细长压杆，两端的约束越强，压杆的轴心受压承载力越大，因而，压杆两端的约束条件对压杆的稳定临界力也有很大的影响。为了考虑这种影响，我们将欧拉公式进行修正，使其适用于各种支承情况，修正的欧拉公式为：(7-1)(7-1)式中，l为压杆的实际长度。μ为长度系数，μl为压杆的计算长度，其他参数同式(7-1)，长度系数μ的选取见表7-1。表7-1压杆的长度系数μ临界荷载和临界应力表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定值。值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时，公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小值。

【例7.1】计算两端铰支情况下的欧拉临界力。如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服点应力σs＝240MPa，杆长l＝3600mm。(1)试求该杆的临界力Pcr；(2)计算屈服力Ps。解(1)计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：压杆应在刚度较小的平面内失稳，故取临界荷载和临界应力由表7-1查得μ=1。将有关数据代入式(7-2)即得该杆的临界力：(2)计算屈服力：由以上计算可知，压杆的屈服力为压杆稳定临界力的5倍多，可见细长压杆在发生强度破坏之前，首先会发生失稳破坏。临界荷载和临界应力二、临界应力为了消除截面尺寸和形状对临界力的影响，与杆件的强度验算相似，压杆稳定验算也常采用应力来表示，压杆在临界力作用下横截面上的平均压应力即为临界应力，通常用σcr表示。在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力即为式(7-2)两端除以杆件的横截面面积A，即临界应力为：由截面图形的几何性质可知，截面的回转半径，将其代入式(7-3)得：令(7-3)(7-4)(7-5)临界荷载和临界应力则得细长压杆临界应力公式：(7-6)式中，λ称为压杆的柔度，是一个无量纲的量。它包含了压杆除材料性质(E)以外的所有截面几何性质、长度和杆端约束情况等因素在内的几何参数，因而是压杆稳定计算中的一个重要参数。由式(7-6)可见，λ愈大，即杆愈细长，则临界应力愈小，压杆愈容易失稳；反之，λ愈小，压杆就愈不易失稳。由式(7-5)知回转半径i是影响λ的主要参数，在截面面积A相同的条件下，采用不同形状的截面，其截面惯性矩I就不同，因而回转半径也不同，惯性矩越大，回转半径就越大，柔度系数越小，压杆的临界应力就越大，因而，在其他条件相同的前提下，截面惯性矩越大，承受的压力就越大。

【例7.2】试计算例7.1中压杆的临界应力。临界荷载和临界应力解(1)计算回转半径i：(2)两端简支情况下压杆的临界应力：临界荷载和临界应力三、欧拉公式的适用条件前面已述及欧拉公式适用于弹性稳定问题，即当(材料比例极限应力)时才成立，由此可得的适用条件为：令 则 式(7-8)是欧拉公式适用范围的柔度表达形式，表明只有当压杆的实际柔度λ大于或等于界限值λp时，才能用欧拉公式来计算其临界应力和临界力。显然，λp是应用欧拉公式的最小柔度。(7-8)(7-7)临界荷载和临界应力压杆的实际柔度λ随压杆的几何形状尺寸和杆端约束条件变化，但λp是仅由材料性质确定的值。不同材料的λp可按式(7-7)计算。以A3钢为例，取其E＝200GPa，σp＝200MPa，代入式(7-7)得即由A3钢制成的压杆，只有当实际柔度λ≥100时，欧拉公式才适用。四、临界应力总图由上节可知，当λ≥λp时，压杆的临界应力用欧拉公式来计算，当λ＜λp时，其计算公式因柔度不同而不同，根据其变化规律，将压杆分为大柔度杆、中柔度杆和小柔度杆三类：当柔度λ≥λp时，称压杆为细长杆或大柔度杆。满足欧拉公式的适用条件，压杆将发生弹性失稳破坏，其临界应力用来计算。临界荷载和临界应力当压杆的柔度λ＜λp，但大于或等于某一界限值时，称为中长杆或中柔度杆。对于中长杆，其临界应力已超出比例极限，欧拉公式不再适用。这类压杆的临界应力需根据弹塑性稳定理论确定，但目前各国多数采用以试验资料为依据的经验公式。常用的经验公式为直线型经验公式：(7-9)式中，a、b为与材料性质有关的常数。具体取值见表7-2，λ为压杆的实际柔度。表7-2直线型经验公式的系数a、b临界荷载和临界应力直线型公式(7-9)也有其适用范围，即压杆的临界应力不能超过材料的极限应力，即对于塑性材料：令λs是塑性材料压杆使用直线型公式时柔度λ的最小值，也就是说，塑性材料的直线型公式的适用范围为：对于脆性材料，将式(7-10)中的σs换成σb，λs换成λb，可以确定相应的λb，得到脆性材料的直线型公式的适用范围：(7-10)(7-12)(7-11)临界荷载和临界应力例如45钢，其σs＝354MPa，a＝578MPa，b＝3.744MPa，代入式(7-10)，得：即由45钢制成的压杆，当其柔度60≤λ<100时，才可以使用直线经验公式。当压杆的柔度时，称为短粗杆或小柔度杆。这类压杆是由于截面压应力到达材料强度而发生破坏。故其临界应力就是屈服强度或极限强度，即σcr=σs(或σcr=σb)。综上所述，压杆的柔度不同，其临界应力的计算公式也不同，当λ≤λs时，压杆不会发生失稳破坏，不必进行稳定性验算，直接进行受压强度验算。当时，构件应力超过比例极限，在塑性状态下发生失稳破坏，不适合用欧拉公式进行验算，采用公式(7-9)进行计算。当时，构件应力小于比例极限，破坏形式主要为失稳破坏，用欧拉公式进行验算，即。临界荷载和临界应力根据上述有关公式，可做出压杆临界应力随柔度变化的曲线，即临界应力总图，如图7.4所示。由图可见，压杆的临界应力随柔度的增大而减小，表明压杆愈细长，愈易于失稳，临界力就愈小。图7.4临界应力总图临界荷载和临界应力

【例7.3】三个圆截面压杆直径均为d＝200mm，材料为Q235钢，E＝200GPa，σp=200MPa，σs＝235MPa，各杆两端均为铰支，长度分别为l1＝6m，l2＝4m，l3＝2m。试计算各杆的临界应力和临界力。解(1)有关数据：查表7-1知：μ＝1，查表7-2知：λp=100，λs=61.6。(2)计算各杆的临界力和临界应力。l杆：。属细长杆，用欧拉公式计算，得临界荷载和临界应力2杆：。属中侮长杆，什用直线塌公式计乒算浴如编下：3杆：。属厘短粗窃杆，挨其临丹界应磁力为尾材料巨强度揪，即况：临界决荷载剃和临歪界应取力压杆傅稳定诸性的金实用赛计算由上述里各节可舒知，只励有当压能杆的工括作应力溉小于临奋界应力薄时，压季杆才能凶保持其叠稳定性迈，即：而在实坛际工程茫中，很扎多压杆颠不可能纳处于理盗想的轴牺心受压鹅状态，抖或多或尽少有些杂偏心，课同时，受两端的丛支承情阿况，材达料本身云的缺陷猴，都会少导致临招界应力乎的降低笔，因而吵同强度盯验算相躬似，进计行稳定树计算时能要把临渔界应力的除以安怪全系数K，得敢到容乔许临庭界应袍力[σcr]，即刘：在工程光实际中慌，为了上简化压符杆的稳概定计算位，将变蹈化的稳蓝定容许余临界应裤力[σcr]与强贤度容绩许应屡力[σ平]联系芳起来碎，得张到其桨实际演的计亩算公陶式：(7-德13)(7-得14)式中，φ为折减踏系数，困它是个其随杆件宴长度、屑回转半井径变化德的量，来为简化初计算，禽它的计侮算已被杀汇列成灯表(见表7-3搅)，在计石算中，偷只要求羡出长细六比λ，根迹据表罪格即扯可查许出。净基于解以上絮分析魂，对育公式(7到-1练3)进行修极正，得垃到进行贤压杆稳舰定验算禁的实用娇公式：该式即刺为压杆醋的稳定拍条件。语其中对话不同的贝材料的φ可由表7-3查到，安如果表冻中没有嫁相应的λ值，旅可查捎出与餐它最纱接近茎的两宁个值懂，然唇后用演线性宜插值奶的方县法求嚼得。分析糊式(7-益15)可知铲，利粪用压政杆稳来定条殃件，赢可以喇对压絮杆进储行以吗下计掘算。(7曲-1绸5)压杆稳来定性的腿实用计断算表7-古3折减系餐数φ压杆撕稳定覆性的很实用糊计算1.稳定校蛋核假如已密知压杆粥的截面安形状和兼尺寸，跪杆件长板度及支览承条件腥，杆件墙的轴心聪压力P，根容据公削式(7-驳15)即可以帖验证压驰杆是否昌会发生瓶失稳破逆坏，即渐验证其耳稳定性泼。【例7.4雪】如图7.衬5所示续的两棕端固赔定的黎圆形驻截面电的混票凝土忘柱，断其长l=偶4.启5m，截丹面直穗径为20扮cm，已卖知混跳凝土泛的抗府压强灵度f=杨13携.5数MP吴a，承受势的轴向桃压力P=先10号0k维N，试校验证粮其是汗否安谢全。解(1兆)计算漫截面忌面积红、惯虹性半赞径：(2比)求柔度安系数：查表7-克3中混凝桌土的φ值，他按线置性插厌值计编算得：压杆镰稳定抛性的谊实用稿计算(3)校核待稳定只性：即该标混凝稻土柱顺不会盼发生有失稳议破坏。2.计算怪压杆逼的承位载力绕(求零容许良荷载)假定已叨知杆件嘴的几何属信息(截面尺江寸、杆撤件长度沈及支承渗情况)、材仅料特布性时件，可宰将公门式(7-演15)变换却如下误：(7翅-1羡6)由此巧可以樱计算界压杆泳在保判证稳曲定的赖前提硬下，间能承哥受的值最大艺轴压罗力[肝P]昆，当喂外加盐压力凉小于逮[P印]时悠，构喘件不粉会发邪生失调稳破迈坏，住当外晒加压昌力大唐于[从P]傲时，斤构件巩将发口生失蓄稳破晨坏，厉因而症[P尚]又减称为原压杆壁的临坑界荷俩载或握容许父荷载姑。压杆稳嗽定性的削实用计惹算3.对压杆或进行截己面设计假定已渐知压杆雷的支承喜情况，余杆件长短度，材食料特性播及所承遭受的实糊际外加杆荷载，弯将公式蚀(7-台15)俭变换如腹下：(7-旷17)由此可雷以计算骂压杆在仇保证稳直定的前希提下的别最小截奏面Amin，在对梳压杆进傍行设计云时，一秆般采用幼试算法胜，由公唉式(7南-17测)可知美：要确柜定压杆沟的截面危面积，堂首先要衬知道压始杆的长嘉度折减膛系数φ，由表删7-3闭可知，秀在构件祝长度一穗定的前狠提下，宣必须预遍先知道鸣截面的捆回转半皇径，因凶而，首赞先根据箭经验假挎定截面忆面积A1，计算晌回转半番径i，从而泼得到折汽减系数φ1，再湖用式幕(7撑-1猴7)银计算鸽A，棍通过狼比较宗A与乖A1，再重司新假定刚截面面沸积，重毯复计算附，直至筑满足误豪差要求茫。【例题7.5乎】两端恼固定乏的工脏字钢(Q2原35)柱，长4m，轴向英压力N=3仇50k贼N，试秧对支婶柱进形行截菜面设奸计。解故由曾截面设灵计公式捆知，扎首先选缎择折减桨系数，义可以假庄定一个φ值，吴也可唤以假改定一骗个截服面面茧积，唱本例灵题先追通过忍压杆凭强度京验算般初定居一个倒截面利尺寸仓，然享后再僻进行彩试算滴。压杆彻稳定封性的芳实用卡计算压杆度稳定肉性的律实用领计算首先按锤强度验弱算计算摸初始面档积：查附表14-嫌2型钢表礼可知12非.6号工锣字形伍钢的邻面积晌为A=1抗8.1墙cm2，最小续回转半劝径i=1远.61本cm代入柔烘度系数碧计算公寨式中，须得：查表7孕-3，预用线性叨插值法恳计算得压杆稳刚定性的厦实用计局算这同窄初定兔的A海=1议8.均1c搅m2相差般太大挖，假缝定取查附表14-临2可知18号工逐字形择钢的钥面积胖为A=宗30径.6妇cm2，最铺小回遇转半晓径i=惜2.席0c冶m，则，折减系论数，且比较计布算结果A=吹27芽.0并cm2与假披定面沃积A=2乓7.6炮cm2相差微穗小，显壮然，选18号工冈字形止钢，A=3坦0.6葵cm2可以满企足压杆具稳定条皱件，且瘦与计算迟面积A=鼠27高.0玩cm2最接近剖，18号工字孝形钢最躲合适。进行逮截面治设计磨时，铲可按怠以下赵规律箱进行赏：若谊某次蓬循环于计算老出的双面积旺比假回定面虏积大围，则畜该计饮算面政积比纱实际蜓所需星的截车面面件积要哈大。制因此跪，可原取假笋定面炼积和债计算钢面积粪的平揉均值句再进坡行试鸟算，铺这样碧可以庭减少纽奉试算垃循环剂次数哈，尽到快得费到所非需最屈终结章果。提高芒压杆械稳定摩性的花措施由上牲节可铲知，哪根据星公式拌可对兴压杆通进行雷稳定凡性验取算，忌若不厌能满叼足稳约定性石时，核就需汇要采抢取一爱些措翠施来息提供奴其稳哲定性绣，另期外在桐进行彩初步浊设计峡时，率往往长没有谨确切俗的荷季载值期，因形而定仅性地康判断啄和提薯高压腹杆的境稳定步性尤妄为重咳要，详合理絮地选冶择截岩面形疼式和砌确定挨结构绸方案贪，有眼助于想达到提经济幕合理帖的目惧的。狭因而满我们汪从下灶列几喷个方傅面来备分析从如何层提高捐压杆赤稳定拨性。一、改变粗材料胆特性对细长漏杆，临宽界应力咏为读。压杆高材料的E愈大，挖其临界盖应力愈者大。故画选用弹五性模量夸较大的绘材料，竹可以提如高压杆母的稳定刘性。对窜混凝土岸材料，孩可以通包过提高悦混凝土授的标号甩来实现班，但各插种钢材蜓的弹性卸模量E比较相恐近，约罪为21羡0G雁Pa，故选赖用高强壶度钢并塘不能起跨到提高名其稳定征性的作萝用，因踩而可以词通过其蜡他措施宰来提高欧稳定性努。对于谜中长杆偿，由临叼界应力父的经验腊公式可纤知，材泼料屈服瓦强度或暴极限强晴度的增宵长可引伸起临界隶应力的勿增长，博故选用湖高强度旗材料能块提高其裁稳定性贡。对于兴短粗杆撕，本身斜就是强假度问题崭，选用阿高强度奶材料当竞然可提难高其承弹载能力畅。提高压仆杆稳定蝇性的措效施二、改善杆尝端约束凭情况当材原料选架定时组，压掠杆的威临界此应力李随柔身度多的急减小尼而增计大。栏由柔屿度的枣计算听公式楼可知雷，压剥杆的设长度畜系数左越小驱，柔警度就众越小谋，临鞭界应店力就寄越大阳。由欺表7-捷1可知，勒杆端约执束越强饮，长度低系数就差越小，惰因此，秩在条件科允许的袖情况下祥，可将接两端简得支的约嫁束情况仆变为一抖端简支张、一端载固定的水约束情恶况或两伐端固定勺的约束织情况，拔即可以并提高压业杆的稳糟定性，祖又不会毅过分增先加工程导造价。三、减小骨压杆妻的长斥度在无法迫改变压修杆两端员支承情耗况时，袭减小压平杆长度l，可以界有效地酷提高其盗稳定性朝。如图7.5咸(a)所示两刃端铰支岭的细长早压杆，冶若在杆旋的中点弱增加一汗铰支座星，则变肿为如图7.5仆(b)所示的槽情形，炉由欧拉谊公式可夏知，图7.6涉(a)所示的扔压杆的慈临界力为谁，罪图7.薄5(稍b)所示哭的压缘瑞杆的搏临界所力为，显敞然，部在压想杆中强点加矮一支纽奉承，临界力今变为原怨来的4倍。图7.5减小压压杆灾长度四、选择合畅理的截票面形状由柔撤度计沸算公暮式可犹知，副在计记算长展度一贿定的质前提场下，浙回转秀半径您越大虎，柔竟度就坚越小袖，压弱杆的双临界摔应力扎就越暑大，班稳定言性越搅好。殊因此默，在员保证牌材料纹用量捕不变垃的情头况下冻，压胆杆截祥面的齐合理腊形状疫应是熟使材笋料尽克量远男离形太心轴床，这纹样可蒜以增注大截张面惯接性矩理，从绑而增属大截都面的线回转毁半径俩。例腥如：胃在面百积基港本不数变的么情况卷下，照空心湖的圆熊截面(如图7.6探(a)所示)比实心钉的(如图7.6毯(b)所示)稳定续性要稀好，击由槽岭钢组葵合的晃箱形恢截面雁构件食比工稍字形膏截面协的构铸件稳晌定性娘要好器。图7.6压杆截联面合理派性提高压思杆稳定条性的措长施另外，厕压杆的改失稳总古是发生自在柔度蓬较大的红平面内迁，因此妥，应尽服量使各丑个平面夜内的柔恐度相近倾，比如殿，当压砍杆在各屿个弯曲旬平面内扁的约束漂情况都习相同时距，应尽线量使其顶截面对秘任一形替心主轴器的惯性品矩都相咬等，当店压杆在茫截面两舌个主轴趣方向的象约束情骡况不同甚时，可她采用矩医形或工列字形截掘面，通谈过计算责使两个怖平面内湾的柔度黄相近，围这样可福使压杆电在各个橡弯曲平芦面内都三具有相煌同的稳桌定性(称为洞等稳胀定性要设计)。提高压说杆稳定惩性的措泼施7-1什么壤是稳舞定平影衡状剧态？座什么划是不旱稳定吹平衡脱状态养？7-繁