导数在中学数学解题中的应用

导数在中学数学解题中的应用导数在中学数学解题中的应用/NUM导数在中学数学解题中的应用导数在中学数学解题中的应用 导数在中学数学解题中的应用摘要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。关键词：导数中学数学应用ABSTRACTDerivativeisnotonlyanessentialpartofthemiddleschooltextbooks,butalsothecollegeentranceexaminationovertheyears.Theapplicationofderivativeinhighschoolinmathematicsisveryextensive,itcontainsaproof,derivativeofinequalityintheanalysisofthedemandcurve,tangentatapointintheapplicationoffunctionoptimization,image,extremumandmonotonyoffunctionetc..Theapplicationofderivativeknowledgetosolvemathematicalproblemsinmiddleschoolcannotonlytrainthestudents'thinking,butalsosimplifythedifficultyofsolvingtheproblem.Thispapersummarizestheapplicationofderivativeinthemiddleschoolinmathematics,butalsoonsomemattersneedingattentionintheapplicationofderivativemadeannotation,analyzestheapplicationofderivativeinerrorpronepoints.Soastoprovideusefulinformationforbeginnerstoqueryderivativeknowledge.Keywords:Derivatives；Middleschoolmathematics；application 1.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。导数是解决许多数学问题的有力工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。2．导数在中学数学解题中的应用2.1导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用到导数的几何意义：在某一点的导数就是曲线在处切线的斜率。例2.1已知曲线L：，求经过点的曲线L的切线方程。分析：主要是计算出曲线L在P点处的斜率K，又因为点，此时便可根据点斜式能够计算出过点P的曲线L的切线方程了。解：由题意可知：曲线L：过点P的斜率K为：曲线L过P点的切线方程为：化简得：点评：本题在计算曲线L的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。例2.2在上求一点P，使P到直线的距离最短。2分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。下面我将用不同的解法进行作答，进行对比。便可以充分的体现出导数解题时的便利性。解法1：平移直线，使其与曲线相切，可知P点即为所求。设切线，代入曲线方程，得：（1）又因为直线与曲线相切，解得：（1）式为故切点为解法2：设点则点P到直线的距离为：由上式可知，当时取得最小值故点P为解法3：由题可知，点P必为平行于直线的直线与抛物线的切点。因此过P点的切线必定平行于直线由导数的几何意义可知，在P点的数值为1又设则，故点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识，即利用导数的几何意义进行求解。2.2导数在分析函数的性质与图像中的运用在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。理清导数与函数图像之间的关系。倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用3个例题来简单讲解他们之间的关系。2.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像y0图2.1函数图像yx0图2.2函数图像例y0图2.1函数图像yx0图2.2函数图像分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况。解：=1\*GB3①图2.1的的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当时，斜率大于0；当时，斜率等于0；当时，斜率小于0.其图2.1的导函数图像如图2.3所示。=2\*GB3②图2.2的的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0，当时斜率越来越大；当时，斜率等于0；当时斜率越来越小。其图2.2的导函数图像如图2.4所示。yyx0图2.3导函数图像yx0图2.4导函数图像点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。2.2.2已知导函数图像，画出其原函数的图像例2.4已知函数的图像如图2.5所示，下面4个图像中能大致表示的图像是（）3-10-101图2.5导函数图像图图2.5-2选择原函数图0-123A0-112B0-2-11C0-112D分析：根据的符号变化，可以得到的符号变化。因此而得到其的单调性的变化，便能够以此来画出其原函数的大致图像。解：由图2.5可知，当时，则，原函数为增函数，图像上升；当时，则，原函数为减函数，图像下降；当时，则，原函数为减函数，图像下降；当时，则，原函数为增函数，图像上升。综上所述，只有C选项满足上述条件，故选C。点评：本题解题时所用方法与例2.3相同，但例2.3与例2.4是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。2.2.3已知导函数图像，求解原函数例2.5已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图像经过点，如图2.6所示，求：（1）的值；（2）函数的解析式。30012图2.6导函数图像分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即的值。再利用题干信息，找出三个已知点，再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。解：（1）由图像可知，当时，在上递增；当时，在上递减；当时，在上递增。因此在处取得极大值。（2）由题意可知：又解得故函数的解析式为点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行解题的。在利用导数解题时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息。2.3导数在求解方程的根中的应用利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用导数解决根的唯一性。2.利用导数求方程根的个数。3.利用导数求解待定系数的取值范围。4.利用导数求解有关超越方程的根。下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。2.3.1利用导数解决根的唯一性判断方程在某区间内有唯一实根，即判断函数在该区间上有唯一零点。我们可以通过探究函数的单调性，利用零点存在定理进行判断。例2.6证明函数在区间上有唯一零点。4分析：对于证明函数有唯一零点（方程有唯一实根）的问题上，首先应考虑的是零点是否存在，利用导数研究函数区间的单调性，证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点。证明：对函数进行求导，得：在区间上，为减函数又故函数在区间上有唯一零点点评：在此问题上，如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调，则在该区间内函数必有唯一零点（方程有唯一实根）。2.3.2利用导数求解方程根的个数用导数来求解方程根的个数，实际上用导数来探究函数的图像与函数的图像有几个交点的问题。例2.7已知，，若与在有两个不同的交点，求的取值范围。4分析：此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数，因为对数函数与二次函数曲线结构的特点，我们很难具体有效地把握它们交点的情况，所以对于此类问题我们可以用导数将曲线交点的问题转化为在有实根的问题。解：令则构造函数要让则时，在上递增；时，在上递减。故的极大值点为1，极大值为又且（1）转化为与的交点问题。要使（1）式在有两个不同的实根，则解得当时（1）式有两个不同的实根，即在该区间与有两个不同的交点。点评：用导数工具来探究与的交点问题时有下面五个步骤：1.构造函数；2.求；3.求出的单调性与极值;4.找出与轴的交点情况,列出不等式;5.求解不等式,得出结论。2.3.3利用导数求解待定系数的取值范围例2.8：取何值时，关于的方程在上有解？5分析：可以先将与分离开，再利用导数求函数的值域。解：则将看作是的函数，在上是增函数故点评：此题也可以结合二次函数的图像，使其问题转变为区间根的分布问题，但需分类讨论，然而利用导数来求其函数的值域，就可以将其运算量减少，从这个方面看，也可以看出其导数解题的简洁性。2.3.4利用导数求解有关超越方程的根例2.9证明方程有唯一解。6分析：此方程由观察易知是其一个实根，但我们无法说明此方程根的唯一性。我们可以利用导数工具来解决这一问题，在解题过程中我们应注意函数的定义域，必须要在定义域范围内进行求解。证明：移项得：令当即时，为增函数；当即时，为减函数.001图2.7函数图像如图2.7所示，此时图像与轴相切，与轴只有唯一的一个交点。故方程有唯一解点评：在解决有关超越方程根时，我们很难进行猜根求解，但我们可以通过构造函数后，进行求导，画出草图。结合图像，便可以找出其交点，使我们能够较快地解决问题。2.4导数在证明不等式中的应用利用导数证明不等式，可以根据导数的定义、函数的单调性、最值性以及构造函数来证明不等式。其中构造函数可以通过作差法、换元法、取对数等方法进行构造，然后再通过求导的方法加以证明。在构造函数证明不等式方面我将以其中的换元法来进行叙述。2.4.1利用导数的定义证明不等式例2.10已知函数，求证时，7分析：令，.因为要证当时，即，只需证在上单调递增。证明：令则当时，在上单调递增故即点评：在利用导数的定义来证明不等式时，先要将函数的一阶导数给计算出来，然后在确定函数在某点的导数值和函数值，接着便利用导数的定义来证明其不等式。2.4.2利用函数的单调性来证明不等式例2.11已知，.且，求证：8分析：，在上单调递减。证明：令则在上单调递减又即点评：利用函数的单调性证明不等式，首先是利用导数工具先计算出函数的导函数，再利用导函数的性质判断出函数的单调性，再证明不等式。2.4.3利用最值性证明不等式例2.12：的定义域是，其中，，若，求证：7分析：首先构造一个函数，然后求出在某区间中的全部驻点和不可导之处的函数的极值和区间两个端点之处的函数值，将它们进行比较，证明不等式成立。证明：令时，则即化简得或无解由解得：或时，在上单调递增；时，在上单调递减是的极小值点又在上只有一个极值点是的最小值故的最小值为：，的最小值为：又，时成立点评：根据连续函数在封闭区间上的连续性、顺序性等可得到如果函数在封闭区间上连续时，则一定存在其最大（最小）值。这就是我们用来求解连续函数的最大（最小）值的理论依据。如果函数在处可导。那么还是其稳定点。因此我们只需通过比较的稳定点、区间端点和不可导处的所有函数值，便可以找出在区间上的最大（最小）值，从而证明不等式的成立。2.4.4利用构造函数证明不等式（换元法）例2.13已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴（1）求的值；（2）求函数的极小值；（3）设斜率为的直线与函数的图像交于两点，其中，证明9分析：此题是一道综合性较强、难度较大的题目，它属于函数与导数的综合性题目，主要运用到导数的几何意义以及导数的性质等方面来证明不等式，下面是利用换元法来构造函数，再利用导数知识对不等式进行证明。解：（1）（2）的极小值为（3）由题意，可得：即令则当时，在上为减函数；当时，在上为增函数。又故点评：此题运用导数求函数的单调性、极值、柯西不等式的应用及不等式证明等方面的知识进行解题，在本题的处理上运用换元法便大大减小了计算时的难度。2.5导数在判断函数单调性中的应用如果函数是连续函数，若在处其导函数，也就是指其该点处切线的斜率大于0，那么函数在点处附近单调递增；若在处其导函数，也就是指其该点处切线的斜率小于0，那么函数在点处附近单调递减。例2.14讨论函数的单调性。10分析：函数的单调性与其导函数的正负有关。如果导函数为正，则函数为增函数；如果导函数为负，则函数为减函数。解：令解得：令解得：在上单调递增，在上单调递减。点评：假设在上连续，在内处处可导，则有如果在内，则函数在上为增函数；如果在内，则函数在上为减函数；如果函数在内，则函数在上为常函数。2.6导数在求解最值和最优化问题中的运用2.6.1导数在求解函数的最大(小)中的应用例2.15求函数在闭区间上的最大值和最小值。分析：先将函数进行求导，再找出其极值点，最后对所有的极值点、区间端点的函数值进行对比找出其最大值和最小值。解：令解得：且没有不可导的点存在是的极值点又比较上述四个值：在上的最大值为142，最小值为7点评：在求解可导函数的最值问题时要将所有的极值点、不可导点、区间端点的函数值进行对比，要做到不重不漏。2.6.2导数在求解最优化问题中的应用例2.16某新农村需要围建一个面积为矩形晒谷场，一边可以利用原来的石条沿，其它三边也需要砌新的石条沿。问：晒谷场的长和宽各为多少，才能使材料用得最省？分析：在求解本题时，首先设出晒谷场的宽为，则长为。因此，便可以设出一个关于的函数，再利用导数工具便可以算出材料最省的方案。解：设晒谷场的宽为，则长为令石条沿的总长为在内只有一个极值点即的极小值点为16又当晒谷场的长为，宽为，才能使材料用得最省。点评：在求解最优化问题时，应利用导数求出极值点，找出其最值。从中找到解决问题的最佳方案。3．导数在中学数学解题时的几点评注及易错点3.1对导数的几何意义不明确而导致在应用中的错误对导数的几何意义理解地不够透彻，也可能会使其在解题时出错，函数在处的导数的几何意义是函数曲线在点处的切线斜率。利用导数的几何意义使我们更加容易求解函数的曲线的切线方程。例3.1求解曲线经过点的切线方程。错解：将代入，可得：切线方程为:错因：本题时由于思维上的定势而造成的错误，因为点不在曲线上，故在解题时盲目地将代入导数方程求出的切线斜率是错误的。正解：设则又联立得：当时切线方程为；当时切线方程为3.2导数在解题时对极值点、驻点和拐点的区分极值点定义：令函数。给定的一个小邻域，对于任意，都有，称是的极小值点；否则，称是的极大值点。极小值点和极大值点统称为极值点。驻点定义：令函数，若，称是驻点。拐点定义：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。拐点的判定定理：令函数，若，且，；时或，；时，，称点为的拐点。极值点的必要条件：令函数，在点处可导，且是极值点，则。在区分极值点、驻点与拐点时需从上述的几个定义、定理进行仔细理解与区分。驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。在可导的情况下，极值点一定是驻点。3.3导数在中学解题时不可导点的判定在判定不可导点时可以从导函数、导数的定义以及假想延拓法来判定不可导点。例3.2为了使函数在处连续且可导，应该取何值。解：据已知函数在处连续且可导，因此在处左右导数均存在。根据假想延拓法知，函数在左导数为于是再根据假想延拓法知，函数在处右导数为再根据函数在处连续，得：解得：3.4导数在中学数学解题时忽视了定义域的错误分析例3.3求函数的单调区间。错解：令即解得：函数的单调增区间为，减区间为错因：忽视了定义域。正解：的定义域为又故函数的单调减区间为３.5导数在解题中因极值点与导数为零的点区分不清的错误分析例3.4已知函数在处有极值为10，求的值。错解：故即解得：或错因：函数可导时在处取得极值的充要条件为=1\*GB3①；=2\*GB3②在左右两侧的导数值的符号相反。错解没有对条件=2\*GB3②加以检验。正解：故即解得：或当时，，易知在的两侧同号，故在处不存在极值。当时，在的两侧异号，故在处存在极值。综上所述：本文将归纳总结出利用导数解决中学数学问题的若干方法及在利用导数解题时需注意的方面和易错点，从而方便导数初学者便于查找，在学习导数的初级阶段能够有更多的资料进行学习借鉴，在利用导数解题时注意到自己平时忽略到的方面。由于篇幅的原因，对于运用导数知识解题的错误类型1.函数在某点的导数是一个函数值；2.曲线过某点的