新人教版九年级上册全册教案

第二十一章二次根式1.对&(a20)是一个非负数的理解：对等式(JZ)2=a(a>0)及J/=a(a20)的理解及

主备课人；李鸿剑备课人：吴银鼎赵亚凤授课时间：应用.

教材内容2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

1.本单元教学的主要内容：3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.教学关键

2.本单元在教材中的地位和作用：1.潜移默化地培养学生从具体到般的推理能力，突出重点，突破难点.

二次根式是在学完了八年级卜册第卜七章《反比例正函数》、第卜八章《勾股定理及其应用》等内容2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.

的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.单元课时划分

教学目标本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

1.知识与技能21.1二次根式3课时

<1)理解二次根式的概念.21.2二次根式的乘法3课时

21.3二次根式的加减3课时

(2)理解五(a20)是一个非负数，(、5)25(a20),(a20).

教学活动、习题课、小结2课时

(3)掌握〃•y/b=y[ab(a20,b20),4ab=y/a,y/b：

21.1二次根

^^二甘(a20,b>0),号(a20,b>0).

主备课人；李鸿剑备课人：吴银鼎赵亚凤授课时间：

(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.第一课时

2.过程与方法教学内容

(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，二次根式的概念及其运用

得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.教学目标

(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计

理解二次根式的概念，并利用五(a20)的意义解答具体题目.

算.

(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最教学重难点关键

简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.

1.重点：形如JZ(a20)的式子叫做二次根式的概念；

3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重

2.难点与关键：利用“五(a20)”解决具体问题.

要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重点教学过程

1.二次根式JZ(a20)的内涵.y/a(a20)是一个非负数；(JZ)2=a(a20)；J/=a(a2一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：

0)及其运用.3

问题1:已知反比例函数y=-，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.x

3.最简二次根式的概念.问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是.

4.二次根式的加减运算.问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S?,那

教学难点么S=.

老师点评：

L蚯、-U

问题1：横、纵坐标相等，即*=丫，所以x?=3.因为点在第一象限，所以X=6,所以所求点的坐xx+y

标(石，5.例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?

问题2：由勾股定理得AB=Ji6分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l>0.J3x-1才能有意义.

解：由3x-l》0,得：x>—

问题3:由方差的概念得$=3

当X》!时，,3x-l在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+-L在实数范围内有意义?

X+1

分析：要使j2x+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足内中的20和」一中的x+1

x+\x+1

二、探索新知W0.

很明显6、左,都是•些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我』f2x+3>0

解：依题意，得《

[x+100

3

们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如五(a^O)的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次由①得：x^--

2

根号.由②得：xW-1

(学生活动)议一议：3.1

当x》--且xW-l时，J2.X+3+——在实数范围内有意义.

1.-1有算术平方根吗？2A+1

2.0的算术平方根是多少？

例4(1)已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.(答案:2)

3.当avO,、后有意义吗？y

老师点评：(略)⑵若G7T+C^T=0,求a^+b201M的值.(答案:|)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：五、0=、6(x>0)、々6、啦、

x五、归纳小结(学生活动，老师点评)

本节课要掌握：

-,^2、----、ylx4-y(x20,y20).

x+y1.形如(a>0)的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”：第二，被开方数是正数或0.

六、布置作业

解：二次根式有：丘、4x(x>0)、册、-五、yjx+y(x20,y20)；不是二次根式的有：状、1.教材Ps复习巩固1、综合应用5.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》24+320

2.依题意得:

x

"0

第一课时作业设计

一、选择题

・••当x>-3且xWO时，OS+x?在实数范围内没有意义.

1.下列式子中，是二次根式的是()

2x

A.-y/lB.y/lC.y/xD.X

3.1

2.下列式子中，不是二次根式的是()3

A.V4B.V16C.我D.-4.B

x5.a=5,b=-4

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()

A.5B.C.|D.以上皆不对

二次根式

二、填空题21.1(2)

1.形如的式子叫做二次根式.第二课时

2.面积为a的正方形的边长为.教学内容

3.负数平方根.

1.4a(a20)是一个非负数；

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应做成正方形,

2.(孤)2=a(a20).

试问底面边长应是多少？

教学目标

2.当x是多少时，巧+3+x?在实数范围内有意义?

X理解五(a^O)是一个非负数和(五)(a^O),并利用它们进行计算和化简.

3.若有意义，贝.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出(a^O)是一个非负数，用具体数据结合算

4.使式子5-5)2有意义的未知数X有()个.术平方根的意义导出(五)(a^O)：最后运用结论严谨解题.

A.0B.1C.2D.无数教学重难点关键

5.已知a、b为实数，且五二i+2510-2。=b+4,求a、b的值.1.重点：y[a(a20)是一个非负数；(笈)？=a(a^O)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出五(a>0)是个非负数；用探究的方法导出(五)2=a

第一课时作业设计答案：

一、1.A2.D3.B(a20).

教学过程

二、1.4a(a^O)2.4a3.没有

一、复习引入

(学生活动)口答

三、L设底面边长为x,则02x2=1,解答：x二也.

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，JZ叫什么？巧avO时，有意义吗？

老师点评(略).

(3府-(5扬2

二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)四、应用拓展

例2计算

W(a^O)是一个什么数呢？

1.(Vx+1)2(x>0)2.(值)？3.(Ja2+2a+l)

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

五(a-0)是一个非负数.4.(J4/-12X+9产

做•做：根据算术平方根的意义填空：分析：(1)因为x》0,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)>0；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+3、(2x-3)2>0.

(V4)2=；(亚)2=.(79)2=；(6)2=:

所以上面的4题都可以运用(JZ)2=a的重要结论解题.

(J1——；(岛、------；(那『=------'

解：⑴因为x去0,所以x+l>0

(dx+T)2=x+l

老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此

(2)Va2^0,・・・(值)2=a2

有(V?)2=4.

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又；(a+1)2>0,/.a2+2a+1^0,>Ja2+2a+\=a2+2a+l

同理可得:(V2)2=2,(亚)2=9,(6)2=3,(、口)»(Vo)2=0,所以

V22(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2•2x-3+32=(2x-3)2

又：(2x-3)2^0

(五)2=a(a2o)

A4X2-12X+9^0,・•・(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例1计算

例3在实数范围内分解下列因式：

1.*)22.(3石)23.(^|)24.(^)2

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

分析：(略)

五、归纳小结

分析：我们可以直接利用(五)—(a>0)的结论解题.

本节课应掌握：

1.y/a(a，0)是一个非负数；

解(.—)2=—>(3-\/5)2=32,(y/5)2=32•5=45>

V22

2.(y/a)2=a(a20);反之:a=(y[a)2(a^O).

国z5币(近了7

(J—)=—,(----)=2-----:—=—六、布置作业

V662224

1.教材P8复习巩固2.(1)、(2)P97.

三、巩固练习2.选用课时作业设计.

计算下列各式的值：3.课后作业：《同步训练》

第二课时作业设计

<Vl8>2〈J|)24

(Vo)2)2一、选择题

1.下列各式中岳、W、正一1、百—、加+20、J-144,二次根式的个数是().x-y+1=0x=3,

xy=34=81

x-3=0y=4

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().

4.(1)x--2=(x+&)(x-&)

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+石)(x-6)

1.(一+)2=.

⑶略

2.已知J77T有意义，那么是一个数.21.1二次根式(3)

三、综合提高题第三课时

1.计算教学内容

(1)(>/9)2(2).(6)2(3)(-!-V6)2(4)(-3J-)2=a(a'O)

2V3

教学目标

⑸(2>/3+372)(273-372)理解〃7=a(a»0)并利用它进行计算和化简.

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

通过具体数据的解答，探究J/=a(a>0),并利用这个结论解决具体问题.

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6教学重难点关键

3.已知Jx-y+1+Jx-3=0,求x，的值.1.重点：-s/o^=a(a>0).

4.在实数范围内分解下列因式：2.难点：探究结论.

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

3.关键：讲清a20时，才成立.

第二课时作业设计答案：教学过程

一、1.B2.C一、复习引入

二、1.32.非负数老师口述并板收上两节课的重要内容；

三、1.(1)(5:9(2)-(6)2=3(3)(—y/6)2=—X6=—1.形如〃’(a^O)的式子叫做二次根式；

242

(2■,22.4a(a^O)是一个非负数：

(4)(-3J-)2=9X-=6(5)-6

V33

3.(yfa)2=a(a20).

2

2.⑴5二(52(2)3.4=(V14)

那么，我们猜想当a20时，//=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

(3)2

如卜(4)x=(Vx)(x20)二、探究新知

(学生活动)填空：

a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为"二a,所以aNO：

(2)因为，了二-a,所以aWO；

(3)因为!Ia>0时笳=a，要使GSa,即使a>a所以a不存在：当a<0时，G=-a,要使后>a,

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

即使-a〉a,a<0综上，a<0

亚=2；痂F=0.01；底?=)；府。妤=0；后=：.

例3当x>2,化简&x-2,-a1-2工丫.

分析：(略)

因此，--般地：亚=a(a20)

五、归纳小结

例化简

1本节课应掌握：J/=a(a》0)及其运用，同时理解当a<0时，J/=-a的应用拓展.

(1)处(2)7(-4)2(3)V25(4)7(-3)2

六、布置作业

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,1.教材P8习题21.13、4、68、.

选作课时作业设计.

(4)(-3)Iz,所以都可运用必=a(a^O)去化简.2.

3.课后作业：《同步训练》

第三课时作业设计

解(1)5/9=yfy=3(2)J(-4)~=，4~=4

一、选择题

(3)>/25==5(4)J(-3.==3

的值是().

三、巩固练习

教材P7练习2.2

A.0B.-D.以上都不对

四、应用拓展3

例2填空：当a20时，J/=_____；当a<0时，J/=,并根据这一性质回答下列问题.2.a，0时，<7、正疗、-〃7,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是().

A.后=«_a)2A。B.值>J(-a)2>-G

(1)若=a,则a可以是什么数？

C.D.-4a^>4a^

(2)若=-曲则a可以是什么数？

二、填空题

(3)J/>a,则a可以是什么数？

1.-血0004=_____.

分析：・・・J/=a(a2O),・••要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()

2.若J而是一个正整数，则正整数m的最小值是.

,中的数是正数，因为，当aWO时，金=«_。)2,那么-a'O.

三、综合提高题

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知J滔二|1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl-2a+/的值,甲乙两人的解答如下:

甲的解答为：原式=a+J(1-a)?=a+(1-a)=1；关键：要讲清y/ab(a<0,b<0)=yfay/bf如J(-2*(-3)=^-(-3)或

乙的解答为：原式=a+J(1-a，=a+(a-1)=2a-l=17.J(-23)=J2x3=>/2X^3.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.教学过程