山西省太原市徐沟镇第三中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

山西省太原市徐沟镇第三中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在区间(－1,1)内存在极值点，且恰有唯一整数解使得，则a的取值范围是（

）（其中e为自然对数的底数，）A. B.C. D.参考答案：D【分析】对函数求导，函数在区间内存在极值点等价于导数在区间有根，可求出的大范围，然后研究出函数的单调区间，画出函数的大致图像，结合图像分析恰有唯一整数解使得的条件，即可求出实数的具体范围。【详解】由题可得：要使函数在区间内存在极值点，则有解，即，且，解得：，令，解得：，则函数的单调增区间为，令，解得：，则函数的单调减区间为由题可得（1）

当，即时，函数的大致图像如图：所以要使函数恰有唯一整数解使得，则，解得：，（2）当，即时，函数大致图像如图：所以要使函数恰有唯一整数解使得，则，解得：，综上所述：，故答案选D.【点睛】本题主要考查函数极值点存在的问题，以及函数值的取值范围，研究此类题的关键是借助导数研究函数单调性，画出函数大致图像，结合图像分析问题，考查学生转化的能力以及数形结合的思想，属于中档题。2.在二项式

的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（

）

参考答案：C3.已知随机变量则使取得最大值的k值为（）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：A4.已知，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.

如果执行下边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是()A．9

B．3C．

D．参考答案：C6.过抛物线(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且，那么直线l的斜率为A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.含的直角三角板的一锐角顶点与桌面接触，两直角边都与桌面成角，则三角板所在平面与桌面所成锐二面角大小为

A. B.

C.

D.参考答案：B8.用反证法证明命题：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（

）A．中至少有一个正数

B．全为正数C．全都大于等于0

D．中至多有一个负数参考答案：C试题分析：反证法证明时首先假设所要证明的结论反面成立，本题中需假设：全都大于等于0考点：反证法9.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是A．

B．

C．

D．参考答案：D10.点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的最大值为（

）

ks5uA.3

B.4

C.5

D.6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________参考答案：

y=-0.5x+4设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.12.某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是▲

参考答案：18号略13.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为____________。参考答案：－4略14.观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为

（n∈N*）．参考答案：1+++…+＞略15.若对任意实数x，有x3=a0+a1(x－2)+a2(x－2)2+a3(x－2)3，则a2的值为

。参考答案：616.正三棱锥P-ABC的底面边长为，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH面积记为，则的取值范围是

▲

.参考答案：17.已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN等于

.参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD，，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D﹣AE﹣B．（1）求证：AD⊥平面BDE；（2）求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】方法一：（1）由题设可知AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．证明BE⊥AD即可得到AD⊥平面BDE．（2）由（1）知AD⊥平面BDE．AD⊥DB，AD⊥DE，故∠BDE就是二面角B﹣AD﹣E的平面角在Rt△BDE中，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．方法二（1）取AE的中点O，连结OD，BE，取AB的中点为F，连结OF，以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系利用向量求解．【解答】方法一：解：（1）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．∵∴OD⊥AE．﹣﹣﹣﹣1

分又∵二面角D﹣AE﹣B为直二面角．∴OD⊥平面ABCE∴OD⊥BE﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵AE=BE=2∴AB2=AE2+BE2∴AE⊥BE又∵OD∩AE=O∴BE⊥平面ADE∴BE⊥AD﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵BE∩DE=E∴AD⊥平面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知AD⊥平面BDE∴AD⊥DBAD⊥DE∴∠BDE就是二面角B﹣AD﹣E的平面角﹣﹣又∵BE⊥平面ADE∴BE⊥DE在Rt△BDE中，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴二面角B﹣AD﹣E的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣

方法二（1）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE的中点O，连结OD，BE．∵∴OD⊥AE．﹣﹣﹣﹣又∵二面角D﹣AE﹣B为直二面角，∴OD⊥平面ABCE﹣﹣﹣﹣﹣又∵AE=BE=2∴AB2=AE2+BE2∴AE⊥BE取AB的中点为F，连结OF，则OF∥EB∴OF⊥AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣以O为原点，OA，OF，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）则A（1，0，0），D（0，0，1），B（﹣1，2，0），E（﹣1，0，0），于是，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣设是平面BDE的法向量，则即令x=1，则z=﹣1，于是，∴，∴，∴AD⊥平面BDE．﹣﹣﹣（2）设是平面ABD的法向量，则即令x=1，则y=1，z=1，于是又平面ADE的法向量﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知函数.（1）若函数的最小值为2，求实数a的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：(1)或.(2)【分析】（1）利用绝对值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，故的解集是的子集，据此可求的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.令，得或，解得或.（2）当时，.由，得，即，即.据题意，，则，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】（1）绝对值不等式指：及，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．20.（13分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点

不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．参考答案：（1）∵是直三棱柱，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵平面，∴平面。

又∵平面，∴平面平面。

（2）∵，为的中点，∴。

又∵平面，且平面，∴。

又∵平面，，∴平面。

由（1）知，平面，∴∥。

又∵平面平面，∴直线平面略21.20名学生某次数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求a的值，并估计这20名学生的平均成绩；（Ⅱ）从成绩在[50，90）的学生中任选2人，求恰好有1人的成绩在[50，70）中的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的小长方形的面积之和为1，即可求得a的值，根据平均数的求法，即可求得这20名学生的平均成绩；（Ⅱ）[50，70）的学生有2人，[70，90）的学生有3人，分别求得在[50，90）的学生中任选2人可能发生的情况及恰好有1人的成绩在[50，70）的情况，根据古典概型概率公式，即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）（2a+3a+7a+6a+2a）×20=20a×20=1，得，=41200a=103（分），这20名学生的平均成绩103（分）；

…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，[50，70）的学生有2人，记为：A，B；…[70，90）的学生有3人，记为：C，D，E；在[50，90）的学生中任选2人，有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}；{C，D}，{C