2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

PAGEPAGE42017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2017年3月19日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设，则的整数部分为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】由，知。于是，，。因此，的整数部分为2。（注：）2．方程的所有实数根之和为（）A．B．3C．5D．7【答案】A【解答】方程化为。即，。解得。经检验是原方程的根。∴原方程所有实数根之和为1。3．如图，、、三点均在二次函数的图像上，为线段的中点，，且。设、两点的横坐标分别为、（），则的值为（）A．3B．C．D．【答案】D（第3题）【解答】依题意线段的中点的坐标为。（第3题）由，且，知点坐标为。由点在抛物线上，知。整理，得，即。结合，得。4．如图，在中，，为线段的中点，在线段内，与交于点。若，且，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】如图，过作与的延长线交于点。则由可得，。∴（第4题）（第4题）又由为中点，得为中点。∴。∴。∴。或解：对直线及应用梅涅劳斯定理得，。由为线段的中点，知。又，因此，。结合，，利用勾股定理得，。所以，。因此，符合要求。（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。则，解得。不满足。综合（1）、（2）、（3），得符合条件的的值为，，。因此，符合条件的所有的值的和为。10．若正整数恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在的正因数中有7个连续整数，则正整数的最小值为。【答案】【解答】∵任意连续7个正整数的乘积能被整除，∴的正因数中必定有，，，这四个数。∴正整数具有形式：（，，，为正整数，）。由正整数恰有90个正因数，知，其中为正整数。而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：。∴，。∴的最小值为，此时有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．求方程的正整数解。【解答】方程化为。将方程视为的方程，得为完全平方数。……5分∴为完全平方数。设（为非负整数），则。∴。∵为质数，∴，或。……10分又为非负整数，且。∴，或。……15分∴（舍去），或。将代入方程，得，解得，或。∴原方程的正整数解为，或。……20分12．如图，在等腰三角形中，，是边的中点，是边上一点，直线、交于点，且。求证：（1）；（2）。【解答】（1）如图，连结。由条件知，。（第12题）∴。……………（第12题）∵，∴。∴。又，∴。∴。……………10分又由，，知。∴。由此可得，，即。∵，∴。……………15分（2）由（1），，知，∴。又由（1），知。结合（1）中，可得。∴。……………20分13．若存在正整数，（）使得成立，其中，为不超过的最大整数。（1）求的最小值；（2）当取最小值时，求使成立，且的正整数的个数。【解答】（1）∵对任意正整数，，，，。……5分∴对任意正整数，。∵存在正整数，（）使得成立，∴存在正整数，使得。于是，，。又时，，∴的最小值为12。……10分（2）时，由知，，，。∴（为非负整数）。∴当取最小值12时，当且仅当（为非负整数）时，成立。……15分由知，。因此，符合条件的正整数有个。……20分14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：（1）对任意正数，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段；（2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？【解答】（1）在平面内任作一个边长为的等边。则的三个顶点、、中必有两点同色。所以，存在两端点同色，且长为的线段。因此，对任意正数，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段。……………5分（2）对任意正数，如图，设、同色，且（由（1）知，、存在）。以为直径作圆，设为圆的内接正六边形。若、、、中存在一点与、同色，不妨设点与、同色，则为直角三角形，其中，，且三顶点同色。………10分若、、、都与、异色，则、、、四点同色.则为直角三角形，其中，，且三顶点同色。因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。………………15分（3）由