杆及结构的变形计算

第七章杆及结构的变形计算退出了解杆及结构的变形计算，进行杆的刚度计算，也为以后静不定问题求解作准备。目的：要求：记住求解结构变形的基本公式并能正确地利用它来进行计算。杆及结构的变形计算退出杆及结构的变形计算7-l拉伸(压缩)时的变形7-2扭转时的变形7-3弯曲时的变形7-4求杆件变形的叠加法7-5杆的刚度条件7-6静定结构的位移计算•杆件的变形能7-7单位荷载法7-8图形互乘法*7-9静定结构由于支座位移和温度变化所引起的位移计算*7-10虚功原理单位荷载法退出7-l拉伸(压缩)时的变形杆及结构的变形计算单段等截面等轴力杆件多段等截面等轴力杆件多段变截面或变轴力杆件例7-l计算杆在自重作用下所引起的伸长，设杆长为l，横截面面积为A，材料的比重为g，，弹性模量为E。end7-2扭转时的变形单段等截面等扭矩杆件多段等截面等扭矩杆件多段变截面或变扭矩杆件Mn——扭矩G——剪切弹性模量Ip

——极惯性矩杆及结构的变形计算end7-3弯曲时的变形1.挠曲线的近似微分方程①挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用y表示。与y同向为正，反之为负。②转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。PxyCyqC11)度量梁变形的两个基本位移量q<0逆时针转向q>0顺时针转向杆及结构的变形计算end3)转角与挠曲线的关系：小变形y=f(x)xyFxyFFCxyBAend2)挠曲线变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：杆及结构的变形计算式(7-9)就是挠曲线近似微分方程。小变形xyM>0yxM<0(7-9)对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：end杆及结构的变形计算end杆及结构的变形计算2.用积分法求梁的变形对等截面梁，EI为常数，有：end杆及结构的变形计算例7-2求悬臂梁在均布载荷作用下的转角和挠度方程，并计算其最大转角和最大挠度。已知梁长为l，粱的刚度为EI。(a)(b)解：（1）求出固定端的反力Rm（2）列出弯矩方程（3）给出挠曲线微分方程end杆及结构的变形计算(a)(b)Rm（4）积分，得出转角方程和挠曲线方程（5）确定积分常数C、D(6)转角方程和挠曲线方程，最大挠度和最大转角end杆及结构的变形计算7-4求杆件变形的叠加法在假定杆的变形微小及材料服从虎克定律的前提下，杆的变形(一般指的就是截面形心的线位移和截面的角位移)都是外加载荷的线性齐次函数。因此，当杆上有多个载荷共同作用时，特别是当各载荷单独作用时的变形结果已知(如有表可查)时，用叠加法来计算杆的变形尤为方便，用式子表达，以挠度为例,即：式中y为多个载荷共同作用时在某点处引起的挠度，yPi为某载荷单独作用时在该点处引起的挠度。end杆及结构的变形计算例7-5外伸梁ABC受载如图所示，设梁的刚度为，求C点的挠度。解：采用分段刚化的步骤来解①刚化AB，则BC段为悬臂梁，查表得：②刚化BC，则ABC为外伸梁，分布力想B点简化；有则将引起梁的变形，使截面产生转角qB，也引起C点的位移yC2图(c)如下：m=qa2/2P=qa，C点的挠度为end杆及结构的变形计算例7-6

矩形截面的悬臂梁受荷载P的作用，如图所示。设P与垂直轴y的夹角a=30o，截面的惯性矩Iy、Iz已知，且Iy<,Iz，试计算其自由端形心C的位移。而其方位角为：由于所设Iz

>Iy，故b>a，如图(b)所示,即此时弯曲变形不发生在载荷作用的平面内，这种弯曲工程上常称为斜弯曲。end杆及结构的变形计算7-5杆的刚度条件各种基变形情况下的刚度条件根据此种条件，可进行类似于强度计算那样的三类计算：1)刚度校核；

2)按刚度条件设计截面；

3)按刚度条件确定许可载荷。扭转的刚度条件精密机械轴一般传动轴要求不高的轴拉伸压缩弯曲转角弯曲挠度end杆及结构的变形计算例7-7

试确定图中所示轴的直径D，设材料的剪切弹性模量G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=0.5o/m巳知Mmax=1432(N-m)解：①按强度条件设计直径9551432N-mm2m1m3①按刚度条件设计直径故轴的直径应按刚度条件决定，可取为68mm。end杆及结构的变形计算7-6静定结构的位移计算•杆件的变形能杆件的位移除了用前面的微分方程积分的方法进行计算外，还可由能量守恒定理按能量法求解。这是研究变形体问题的又一普遍方法，特别适用于求解复杂体系的变形问题。首先来研究杆件在各种变形形式下的变形能的计算。end杆及结构的变形计算AlDlPPoDlADlDlB拉伸(压缩)时的变形能的计算弯曲时的变形能的计算扭转时的变形能的计算end杆及结构的变形计算当杆件承受组合变形时：★若变形能是内力的非线性函数，力的独立性原理不成立，故不能用叠加法NNTTMMend杆及结构的变形计算例7-8求图示简支梁在集中力P作用下的变形能，已知梁的刚度为EI。PAlabBCRARBx1x2解：(1)求支反力(2)列出弯矩方程(3)计算变形能end杆及结弃构的变潜形计算例7-窜9求图示喘曲杆的布变形能旱，设曲梯杆的曲刊率半径倘为R，抗弯捷刚度为EIPARBONAqOQMend杆及眠结构伸的变客形计往算7-眼7单位蚀荷载宇法下面匪我们葡从功召能互胀等定穿理出惨发导睬出计羽算线私弹性成结构飞位移盖的一睬个普熔遍方具法—单位倍荷载兰法。任今以六刚架纤为例拌来说钩明。设刚寇架上际受外评荷载P1和P2作用，纸今欲求乱刚架上禾任一点痰、任一宽方向的扔位移，烘如图中互所示的D的大小功。P1P2MiNiDP0M0iN0iD0为此，塞我们可民在该结递构的该绞点上加武上一个城沿该方其向的微识小荷载P0，再分锁别写出凶此两种查受力情卵况下的橡功能关劳系式：P1P2Mi+M0iNi+N0iDP0D

0en伴d杆及结矩构的变来形计算为了求肺得Δ，我们豪尚需列穴出第三抽状况下举的功能示关系式卷，该状膜况是由望结构上谨先加P0荷载，俯再加已绕知荷载P1和P2而形短成的淹。写魂此时罢的功咳能关陈系时续应注筋意：川外力挎功除其了P1、P2和P0在其待自身绣引起世的位疫移上傍作功A和A0外，P0在P1、P2、所扎引起杰的位己移Δ上也要廊作功。所以，吵此时的刑功能关雪系式应渗是：用此摘式减遥去前深两式饭，可将得：en赚d杆及敲结构雨的变尚形计去算为了演能直斜接得裳到D的数名值，姨可令P0=1，而洽对应强于此婆时的M0i，N0i则写成M0i，N0i。这样泥，就得究到用单搞位荷载酿法求结摇构位移帮的一般鲜公式：上述公扭式也可否计算角趋位移，丛只要将P0视为单犹位力偶圈就可以宋了。此撞时公式拼中的M0i，N0i即为危单位艇力偶荒作用逆在该帆结构弓上所讨引起旺的相饺应内涨力。en程d杆及结脑构的变痰形计算当结墨构在薪外力村作用烧下，罚在杆闪件内算引起扁扭矩效时，绢只要洪在公障式(7-剥21)后面抚附加演考虑热扭转掀所引拔起的柔位移寒项就竟可以况了，堆公式宝推导肥原理溜不变牧。所久以当劫不计津杆件治剪切优内力栏的影醉响(通常很滩小，工珠程上常左忽略)时，小计算凶结构社在外怠荷载纯作用本下的纠位移店的普裤遍公牲式是新：需要指神出的是敬：单位犹荷载的赵方向开抵始时可瞒以随意伐假设，届将来按懒公式算掀得的结赵果如果洋是正值寒时，则碑所发生乞的位移夕就是沿衰所加单括位荷载倍方向，海反之，莲则位移景沿单位失荷载的项反方向被发生end杆及结翅构的变洁形计算例7-1晃0求皮图示稀曲杆怪在B点的焦垂直踏位移阀和水躁平位流移AjO1B(b)AjO1B(c)AjO1B(d)(a)PARBOjen竞d杆及饮结构倡的变骡形计子算7-8图形互姨乘法对工程贝中常见芝的一些摧由等刚诵度杆所形注成的敲梁或役刚架己等折线型惠结构，用伐积分思法计牌算常磨嫌其融麻烦品时，盯也可器采用载下面隐介绍练的图形坦互乘周法来计算帜。如上节油所说在缓计算梁吼或刚架泪位移时宏，都会跟遇到如庆下积分迈：当结构废各杆段挑的刚度EiIi=常数时，该扯积分中毒的EiIi就可瓣提到差积分演号外屡面去担而和蹲积分月变量盲无关健。剩争下的肤就只伐要计膏算型登式的探积分炮值。end杆及霜结构凤的变忧形计岸算xdxxxcCMxM0xM(x)M0y

Cla据此穿，可泰将公振式替换付为下积式式中

wi，wNi，wni

分别为该段上弯矩图、轴力图和扭矩图的面积，而分别为和上述面积的形心相对应的

图上的功纵坐标吧值。所孕有ω值和yC值均赏取代绢数值丽，或奖遵循ω与yC在基商线的仓同侧胞相乘贱为正涉，异床侧相菠乘为岔负的膏原则举也可娃。abcdlw1w2在具体披计算wyC值时怎，还站有一暂些技撒巧，践如以歪下诸拌图所筋示：杆及结搞构的变从形计算比较(a),挠(b)两式可钥见，只悟要将(a)式中的a,戒b,计c,缘瑞d的值鸽均看杠作代肢数值貌，由(a)式即嚼可得弱到(b)(b)(a)en幻玉dend杆及迅结构由的变春形计勇算例7-1坦1求图猎示刚架自在缺口A处的相目对位移熊，设杆相的抗弯护刚度为EI。aaP2lP(a)PaPaPaPa(b)2a2a2a2a11(c)l11lllllll(d)1111111111(e)en忆d杆及起结构输的变于形计毕算*7-金9静定货结构役由于匪支座位位移候和温唇度变泰化所遮引起两的位辉移计吵算1.求结构总由于支赤座位移巧所引起液的结构腰位移当支座C由于互沉陷资而产玻生C1，C2，C3的位电移后钻，欲苹求端元部A处沿D方向樱的位保移D。为元此，火假设波在此铁结构锐的A处沿D方向殊加—相应的窝单位力究，假设谎此时支战座反力R10，R20，R30的方朱向取什得和训支座粮位移煌的方存向一银致时宋，如削图(b)所示，侄则按刚其体的虚勺位移原眉理可得镇下式：将上臣式移衬项后报即得须所求结的位轰移为陡：1(b)CC1C’BAC3C2DB’A’D(a)end杆及璃结构芬的变擦形计仰算例7-标12求三铰抱刚架由可于支座A处位瓣移Dx和Dy而引永起的苦顶铰C处的竖宪直位移DC。代入公碰式(7强-2骄7)得：DxDyC’A’DC(a)hCBAl1(b)首先弃在C处竖皮直方测向加注单位脆力；粪再求陆出此潮时单叉位力颗在沿津巳知惨位移惭方向得的反获力；其值为蚊正，即C的竖直坡位移方撒向和所干加单位粥力方向目相同。解：end杆及结龄构的变宵形计算2.求结构均由于温裙度变化隶所引起工的位移首先我看们来讨捞论微段点两侧由晋于温度逝的不同脆所造成海的变形牺。设微湿段长ds，形心锦轴距两爆侧的距市离为h1和h2，截她面的摘高度吧为h，而鸦温度t2>t1，材仰料的魂线膨讽胀系宜数为a。hdsh2h1djat2dsat1dst1t2形心轴微段斯的轴构线伸灭长量du和截面纹的相对育转角dj为：end杆及圈结构情的变羽形计补算知道幼了du，dj的表达船式后，籍欲求图木示结构客由于温垃度变化叼而引起距的任一舌点C的位移Dt时，直伐接利用馒虚功原坟理得下环面的公山式：或应用桂上述源两公绪式时昨，应注意正摇负号。若温铜度引起蚕的轴向臭变形及突弯曲变拒形与单痕位荷载却所引起留的轴向到变形和拐弯曲变除形的方洞向一致时谷取正号，反之取绞负号。t1t2t2At1CB1en昆d杆及结止构的变敏形计算例7-1腔3求图稀示刚阴架C处所念产生会的竖巩直位严移，讯若刚放架外尾侧温绕度为0oC时，内洋侧温度山为10oC。各杆眉截面相谎同且和浪形心轴袖对称，材料的仅线膨胀恐系数为a，截铜面高警度为h。解：作出愤单位绪力下胆的内轿力图Ni0和Mi0，并慰用虚榨线示豪出其卖变形战方向节；同疾时也稍用虚贼线示吉出结巨构由干于温宇度变叠化所党引起栋的变义形方孕向。掌由图腊可见唉，两捉者正筹相反山，故已公式求中的科乘积鸣项均喝取负拌号。江由于代入为公式(7-如28b稀)后即得欣：10oACBll(a)1(b)1ll(c)end杆及结凳构的变鸽形计算*7-1鸟0虚功当原理其单位兵荷载锋法虚功原扭理是固冰体力学灿的一个庄普遍性象原理，爆它适用锣于刚体其和可变许形体。草今以直瘦杆在拉弓伸时的晌受力和洪变形状败态为例惭来说明修此原理死。图(a)为其受尺力状态唐，图(b)为其蛛假想皮的位薯移状敢态，根此位架移是赛杆约连束条牌件许欺可的扒、满网足变手形连蜻续条盆件的乖任一炕微小香位移格，简振称其栽为许哲可位浑移或淋虚位贤移。dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN设u是该杆息内某微索段dx左截辩面的菠位移导，则膏其右塔截面裳的位斩移可松写为u+d源u；所以立，u可以上称为宜此微线段的邀刚性云位移牛，而du则是驳该微话段的腥变形燥位移缺。当该色微段撕平衡往时，且可得领：en坝d杆及警结构摸的变抵形计厕算dxxpPdxxpPluu+dupPN+dNN将上式悟两边乘弃以该微凝段的刚贡性位移u，积分考后得：若将隆此式口展开霸后积伙分，控则有痰：分部积版分,得将杆讨的边闻界条情件；代入雄上式席，则风得：变形估体虚苏功原滚理end杆及结归构的变集形计算当变咱形体英处于企平衡峡状态关时，勤外力铲在变秆形