自动控制理论课后习题详细解答答案

《自动控制理论(夏德铃)》习题答案详解

第二章

2-1试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1「

(助石=—$=——R!—,Z2=R,，则传递函数为：

RJR.Cs+l

1Cs

Uo(s)_z2_R{R2CS+R2

Uj(s)z,+z2R、R2cs+Rt+R2

(b)设流过G、C2的电流分别为4、L，根据电路图列出电压方程:

4⑶=9⑶+R口⑸+/用]

U"(S)=3,2(S)

并且有

4，小)=(4+4)/2(5)

C]SC2s

联立三式可消去/(，)与，2(S)，则传递函数为:

1

U“(s)_____________C£____________=__________________1__________________

4(s)—1上AY1f「印2。。2s2+(R£+/?G+R2G)S+l

(C]S人。2s)

2-2假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以均为输入，以为输出的传递函

数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：以=—0色L+u=Ui-u0,

Rdtdt

对上式进行拉氏变换得到

=-s4(s)+sU()(s)

故传递函数为

U0(s)RCs+]

S(s)-RCs

u：-U_忧＜.八4c八

(b)由运放虚短、虚断特性有:C*———-c+——=0,—^+―=0,

R2R2R/2&

联立两式消去〃，得到

CRduQ22

H---W；d----Wn=0

2R}dtR'Rt°

对该式进行拉氏变换得

〃/、

CR2.2__z.

--5（/0（5）+—1/,.（5）+—1/0（5）0

ZA|AAj

故此传递函数为

Uo（s）=4式

UjG）-R（RCs+4）

0,且冬=--工，联立两式可消去％得到

dtRJ2Rj/2RRJ2

CR.du；2斯2M,八

2Rdt&R

对该式进行拉氏变换得到

霖.皿（5）+N。（5）+25）=0

2.Kz\jK

故此传递函数为

U°G）_-（/?"+4）

Ui（s）-4R~

2-3试求图2-T-3中以电枢电压心为输入量，以电动机的转角。为输出量的微分方程式和传

递函数。

解：设激磁磁通0=K“/恒定

®（s）=___________________________________

U“（s）JLZv2+（L"+R,J）s+R,J+，C“M

_2万_

2-4一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动

触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另

一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该

随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差〃，即是无惯性放大器（放大系数为K.）

的输入，放大器向直流电动机M供电，电枢电压为“，电流为I。电动机的角位移为8。

解：3-----------------------尹%一.-----------

）2

R国iLJS+i（L,f+R,J）s+^RJ+^Ce<f>Cjjs+KACJ

2-5图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流。与物间的关系为

6

irf=10xe^-1o假设电路中的尺=1。3。，静态工作点“o=2.39V,

\/

%=2.19x10-34。试求在工作点（曲,外附近=”〃d）的线性化方程。

3

解：z（/-2.19X10'=0.084。-0.2）

2-6试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力一电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块机一加2受力分析可列出如下方程：

叫孚=尸⑴+&（力一%）一/一匕口

<at

加2勺1=原（当一%）

Iat

代入匕=也、为=生得

dtdt

z/2

叫竽■=/"）+&（%-%）一7-%%

V

d2y..、

叫^^2=&（%-M）

2-7图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为O,，温度计显示温度为6。试求传递函数

史立（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）。

MG）

解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

rdee-0

~dt~R

对上式进行拉氏变换得到

「C/、0,（5）-G）（s）

CV0（5）=-'---------

R

则传递函数为

0（5）_1

©.（5）RCs+1

2-8试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数侬。

H(s)

a)

b)

图2-T-8

解：(a)化简过程如下

R(s)G3(G1+G2)C⑸

I+G3(G+H])

传递函数为

C(5)_G3(G,+G2)

R(s)—]+G3(G+储)

(b)化简过程如下

传递函数为

C(s)=_________GOGa+GJ_________

l+Gad+GGs+GJ^+GR)

2-9试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数也。

R(s)

解：化简过程如下

系统的传递函数为

C(5)_______________0.7s+0.42_____________

而-d+(0.9+0.74)$2+Q.18+0.42A)S+0.52

2-10绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数胆。

R(s)

图2-T-10

系统的传递函数为

C(s)=________GQ2G3_________+G

-4

/?(5)1+G2W,-G,G2H,+G2G3H2

2-11试绘出图2-T-ll所示系统的信号流程图，并求传递函数42和6@(设

K(s)R?(s)

/?2(i)=0).

图2-T-ll

解：系统信号流程图如图所示。

题2-11系统信号流程图

C|(s)__________GOG、______

R(s)~1+G,G2+G&-GGGG”凡

g(s)______GGGGG6Hl_______

K(s)~1+G,G,+G4-G,G2G4G5/7,H2

2-12求图2-T-12所示系统的传递函数

RG)

解：（a）系统只有一个回环：EL、=cdh,

在节点R(s)和C(s)之间有四条前向通道，分别为：P,=abcdef,P2=abcdi,

P3-agdef,P4=agdi,相应的，有：△1二△?=A3=△4=1

则

C(s)__abcdef+abcdi+agdef+agdi

R(s)ATZf\-cdh

111

（b）系统共有三个回环,因此,ZL]=-

/?CsR2c2sR、C2s

]

两个互不接触的回环只有一组，因此，ZL=---—・———

2/?£$（R2c2sR】R2cle2s2

在节点R（S）和c（s）之间仅有一条前向通道：q=i.一L.-L4.一:一=—1一并且有

sC}R、sC2RXC}C2S~

A=l,贝|J

2__I___________g______________

R（S）1-ZLj+Z&1+（R]G+R，G+凡。2），+1

2-13确定图2-T13中系统的输出C（s）。

图2-T-13

解：采用叠加原理，当仅有R（s）作用时,CG)=%

R(s)-\+G2H2+G,G2H,

。2。)

当仅有RG）作用时,_G?

-

2G)\+G2H2+G}G2H}

C（5）

当仅有。2（，）作用时,3

-£>2(5)l+G2H2+GlG2Hl

C（5）G&H]

当仅有AG）作用时，4

£>3(S)

\+G2H2+G}G2H,

根据叠加原理得出

GG2RG)+GR(s)—G2。?G)-GG27/Q3(s)

C(s)=G(s)+。2(s)+C3G)+C4(5)

1+G2H2+G,G2H,

第三章

3-1设系统的传递函数为

CG)_/

2

R(s)5+2^a>ns+①;

求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。

解：当输入为单位斜坡响应时，有

r(t)=t,H(s)=l

s

所以有

c(5)=-~~欧—r-4

5-+2血5+恣S-

分三种情况讨论

(1)当？>1时，

(3)当，=1时,

%2=一①.

22,a>„

c(t)=t——+—e-'\+—t

gg2

设系统为单位反馈系统，有

s(s+2轲)

E,(S)=MS)_C(S)=MS)

、2血+。:

系统对单位斜坡输入的稳态误差为

%=f.ims,心+2血),=匹

Is~s'+2^colls+a)l~(on

3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为

50

(1)G(s)=(2)G(s)=------------------

(l+0.1.v)(l+2.v)5(1+0.15)(1+0.55)

K(l+2s)(l+4s)

(3)G(s)=(4)G(s)

52(52+25+10)S(S2+4S+200)

解(1)K,=limG(s)=50,Kv=limsG(s)=0,&=lims2G(s)=0；

1sf0.v->0STO

2

(2)Kn=limG(5)=00,Kv=hmsG(s)=K.Kn=hmsG(s)=0；

PSTOs->0sfO

°K

(3)=limG(s)=8,K,=limsG(s)=8,K〃=lims2G(s)=—；

ps—>0s—>0.$->0JQ

K7

(4)Kn=limG(5)=oo,Kv=limsG(s)=——,Ka=lims2G(s)=0

1$->()S->0200sf。

3-3设单位反馈系统的开环传递函数为

10

G(s)—

5(0.15+1)

若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

(1)r(O=/?o>(2)r(f)=R0+Rtt,(3)«)=&+隼+

解：首先求系统的给定误差传递函数

①人"瑞=17^5(0.15+1)

0.152+5+10

误差系数可求得如下

人1.小/、「5(0.15+1)

C,,=lim①(s)=lim-------------=0

0一。2…。0.1/+S+10

cd4/、r10(0.25+1),

C.=hm—①，(s)=hm-----------^—=0n.1

1…ds八/…(O.Ld+s+10)2

2(0.1/+s+10)-20(0.2s+iy

=0

(0.1/+5+10)3

(1)”£)=&,此时有G(f)=%，(⑴=00)=0,于是稳态误差级数为

%(，)=%«)=。，12。

(2)r(t)=R0+R,t,此时有力)=凡+犀,2=&,r(r)=O,于是稳态误差

级数为

e,(f)="«)+C£(f)=O.氏，^>0

2

(3)r(f)=/?(1+Rtt+-R2t,此时有4«)=r+7?/+；/?2巴q⑴=&+Rj，

匕⑺=&,于是稳态误差级数为

Q

e“(f)=Cor,«)+G9)+三匕⑺=0.1(/?,+M'f20

3-4设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=---

5(0.15+1)

若输入为rQ）=sin5r，求此系统的给定稳态误差级数。

解：首先求系统的给定误差传递函数

小E(s)15(0.15+1)

①.⑶=----=--------=----;---------

R(s)1+G(s)0.1.y2+5+500

误差系数可求得如下

„\..5(0.15+1)

C=hm①,(5)=lim----5------------------=0

°o.io'v^O0.152+5+500

„..d小(、500(0.25+1)1

C<-lim—①，(s)=lim-----；----------=-----

ST。ds''ST。(0.1s2+s+500)2500

limQ①_LJM100(0.1$2+S+500)-1000(0.2S+1)2_98

，照芯《M―恩(0.1/+5+500)3-5Q07

以及

r((?)=sin5z

rs(r)=5cos5t

[«)=-25sin5f

则稳态误差级数为

rQ~i

esr(/)=Co-x25+•­•sin51+[C\x5---]cos5f

=[4.9x10-4H—]sin5z+[lxl02---]cos5r

3-6系统的框图如图3-T-la所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入

端加入一比例微分环节（参见图3-T-lb）,试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的

稳态误差可以消除。

R(s)C(s)

--------►说

,-s(s+2^„)

a)

b)

图3-T-l

解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：e“=2£,加入比例一微分环节后

C（s）=+as）-C（s）］G（s）

C（s）二中常砧（f'硝

1+G（s）S+2或y〃s+q

E（s）=R（s）-c（s）=57（.-。以）.R（s）

s+2Q〃s+q

Ms）一

esr=limsE（s）=­~

2。a＞n

可见取a=5,可使e.=0

以

3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为

八2

G（s）=------*——

s（s+23.）

从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，”,,=0.096,

。=0.2$。试确定传递函数中的参量，及

解：由图可以判断出0＜《＜1,因此有

%=exp(一xlOO%

代入〃〃=0.096,0.2可求出

4=0.598

=19.588

C(s

3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求>G(s

(1)由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。

(2)整个系统的特征方程为+4s2+6s+4=0

图3-T-3

求三阶开环传递函数G(s),使得同时满足上述要求。

解：设开环传递函数为

C(s)K

32

R(s)s+k}s+k2s+k3

15^+^.51~+k-)s-i-k-,

根据条件(1)lim------=------；-----=-------=0可知:%3=0：

s-»ol+G(s)s++&+K

根据条件(2)O(s)=s3+4s2+6s+4=0可知:占=4,k2=6,K=4。

所以有

。"卜+1+6)

3-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s),如要求

(1)由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。

(2)三阶系统的一对主导极点为=-1±刀。

求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。

解：按照条件(2)可写出系统的特征方程

(.v+1—j)(s+1+j)(s+a)=(.v2+2s+2)(5+a)=.v3+(2+a).s-2+(2+2a)s+2a=0

将上式与1+G(s)=0比较，可得系统的开环传递函数

2a

G(s)

s[s~+(2+a)s+(2+2a)]

根据条件(1),可得

2。

2+2。

解得。=1,于是由系统的开环传递函数为

G(，)=宓l帝］

3-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)=-------

5(n+l)

试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。

(1)K=4.5,r=ls(2)K=1,T=1S(3)K=0.16,r=ls

解：系统单位阶跃响应的象函数为

W=R⑸G(s)=*而

(1)将K=4.5,r=ls代入式中可求出现=2.12rad/$,<=0.24,为欠阻尼系统,

因此得出

%=46%,4=7.86s(2%),5.905(5%)

(2)将K=l,7=ls代入式中可求出4=lrad/s,^=0.5,,为欠阻尼系统，因此

得出

Mp=16.3%,ts=8A(2%)S,6s(5%)

(3)将K=0.16,T=1S代入式中可求出可,=0.4md/s,，=1.25,过阻尼，无最

大超调量。因此只有15s。

3-11系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。

O

(1)当a=0时，则系统传传递函数为G(s)=--------，其中必=我=2后，2窕“=2,

+2s+8

所以有，=0.354。

(2)以不变时，系统传函数为G(s)==--------------要求4=0.7,则有

"52+(8«+2)5+8

2.叱=2(4。+1),所以可求得求得a=0.25。

3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=l的零点对系统单位

脉冲响应和单位阶跃响应的影响。

1.单位脉冲响应

(a)无零点时

sinJ1-二%/，（，20）

(b)有零点1=一1时

c(f)=J2牛,叫e"sinJl-+arctg处,(f20)

比较上述两种情况，可见有零点z=-1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生

相移，相移角为近火前一‘

1-3“

2.单位阶跃响应

(a)无零点时

加了Z=-1的零点之后，超调量和超调时间tp都小于没有零点的情况。

3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初

始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何

必然存在超调现象？

单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-

积分环节KikiS+l),当误差信号e(f)=0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故

系统输出继续增长，知道出现e(f)<0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，

系统的响应必然存在超调现象。

3-14上述系统，如在/()为常量时，加于系统的扰动〃为阶跃函数形式，是从环节及物

理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动〃(。为斜坡函数形式，为何扰动

稳态误差是与时间无关的常量？

在r(f)为常量的情况下，考虑扰动〃Q)对系统的影响，可将框图重画如下

N(s)C6)

图A-3-2题3-14系统框图等效变换

C(s)=_______必_______N(S)

2

S(T2S+1)+KtK2(ris+1)

根据终值定理，可求得〃（。为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0,〃（/）为单位斜坡函数

时，系统的稳态误差为O

从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有—个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰

动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时

间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间

无关。

3-15已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据检验其稳定性。

54183

„3240

（1）劳斯表有52630则系统系统稳定o

30

,03

54112

53240

（2）劳斯表有s2-12劳斯阵列第•列符号改变两次，根据劳斯判据,

518

s°2

系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

551316

541910

(3)劳斯表有一66

劳斯阵列第•列符号改变两次,根据劳斯判据,

$21010

5112

5°10

系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。

1584

396

264

(4)劳斯表有53812系统处于稳定的临界状态，由辅助方程

s--)34

4

3

4

A(s)=2/+6/+4可求得系统的两对共规虚数极点九2=±上$3.4=±八历。

3-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。

(1)K>0时，系统稳定。(2)K>0时，系统不稳定。(3)0<K<3时，系统稳定。

3-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=—"二W—请在以K为横坐

5(CT+1)(25+1)

标，7为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。

系统的特征方程为D(s)=2Ts3+(7+2)S2+(K+l)s+K=0

532rk+1

y2T*+2k

列写劳斯表1(r+2)(k+l)-2永，得出系统稳定应满足的条件

s-----------------

r+2

«+2)(K+1)-2TK

r+2

由此得到和应满足的不等式和条件

C2(K+1)

K>1,7w2

K-1

K234591530100

7643.332.52.282.132.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、T为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图

A-3-3中的阴影部分。

15K

图A-3-3闭环系统稳定的参数区域

3-18已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=：K_+5)(S+40)试求系统的

?(5+200)(5+1000)

临界增益K,之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程

55+120054+20000053+ks2+45ks+2004=0

列写劳斯表

S5120000045A

541200k200k

2.4x10-5.4xIO,女_200女

0

12001200

1.7544x10”—公

S200k

2.4x108_女

7.787xl0〃2_45%3—0.96x10。

1

S1.7544X10M_%2

s°200k

根据劳斯判据可得

2.4x108/

----------->0

1200

1.7544x103

----------3------>0

<2.4x10—

7.787乂10"2-45/一096><10瞪

1.7544X10U—公

200*>0

系统稳定的K值范围为

1.22xl06</T<1.7535x10s

当储=1.22x106、勺=1.7535x1()8时，系统有一对共筑虚数极点，此时产生等幅振荡,

8

因此临界增益Kc=1.22x1()6以及3=1.7535xlO.

根据劳斯表列写K,=1.22x106时的辅助方程

1.7544X10隈1.22*1()6一(122xl()6)2工

+200xl.22xl06=0

2.4X108-1.22X106

解得系统的一对共规虚数极点为S1.2=±〃6,系统的无阻尼振荡频率即为\6rad/s。

£=1.7535x1()8时的辅助方程

1.7544x1()8〉L7535X1()8—(I7535X10)工

+200x1.7535x108=0

2.4x108-1.7535xlO8、

解得系统的一对共规虚数极点为s*=±乃38,系统的无阻尼振荡频率为33Srad/s。

第四章

4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益&变化时系统的根轨

迹图，并加简要说明。

⑴G(S)=―,---与-----r

s(s+l)(s+3)

系统开环极点为0,-1,一3,无开环零点。实轴［-1,0］与［-00,3］上有根轨迹，渐近线

相角e=±60°,±180°,渐近线与实轴交点凡=—1.33,由也■=()可得出分离点为

匕“dS

(-0.45,J0),与虚轴交点±/百(&=⑵。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2题4-2系统(1)常规根轨迹

(2).心+4/$2+4s+20)

方法步骤同上，实轴(-4,0］上有根轨迹，化=±45°,±135°,%=—2,分离点

(-2,/0灼(-2土J2.5),与虚轴交点士=260)。常规根轨迹如图A-4-3所示。

2T

图A-4-3题4-2系统（2）常规根轨迹

4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G（s）=（1）试绘制系统根轨迹的大致图形,

并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z=-l，试问根轨迹图有何变化，对系

统稳定性有何影响？

⑴G（，）=*

2）

实轴［-oo,-2］上有根轨迹，%=±60°,巴=-0.67,由吧=0可得出分离点为

dS

（0J0）,与虚轴交点为川优=0）常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当

&〉0便有二个闭环极点位于右半，平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A46超43系统（2）极貌进

图A-4-4题4-3系统常规根轨迹

M(s+1)

(2)G(s)=

$2(s+2)

实轴［-2,-1］上有根轨迹,夕“=±90°,5,=—0.5,分离点为(0,j0)；常规根轨迹如图

A-4-4(b)所示。从根轨迹图看，加了零点z=-l后，无论K取何值，系统都是稳定的。

4-4设系统的开环传递函数为G(s)"(s)=—^i^试绘制下列条件下系统的常规

s(s+2s+a)

根轨迹(l)a=l(2)a=1.185(3)a=3

(1)a=l时，实轴(一2,0］上有根轨迹，七=±90°,区,=0,分离点为(—0.38,0),常

规根轨迹如图图A-4-5(1)

图A-4-5(1)

(2)a=1.185时，实轴(-2,0］上有根轨迹，％=±90°,cr“=0,根轨迹与虚轴的交点为

(0,±j),常规根轨迹如图图A-4-5(2)

图A-4-5(2)

(3)a=3时，实轴(-2,0］上有根轨迹，(pa=±90°,b“=0,根轨迹与虚轴的交点为(0,士力,

常规根轨迹如图图A-4-5(3)

RootLocus

ss

vx

A

m

ol

Ee

-1.4-1.2-1-0.6-0.4-02

RealAxis

图A-4-5(3)

4-5求开环传递函数为G(S)"(S)=§9TD的系统在下列条件下的根轨迹(1)a=10(2)

s~(s+a)

a=9(3)a=8(4)a=3

(1)实轴［一10,-1］上有根轨迹，%=±9(r,b0=—4.5,分离点为(0,川)，与虚轴交点为

川(&=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(1)

图A-4-6(1)

(2)实轴［—9,—1］上有根轨迹，以=±90°，5,=-4,分离点为(0,JO),与虚轴交点为

J0(K1=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(2)

Rootlocus

.ffl

yx

A

目

O

mw

RedAxls

图A-4-6(2)

(3)实轴［—8,—1］上有根轨迹，%=±9(r,b〃=—3.5,分离点为(0,JO),与虚轴交点为

川(6=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(3)

RootLocus

MX

AV

BJ

-BU

-EB

图A-4-6(3)

(4)实轴［—3,-1］上有根轨迹，化=±90。,/=—1,分离点为(0,川)，与虚轴交点为

川(6=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(4)

图A-4-6(4)

4-7设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：(1)求无局部反

馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。(2)讨论a=2时局部反馈对系性

能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。