结构动力学知识讲解

第10章结构动力学§10-0结构动力学概述§10-1动力计算的特点和动力自由度§10-2单自由度体系的自由振动§10-3单自由度体系的强迫振动§10-4两自由度体系的振动第10章结构动力学§10-0结构动力学概述§10-1动力计算的特点和动力自由度§10-2单自由度体系的自由振动§10-3单自由度体系的强迫振动§10-4两自由度体系的振动结构动力学概述

在结构力学I中只讨论了结构在静荷载和移动荷载作用下的分析，实际工程结构除静荷载和移动荷载（按静荷载处理）外，还承受另一类外界作用──动荷载。研究结构在动荷载作用下响应规律的学科称为结构动力学。土木工程中的动力学问题——地震作用土木工程中的动力学问题——地震作用土木工程中的动力学问题——地震作用土木工程中的动力学问题——风荷载（1）1940年11月7日上午，位于美国华盛顿州刚建成四个月，主跨853米，位居当时世界第三的塔科马海峡桥（TakomaNarrowBridge），在八级大风（风速19m/s）作用下，经过剧烈的扭曲振荡后，桥面结构解体损毁，半跨坠落水中。

土木工程中的动力学问题——风荷载（2）颤振是弹性体在气流中发生的不稳定振动现象。弹性结构在均匀气（或液）流中受到空气（或液体）动力、弹性力和惯性力的耦合作用而发生的大幅度振动。它可使飞行器结构破坏，建筑物和桥梁倒塌。在速度较低的情况下，结构所吸取的能量会被阻尼消耗而不发生颤振，只有在速度超过某一值时，才会发生颤振。若吸取的能量正好等于消耗的能量，则结构维持等幅振动，与此状态对应的速度称为颤振临界速度v（简称颤振速度）。当气流速度跨越颤振速度时，振动开始发散。土木工程中的动力学问题——风-浪-流作用

琼州海峡大桥公路桥设计方案：1500m级斜拉桥方案、3000m级悬索桥方案、3000m斜拉-悬索协作桥方案。土木工程中的动力学问题——风-浪-流作用

琼州海峡大桥公路桥设计方案：1500m级斜拉桥方案、3000m级悬索桥方案、3000m斜拉-悬索协作桥方案。土木工程中的动力学问题——列车作用

京沪高铁大胜关长江大桥：336m主跨是目前世界上高速铁路桥梁的最大跨度，通行六线铁路也是目前世界上设计荷载最大的高速铁路桥梁，大桥设计行车速度300km/h处于世界先进水平。土木工程中的动力学问题——列车作用结构动力学的任务

提供任意给定结构在任意给定动荷载作用下进行动力响应的计算方法；确定结构固有动力特性及结构固有动力特性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结构在动荷载作用下的响应规律；为结构动力可靠性设计和健康诊断提供依据。结构动力学的研究内容

结构的响应分析：已知动荷载（输入）和结构动力特性（系统）求结构的响应；

结构的参数识别：已知动荷载（输入）和结构的响应（输出）确定结构的动力特性（系统）参数或数学模型，从而对结构的“健康”状况作出评价，对所出现的问题进行诊治；

荷载识别：已知结构的动力特性（系统）和结构的响应（输出），求未知的动荷载（输入）。

结构振动控制：已知动荷载（输入）和结构动力特性（系统），采用控制装置减少结构的响应。第10章结构动力学§10-0结构动力学概述§10-1动力计算的特点和动力自由度§10-2单自由度体系的自由振动§10-3单自由度体系的强迫振动§10-4两自由度体系的振动动力计算的特点（1）“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。动力计算的特点（2）

严格地说，结构上所受荷载都是随时间变化的，但是如果荷载随时间变化的速度较慢，以致质量运动加速度所产生的惯性力和荷载相比小到可以忽略不计，这时仍可将其当作静荷载进行分析计算。所谓荷载变化的快慢，或者说是否要当作动荷载处理，不仅要看荷载，而且还要看结构，因为结构的的动力特性不同，同一荷载使质量所产生的加速度（惯性力）将不一样。动力计算的目的和内容

计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。结构动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。（1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；（2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等）；（3）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。结构动力计算与静力计算的对比

两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。结构的动力响应不仅与荷载的幅值及其变化规律有关，而且还与结构的动力特性有关。动力荷载分类（1）

确定性荷载──荷载的变化是时间的确定性函数。

周期荷载：随时间作周期性变化。P(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）非简谐荷载（打桩时落锤撞击所产生的荷载）tP(t)动力错荷载寻分类堆（2）确定冰性荷贤载──亿荷载桶的变爪化是辉时间抖的确躁定性渣函数榨。冲击并荷载：在樱很短递时间肠内，书荷载广急剧决减小谈或增墨加。费（如紧爆炸存荷载栏）突加荷弱载：荷载宅突然施畅加于结摔构上并盲（在一抵定长时丹间内）污保持不聪变。（左起重机帽起吊重罚物时所邪产生的攻荷载）P(t)ttrPttrPP(t)动力荷牲载分类肤（3）非确定巨性荷载摩（随机专荷载）──直荷载涝随时肠间的爆变化油不确缺定或餐不确拴知，半或边炼界不娱清晰寨。这种荷睁载事先井不可预口知，以沟后也难卸再现，笋在任一宗时刻的钓荷载大瞎小为随寇机量。唯例如由损于脉动需风和地颈震地面泛运动等惑对建筑至物产生币的荷载亩都是随坏机荷载棉，但对抬已发生两（并记资录）的阴地震作侧用等荷圈载（也世称为样歇本），颗都是确咸定性荷禽载（在涂做结构腐试验时亏可以重遵现这种艰地面激粥励）。动力栏荷载拔分类山（4）动荷丧载确定不确定风荷载地震荷疫载其他无励法确定晕变化规浊律的荷杜载周期非周期简谐衫荷载非简枕谐荷笋载冲击逃荷载突加荷思载其他齐确定承规律充的动叶荷载动力僵计算语中体诵系的蓝自由芝度（1）定义：在振撕动过程痕的任一况时刻，巴确定体蚂系全部窗质量位恐置或变挣形状态体所需的如独立参误数个数模，称为体系容的自桂由度。自由度杀为1的体纸系称衣为单自惰由度罩体系；自散由度饭为有愉限值救的体酒系称涌为有限自壳由度体承系；质折量连剪续分顶布的押体系悦为无限自缠由度体垮系。实际结苹构的质丧量都是坐连续分黑布的，雪严格地绸说来都闭是无限达自由度陷体系。链计算困骂难，常维简化为有限自询由度问至题。动力计谅算中体辩系的自妥由度（2）动力开分析盼中自眠由度右与结屡构体降系组愉成分侧析时渔的自胡由度寸既有狼相同谜之处市又有查不同寒之处培。相同煎之处：二者墓都是确棚定体系鬼运动位现置所需径的独立讽坐标参长数。不同爱之处：在结揪构体系猾组成分江析中，意讨论的渣对象是不考座虑质超量的蒙刚体。而在附动力分弹析中，炼讨论的坏一般是谣变形体顿，考虑薄的是体系中廉质量的贩自由度。体系叮自由想度的宇确定延（1）单自睡由度瓜体系当梁哥本身淹的质尊量远稠小于沟物块哪的质爽量时伙，可盲以不洁计梁阵本身板的质什量，罚同时皮不考狱虑梁桑的轴炒向变汽形和罚质点歉的转被动，脏则梁漏上质掀点的薄位置简只需青由挠词度y(划t)就可卧确定天。体系燥自由胞度的满确定练（2）确定绝纸对刚性抢杆件上锈三个质竭点的位露置只需馋杆件转永角(t玩)便可，扛故为单肝自由度斑结构。体系自陈由度的沫确定（3）2个自由钥度体系注意：蜜自由度托与质量漫数不一揉定相等虽然求只有些一个塘集中更质点个，但晌其位权置需贤由水晕平位园移x和竖向股位移y两个独化立参数辅才能确窑定，因幼此振动排自由度娇等于2，为多己自由度巨体系。体系自晕由度的侦确定（4）2个自由射度体系水平喝振动亲时的臂计算虏体系构架式班基础顶版板简化符成刚性受块多自拨由度韵体系体系骄自由脉度的严确定秒（5）分析刚躬架的振昆动自由没度时，榆仍可引鼻用受弯卖直杆任易意两点车之间的爪距离保妹持不变述的假定甲，即略青去杆件弹的轴向糖变形。魔因此，枯可采用扇施加刚蠢性链杆阳法来确吧定结构疑的振动妈自由度货。刚性链数杆法：在结林构上施拆加最少啦数量的敲刚性链局杆以限枕制刚架围上所有亚质点的券位置，利则该刚病架的自登由度数鼓即等于圆所加链捉杆数目芬。体系自虾由度的卷确定（6）具有已两个湖集中爱质量制，加轨入三购根链倡杆即压能使酬各质傍量固乎定不肤动其姓振动延自由斯度为3。4个自级由度注意站：体件系振沿动自纽奉由度删的数沃目不足完全舒取决饮于质铜点的棚数目拍，也屿与体浇系是塔否静房诚定或乱超静版定无滴关。将体系坛的自店由度竿数目榆与计匠算假污定和叛计算资精度该有关残。如哄果考筒虑质房诚点的酿转动请惯性借，还诱应增坛加控裁制转蹦动的惭约束遥，才愤能确弄定结屑构的愁振动馆自由浮度数翠目。体系自次由度的僵确定（7）思考：池若考虑倾各杆件药的弯曲孔及柱的脸轴向变代形，图跳示所示宅体系的孩动力自由度数蚊为多少惜？体系自妨由度的仰简化（1）简化隆方法时有多再种，左如集中泉质量拼法、我广义预坐标但法和赢有限屋元法圆等。本章重米点讨论集中质和量法。集找中质秒量法尾──牛将结乌构的婶分布范质量拴按一屑定规钳则集净中到桶结构痕的某勾个或叮某些肢位置怨上，图认为肉其它叮地方帐没有纳质量熔，从徐而将诵无限迅多自裤由度喘体系弯简化旦为有扛限个街自由毫度体破系。市对杆惯系结槽构，雹此时朱无质妈量杆零仅有棕弹性逮特性秀，因则此常坑称为学无重泥弹性下杆。体系京自由绑度的携简化寺（2）例：吉用集圾中质赴量法叙将连病续分挂布质访量的见简支鸟梁简泻化为康有限圈自由校度体复系。将梁二额等分，线集中成沫三个集省中质量梢，单自己由度体算系。将梁旨三等椒分，午质量愁集中扬成四永个集强中质枕量的姜两个饿自由尚度体待系。③简化的逗质点数盾越多，盛其误差稀相对越纹小，精调度越高组，但自咐由度增余加，计雨算就越强复杂。①忽略饿质体幸的转州角变将形θ，即吊把“质体”视为阁质点许。②一般情向况下忽督略杆件嘉的轴向闯变形。l12简化为2个质点简化为3个质点132体系自会由度的雁简化（3）动力计季算的方献法——振动方星程的建艳立直接雾平衡妙法（桌动静凳法）抽：该杰法根脏据达朗伯封尔原理，将锹惯性典力假预想地载作用党于质勺量上应，再么考虑弃作用爸于结花构上肤的动结荷载退，使环动力蛛问题佩转化克成任峡一时狠刻都于动平见衡的旺静力急问题痛。因姑此，击建立掩体系槐的运窄动方险程与恳静力样学中站建立趁平衡比方程谨相似盗，即砖作用宵于质剥量上拣的所唇有力省保持砌平衡习。I(t)—惯性力计，与加乐速度成喝正比，猎方向相名反P(t)—动力伍荷载向。第10章昨结构动律力学§1缩慧0-苗0结构动捕力学概殖述§1困0-吃1动力计得算的特殃点和动纯力自由传度§1圆0-伯2单自由猎度体系厚的自由睁振动§1香0-纹3单自全由度执体系雀的强横迫振等动§10凝-4两自由宗度体系民的振动自由振慢动自由振绒动：体急系在振穴动过程泛中没有慨动荷载央的作用按。自由毅振动添产生侦原因掘：体征系在扶初始仁时刻勿（t=0）受到朋外界的筒干扰。研究宏单自骡由度落体系例的自傅由振佩动重持要性挡在于初：1、它代白表了许放多实际占工程问裳题，如南水塔、并单层厂剑房等。2、它是狗分析多慌自由度赏体系的纤基础，盈包含了缺许多基妖本概念树。自由败振动训反映宝了体妄系的注固有挽动力刊特性奋。自由振非动方程劣的建立拘（1）方法：局达朗伯丈尔原理应用艺条件诞：微蛾幅振允动（场线性父微分较方程慕）1、果刚度俭法：恋研究俭作用牢于被阁隔离灾的质司量上厦的力袍，建残立平烟衡方笛程。m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力W弹性言力恒与得位移戏反向惯性力自由振肺动方程橡的建立猪（2）1、截刚度惊法：叼研究镰作用司于被你隔离忠的质集量上听的力电，建担立平死衡方渐程。…………(a)其中kyj=W及上式奇可以们简化欧为或由静盘平衡乖位置梳计算昨。以位移富为未知镇量的平宋衡方程洽式，引讨用了刚萄度系数俘，称刚嚼度法。建立平爽衡方程自由竖振动遍方程单的建立立（3）2、柔稀度法：赤研究结糠构上质腾点的位速移，建蒙立位移霞协调方钻程。m静平衡位置I(t)可得枕与(b）相同的洋方程刚度法小常用于代刚架类弱结构，怕柔度法彼常用于捡梁式结膛构。k—弹簧的竹刚度系思数。（忽弹簧伸车缩单位知长度所或产生的刊力。）k=挽1/δδ—弹簧的洪柔度系陵数。（谱单位静另力作用刃下弹簧州伸缩的跑长度。牛）k—质点沿哄位移方东向发生猴单位位郑移，所摆需施加班在质点残上的沿之位移方年向的力计。δ—质点刻在单顽位力橡作用去下沿到位移午方向裳产生课的位躲移。二者分际别称作讨质点沿挥位移方演向的刚圆度系数雨和柔度奖系数。mlEIk1mFP=1lEI对于线弹弹性结尘构的刚尿度系数射和柔度初系数：自由振丽动方程随的建立峡（4）自由振蜓动微分冤方程的阴解（1）改写为其中它是二咸阶线性嚷齐次微忍分方程碗，其一停般解为奖：积分常胀数C1，C2由初津始条增件确崖定。设t=0时（d）式可以来写成自由蒜振动嫌微分博方程础的解形（2）由上式羞可知，望位移是卵由初位淘移y0引起勇的余晃弦运桂动和渔由初税速度v0引起雾的正呜弦运获动的穷合成此，为油了便谎于研介究合乒成运首动,令(e)式改米写成它表示忘合成运雹动仍是制一个简捆谐运动赚。其中A和可由下助式确定振幅相位角y0ty-yTTTyt0yt0A-A自由碎振动晕微分涨方程鸣的解塑（3）结构咐的自耽振周狼期和袜频率粪（1）由式及图可菜见位移众方程是甘一个周束期函数尘。Tt0A-A周期工程频拖率圆频贴率自振螺周期辞计算括公式微：圆频率蛇计算公抱式：结构的型自振周料期和频亡率（2）一些重胞要性质典：（1）自颜振周柿期与扣且只羊与结柳构的铸质量哄和结盘构的推刚度东有关匪，与选外界捞的干对扰因膝素无菌关。（2）自振连周期与调质量的捷平方根邪成正比掌，质量蒙越大，室周期越邻大（频撒率越小租）；自秘振周期吊与刚度帽的平方熟根成反兽比，刚叫度越大箭，周期飘越小（愁频率越很大）；纵要改变半结构的稳自振周种期，只促有从改裂变结构桥的质量滩或刚度茎着手。（3）两洽个外杏形相品似的迈结构许，如钥果周柴期相定差悬朱殊，遮则动僻力性性能相贱差很者大。好反之团，两篇个外国形看遥来并浩不相捕同的紧结构脊，如准果其款自振宋周期秧相近戚，则角在动尘荷载栋作用斥下的痕动力佣性能旋基本殿一致液。例1、图目示三骗根单霞跨梁境，EI为常猜数，丈在梁扬中点伞有集富中质拨量m，不科考虑挺梁的枝质量果，试柳比较连三者针的自桂振频凤率。解：1）求δ据此盯可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.脖51晨2׃2结构约追束越强,其刚冬度越凯大,刚度越艰大,其自振艺动频率考也越大男。例题例2、计算租图示结傲构的水蹄平和竖疾向振动脂频率。例3、计判算图槐示刚荐架的彩振动徒频率曲。由截个面平甚衡例4、求颤图示头结构授的自澡振圆肠频率不。解法1：求kθ=1/hMBA=kh桐=届MBC解法2：求δ例5、求图验示结构萍的自振额频率。解：由求k对于雪静定欧结构蹈一般苗计算让柔度熟系数姥方便浙。如果让瘦振动体岂系沿振攀动方向肢发生单离位位移牺时，所丘有刚节台点都不咽能发生誉转动（镜如横梁袜刚度为屯∞刚架)计算刚嫩度系数绞方便。一端铰品结的杆悲的侧移斤刚度为龙：两端刚画结的杆禾的侧移斑刚度为臣：例6：图a所示恒体系杠中，而已知小横梁B端侧绞移刚撕度为k1，弹簧丑刚度为k2，求：竖秩向振动沫固有频贯率。例7：图a所示糕结构前周期样为Ti，求蚕图b所示良体系扭周期蚀。例8:求图示党结构质及点振动绸的柔度发系数或域刚度系浪数。EIm

l/2l/2EIlml/2mEI=拢Cl/2EIl/2l/2m简谐满自由钩振动忽的特向性由式可得，古加速度注为：惯性力洽为：在无阻垂尼自由灰振动中迟，位移险、加速昼度和惯告性力都淋按正弦彼规律变三化，且说作相位科相同的完同步运宰动，即表它们在批同一时眯刻均达油极值，婶而且惯继性力的立方向与缓位移的廉方向一跟致。既然在悬运动的粮任一瞬庆时质体旺都处于缩慧平衡状懂态，在资幅值出站现时间字也一样坏，于是马可在幅害值处叔建立效运动姐方程，此干时方堂程中艘将不抗含时前间t，结果若把微分炊方程姨转化削为代谦数方准程了，鲜使计字算得陆以简手化。例6.计算图锅示体系填的自振杜频率。解：单津自由度授体系，以表宵示位腿移参评数的僻幅值,各质猛点上浊所受响的力涝为：建立泰力矩陕平衡弓方程阻尼对终自由振行动的影渡响实验透证明姿，振栗动中隐的结径构，层不仅责产生第与变务形成减比例瓶的弹巨性内历力，讨还产候生非艘弹性活的内祸力，喷非弹酷性力吴起阻漆尼作搁用。法在不与考虑孟阻尼傻的情夕况下崭所得熟出的绳某些抽结论踩也反馅应了忙结构并的振存动规骗律，扛如：1、阻尼层的存在忽略蚕阻尼热的振吗动规坛律考虑刃阻尼范的振甩动规瞒律结构的碗自振频呈率是结去构的固乎有特性屯，与外摩因无关冻。简谐荷获载作用寄下有可刺能出现型共振。自由竹振动挑的振梁幅永杯不衰绒减。自由振做动的振梅幅逐渐担衰减。共振时显的振幅享趋于无障穷大。共振时遗的振幅滴较大但倚为有限侨值。阻尼对地自由振钳动的影洁响事实耐上，嘴由于歼非弹晃性力蛙的存钥在，卸自由戴振动菌会衰幸减直墙到停配止；贺共振军时振到幅也陵不会庄无限钉增大链，而核是一叉个有喝限值践。非弹昂性力踏起着航减小悔振幅旨的作勤用，抹使振捉动衰技减，判因此棍，为雀了进酿一步厉了解喘结构社的振攀动规溜律，化就要箩研究忧阻尼杯。关于真阻尼季，有蜻两种扩定义拾或理在解：1）使请振动菊衰减理的作炊用；2）使虾能量刃耗散经。阻尼缓对自胁由振泛动的新影响2、在步建筑冻物中撞产生督阻尼额、耗违散能贼量的透因素1）结构集在变形丙过程中榆材料内溪部有摩度擦，称拢“内摩培擦”，欣耗散能甚量；2）建筑客物基础未的振动涝引起土垦壤发生歇振动，巷此振动签以波的给形式向征周围扩技散，振动波盟在土壤唇中传播誉而耗散叮能量；3）土戚体内挥摩擦允、支胳座上驳的摩壤擦、缓结点鄙上的胸摩擦哲和空社气阻浪尼等词等。3、阻尼痛力的循确定抗：总棉与质遥点速冈度反寺向；大小婶与质点析速度有劝如下关批系：1）与质唱点速度搬成正比患（比较繁常用，吉称为粘劣滞阻尼鸡）。2）与质畅点速度牙平方成庭正比（敏如质点律在流体胸中运动脖受到的念阻力）滑。3）与抛质点堡速度另无关劳（如乖摩擦饭力）投。*粘滞阻魂尼理论——非弹桌性力欺与变灯形速闪度成祸正比届：*滞变瓦阻尼竹理论——其他阻蔑尼力也靠可化为凡等效粘册滞阻尼离力来分厅析。有阻负尼体龙系的虾自由旷振动宗方程有阻尼酷的自由属振动，灾动平衡今方程：(阻尼笼比）令有阻土尼体蚁系自碰由振吗动微睬分方社程的帮解设解姿为：特征牺方程肤为：（1）低阻元尼和无娃阻尼（2）临界屋阻尼（3）超绳阻尼（不泥出现那振动使，实青际问鹊题不游常见涌。）有阻闷尼体姑系自怎由振糖动微侧分方殖程的撑解1)ξ<1（低虏阻尼勒）情魂况（低阻冷尼体系绣的自振萝圆频率麻）得振动峡方程的然通解：有阻尼蒜体系自免由振动编微分方忙程的解1)ξ<1（低阻遵尼）情盏况有阻欧尼体狸系自芝由振结动微究分方川程的谦解1)ξ<1（低睬阻尼着）情严况①阻尼对爽自振频趋率的影骆响.当ξ<0者.2，则存在0.9铜6<ωr/ω规<1。在工程李结构问邀题中，款若0.煌01女<ξ<0.踢1，可近乱似取:有阻尼葬体系自狭由振动犬微分方王程的解1)ξ<1（低阻灵尼）情茫况②阻尼雀对振刚幅的较影响.振幅Ae-ξωt随时什间衰调减，敲相邻绕两个刃振幅挣的比经过一记个周期伞后，相己邻两振万幅yk和yk+1的比值复的对数咬为:称为振面幅的对缴数递减先率.有阻尼叔体系自舍由振动戏微分方尖程的解1)ξ<1（低阻开尼）情俊况②阻尼月对振蹈幅的亮影响.设yk和yk+n是相俗隔n个周期碑的两个楼振幅则:工程加中常材用此望方法梁测定麻阻尼策比例7、图示态一单层姥建筑物徐的计算培简图。百屋盖系狸统和柱凡子的质庆量均集捏中在横倚梁处共稍计为m，加一称水平健力P=9纪.8承kN，测挣得侧肌移A0=0.态5cm，然后突论然卸载排使结构莲发生水也平自由辣振动。椅在测得讯周期T=1透.5浙s及一个周期雅后的侧舟移A1=0.鲁4cm。求晕结构押的阻研尼比ξ和阻孔尼系第数c。解：有阻议尼体椅系自坑由振亏动微荐分方禾程的帖解有阻们尼体苏系自迅由振供动微酬分方春程的寨解2)ξ=1（临衡界阻庄尼）伶情况有阻尼显体系自备由振动魂微分方愿程的解2)ξ=1（临翅界阻孔尼）踢情况这条曲含线仍具定有衰减筹性，但不具冒有波动委性。临界轨阻尼趋常数cr为ξ=1时的阻着尼常数劲。（振与省不振危的分胁界点）阻尼身比。义反映详阻尼晌情况良的基璃本参疲数。第10章督结余构动庄力学§1塑0-厚0结构抖动力返学概伙述§1模0-狂1动力尝计算霞的特盈点和宾动力听自由幸度§1客0-糕2单自由晶度体系惭的自由冷振动§10辈-3单自娃由度足体系掠的强商迫振桌动§1理0-激4两自帐由度荡体系午的振物动强迫吗振动坟方程亏的建壶立受迫镇振动惜（强屿迫振舅动）毛：结盾构在度动力相荷载矩作用绩下的龄振动啄。弹性力－ky、惯性力和荷载P(t)之间芝的平乓衡方申程为:单自崭由度凝体系帆强迫柄振动泡的微低分方座程强迫惜振动丽方程冠的解——简谐骡荷载含（1）tAyθsin=特解：tytmFystθωθθwθωsin)1(1sin)1(22222-=-=强迫听振动彩方程变的解——简谐蒙荷载亮（2）最大静职位移yst（是汪把荷谎载幅乒值当熊作静敞荷载见作用扛时结动构所档产生的位姜移）告。特解可秃写为：通解可乡丰写为：设t=0时的初炊始位移坏和初始震速度均急为零，啄则：强迫怕振动哭方程罪的解——简谐荷座载（3）按自振参频率振顺动按荷载赵频率振醋动过渡灾阶段：振动梅开始两继种振动惰同时存怎在的阶抖段；平稳吸阶段：后违来只讲按荷抽载频吉率振诉动的壶阶段喜。（网由于找阻尼抗的存华在）平稳阶胳段：最大动款位移（唤振幅）悬为：动力津系数β为：重要的型特性：当θ/ω→0时,β→1，荷杀载变范化得南很慢成，可该当作州静荷客载处伐理。当0<θ/无ω<1时,β>1，并且丈随θ/ω的增大载而增大丛。当θ/ω→1时,β→∞。即锹当荷爪载频滴率接狂近于抛自振补频率乏时，铸振幅教会无抢限增够大。阵称为搏“共系振”霜。通拴常把0.7或5<θ/ω<1付.2畅5称为共兆振区。当θ/ω>1时,β的绝对嫌值随θ/锻ω的增大阴而减小戴。当θ很大奏时，搞荷载姻变化范很快石，结谊构来果不及延反应众。振鉴动体系体现初为一躁种振耕颤现赢象，反而不能振动搁。强迫锤振动章方程素的解——简谐荷中载（4）强迫顶振动围方程酱的解——简谐淡荷载尾（6）当动昌荷载岁作用色在单础自由状度弹琴性体铃系的炎质点城上时艘，由俭于体删系上质各截拾面的胜内力肆、位魂移都躲与质题点处升的位坡移成号正比阵，故险各截至面的抛最大爸动内害力和扮最大均动位径移可圣采用筐统一扑的动世力系算数，只需井将干屋扰力作幅值漫乘以液动力艇系数超按静茎力方肤法来满计算锤即可卵。计算时瞎，只须翼将相当凶荷载作记用于质宋点按静址力方法裤计算即周可。或淋将干扰舱力幅值启当作静蚁荷载作班用于质沟点按静普力方法丹计算出裤相应的究位移、括内力，再乘以批动力放毯大系数亦可。—相当暗荷载显。（简谐牲动荷互载与差惯性红力合诞力的轿最大怕值）强迫常振动役方程府的解——简谐荷述载（7）当动猛荷载述作用粒在单籍自由滚度弹会性体贵系的馋质点五上时称，由岭于体释系上茫各截慌面的候内力训、位同移都其与质渣点处瞎的位戚移成狮正比糠，故渔各截辈面的项最大烘动内衡力和模最大酒动位睬移可主采用打统一底的动绕力系攀数，只需鉴将干秀扰力遮幅值壶乘以悦动力少系数球按静挨力方迁法来份计算后即可陈。例1、已知m=300双kg，EI=90×柴105N.m2,k=48垦EI龄/l3,P=20感kN,θ=80s-1求梁过中点放的位推移幅屯值及故最大寸动力蚁弯矩斥。解：1)求ω2)求β3)求yma睁x，Mmax强迫震振动久方程榆的解——简谐矮荷载份（8）例2、一简觉支梁（I28之b），惯艺性矩I=74揪80c澡m4。在兵跨度伙中点拣有电虾动机颈重量Q=35戚kN，转丝式速n=50刚0r/状min。由于怕具有偏封心，转辉动时产雷生离心或力P=10架kN，P的竖警向分铅量为Psin长θt。忽于略梁惧的质民量，位试求遵强迫舰振动赌的动倘力系或数和妹最大懂正应赌力。纷（梁第长l=4m）解：1）求自之振频率恳和荷载梅频率2）求香动力杀系数闻和最挑大正虏应力17房诚5.烂6M浓Pa例2、一艘简支挪梁（I2讲2b），惯侍性矩I=3蔑57伶0c勿m4。在跨惕度中点基有电动灿机重量Q=35南kN，转滩速n=5瞧00爪r/拿mi的n。由于育具有偏绸心，转恶动时产闻生离心旧力P=10堵kN，P的竖向削分量为Psin佣θt。忽略懒梁的质属量，试蜂求强迫挨振动的馒动力系淘数和最坛大正应休力。（泄梁长l=4m）149背.2M禾Pa必须扣特别悲注意待，这冤种处雄理方毛法只技适用提于单绍自由枯度体愉系在与质点拼上受绸干扰柏力作建用的趣情况踏。对虾于干洋扰力禁不作损用于化质点堡的单搂自由默度体屋系，虎以及竖多自朽由度熟体系未，均趣不能装采用旨这一纽奉方法隔。本例采煤用较小牌的截面扩的梁既做可避免再共振，睬又能获鼓得较好鞭的经济歉效益。1)求柔度窑系数δ例3图示稍单自绵由度纷体系撒，已汤知FP0=5kN，m=80惩0kg，EI=4.燃5×1音07kN.室cm2，θ=35（1/s），g=9.骂8m/驱s2。在拐平稳锣阶段侦，求C截面尺的最害大位拣移和B截面的可最大弯亲矩。解：CEIABEI4m2mC1C1AB12AB2m2)求自振芽频率ω3)求动力堪系数β4)求(MB)max及ymax[动荷载派不作用谣于质点闻时的计毅算——结构豆没有稻一个浑统一蹲的动佛力系吗数]当干扰恼力不作董用在质岗点上时能，应重壤新建立琴并求解侦质点的滔运动微虹分方程挥（柔度链法和刚蔑度法）盾及方程祝的解和荐惯性力宗。计算简动内力辜和动位胆移幅值斤时，将北惯性力样幅值作酒用于质辛点，干沾扰力幅搬值作用藏于结构辅，按静恼力计算晋。此时寇动弯矩嚼幅值图攻可按下么式：令仍是位移动力系数不是内力动力系数运动方楼程稳态解[动荷举载不兵作用恰于质召点时啊的计晴算——结构没恢有一个捏统一的起动力系土数][列幅值问方程求他内力幅零值]解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知同频同宜步变化动弯醉矩幅舍值图解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知解:例:求图示奔体系右拘端的质钟点振幅同频同爪步变化强迫振心动方程惭的解——一般荷餐载（1）一般荷坊载作用挑下的动亲力反应挤可利用寸瞬时冲尚量的动快力反应到来推导斯。1、瞬时泼冲量的垫动力反总应瞬时壤冲量S引起的槽振动可很视为由咽初始条作件引起贩的自由留振动。由动量偏定理：强迫展振动拴方程破的解——一般咸荷载喜（2）2、任意蔽荷载P(t)的动提力反辱应τ时刻的触微分冲勿量对t瞬时(t>拿τ)引起怕的动械力反响应:初始蔬静止廊状态仅的单督自由阻度体丸系在鼻任意榴荷载造作用匀下的捎位移红公式:Duh技ame奥l积分强迫丝式振动己方程睬的解——一般荷擦载（3）初始勉静止商状态亏的单坏自由盗度体斑系在弃任意逆荷载绪作用天下的微位移土公式:Duh打ame仅l积分初始位疼移y0和初始右速度v0不为未零在狸任意捧荷载岁作用巨下的挪位移载公式:几种照典型泥荷载丛的动反力反每应（1）1）突窑加荷粒载质点围家绕静力乡丰平衡位骗置作简谐稿振动几种席典型烧荷载被的动细力反走应（2）2）短时烫荷载阶段Ⅰ(0<t<u)：与突营加荷颤载相泪同。阶段Ⅱ(t>u)：无察荷载兴，体渴系以t=u时刻桌的位狭移和速度为初始械条件作膀自由振勒动。几种典我型荷载距的动力玩反应（3）2）短时者荷载或者料直接炭由Duh述ame纹l积分税作最大动餐反应1）当u>T/2最大激动位燃移发袄生在毫阶段Ⅰ几种典唐型荷载伤的动力区反应（4）2）当u<T/2最大炒动位肥移发蕉生在贺阶段Ⅱ几种馋典型椒荷载穴的动聋力反笼应（5）3）线性探渐增荷求载这种倘荷载讯引起铜的动膝力反木应同粒样可咱由Du更ha蜡me惹l积分来品求解:几种六典型快荷载貌的动述力反膛应（6）动力调系数通的反占应谱疮如下首：动力系数β介于1与2之间。如果升载很短，tr<T/4,则β接近于2,即相当于突加荷载情况。如果升载很长，tr>4T,则β接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。有阻尼礼强迫振蔑动方程引入计：单自由流度有阻莲尼体系摘的强迫刺振动方毅程：有阻尼削强迫振赛动方程撇的解（1）①单独由v0引起较的自趣由振鸡动：②瞬时湖冲量ds=港Pdt=m葬v0所引楚起的置振动棍，可江视为台以v0=Pdt/挺m，y0=0为初臭始条峰件的给自由变振动秆：有阻尼早强迫振迷动方程嗽的解（2）③将荷载P(t)的加筑载过捎程看绢作一漂系列恭瞬时蜻冲量辈：④总反奏应几种菠典型引荷载栋的动买力反兽应（1）（1）突加荷届载P0具有臭阻尼莫的体泥系在突加查荷载俭作用引下，最初所泳引起的谱最大位移接广近于静苗位移yst=P0/mω2的两暮倍，然后逐伍渐衰减牺，最后停留堂在静力焰平衡位置。几种首典型境荷载蛾的动灿力反神应（2）（2）简谐荷旨载P(t)=Fsinθt设特宣解为月：y=Asinθt躺+Bcosθt齐次解驰加特解炸得到通些解：+{Asi足nθt+Bco柱sθt}自由振淋动，因书阻尼作拍用，逐渐题衰减费、消佩失。纯强迫绵振动，鲜平稳振侍动，振幅和作周期不查随时间务而变化傅。几种典炕型荷载挺的动力棍反应（3）（2）简谐燃荷载P(t)=Fsinθt+{Asi柿nθt+Bcosθt}结论歼：在炉简谐圆荷载连作用确下，原无论谁是否想计入腥阻尼防的作起用，静纯强迫振顾动部分烦总是稳彼定的周兰期运动似，称为速平稳振姻动。y=泪Asi冰nθt+Bco把sθt=yPsi歉n(θt－α)动力系贿数β与频策率比η=θ/疏ω和阻锹尼比ξ有关几点敞注意反：①随ξ增大β曲线渐哑趋平缓舟，葵特别是艺在θ/ω思=1附近β的峰朱值下框降的称最为铲显著李。②当θ接近ω时，β增加很挽快，ξ对β的数牧值影睁响也全很大论。在0.船75委<黑θ/极ω贪<1衬.2表5(共振区)内，阻喂尼大大私减小了锹受迫振彼动的位炼移，因踩此,为了络研究牛共振户时的怪动力扭反映,阻尼潜的影棉响是猾不容寻忽略隶。③βma赔x并不酒发生垄在共劫振θ/惜ω=1时，蛋而发兔生在还，但因ξ很小，返可近似峰地认为左：动力猎系数掘在工吉程抗床震中乐的应固用（1）基础骑隔震赔结构猜：通炸过隔参震层也的变倒形来劳吸收贴地震熄能量跪，控己制上僻部结贴构地茧震作奴用效藏应和从隔震祥部位贝的变静形，丝式从而歼减小楚结构家的地贯震响突应，东提高醒建筑乓结构躲的抗绑震可贫靠性紧。动力系寻数在工役程抗震座中的应粥用（2）消能减谱震结构默：通过样指在房彼屋结构提中设置抗消能装耐置，通阁过其局忙部变形恳提供附钞加阻尼袍，以消拦耗输入扯上部结失构的地僚震能量豪，达到抢预期设摸防要求赶。粘弹席性阻额尼器粘滞流倘体阻尼伙器屈曲胀约束钳耗能屯支撑运动微分方程振动方程振幅初相角运动微分方程稳态解动力放大系数振幅单自由度体系自由振动单自由度体系强迫振动第10章税结构动坝力学§1伪0-踢0结构唯动力厦学概欲述§1接0-县1动力补计算我的特抖点和无动力煤自由蚂度§10阶-2单自岂由度锯体系统的自定由振派动§1压0-蛙3单自由个度体系阳的强迫酒振动§10沫-4两自桂由度洗体系赞的振见动自由振场动方程译的建立——刚度击法（1）1、刚造度法K1和K2是质黎点m1和m2与结构救之间的杂相互作船用力。自由振日动方程遗的建立——刚度尽法（2）1、堤刚度虾法两自由繁度体系拥自由振瞎动微分沸方程自由振抄动方程辉的解——刚度剖法（1）设解为=常数1）在振体动过程奖中，两绪个质点摔具有相杏同的频角率和相株同的相等位角；2）在振誓动过程匆中，两级个质点损的位移冲在数值怖上随时浅间而变铁化，但核其比值饰始终保聪持不变们。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。当然Y1=Y2=0为其解幅，为了猛求得不禾全为零柱的解，咳令特征方旧程频率标方程自由振随动方程区的解——刚度法翻（2）振幅方控程最小情圆频桥率称面为第间一(基本)圆频率凶；第二圆富频率（1）主振会型第一振布型/基本振爆型第二辫振型自由瓦振动朵方程忆的解——刚度巷法（3）多自由欢度体系厚如果按鼓某个主幸振型自柿由振动刑，其振惕动形式肾保持不墨变，此艇时，多寻自由度破体系实怠际上是栗像一个锻单自由乱度体系窗在振动隔。（2）按户主振杠型振剧动的逮条件怠：初欲位移闲或初榨速度励与此孝振型古相对须应；筋实际犯上，盐多自沙由度荡体系彼在零码时刻羞的初规位移隶或初房诚速度砌通常朽不能慌完全哨与某疮一振叛型相什对应谈。自由辛振动辨方程景的解——刚度务法（4）（3）一料般振弦动两自济由度芽体系晌自由就振动浓是两坏种频傻率及区其主铲振型腰的组千合振便动多自窝由度租体系正自由军振动耗的振驼型分碎解例：设昨图示刚悬架横梁草刚度为弯无限大概，层间县侧移刚王度分别说为k1和k2，试求仆刚架水唱平振动仆时的自贯由振动弊频率和钥主振型仇。自由振给动方程轿的解——刚度丘法（5）解：（1）求频料率方程罚中的刚钟度系数k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（2）求频稿率自由训振动甲方程求的解——刚度借法（6）若有（3）求柱主振猪型自由计振动伟方程浙的解——刚度供法（7）若有（3）求主栏振型若n=9而0则第待一振巧型和彻第二书振型岸分别费为：自由镜振动销方程械的解——刚度法陵（8）建筑火结构毙抗震惹设计丝式中，折将这蛋种因减顶端皮质点楼质量高和刚歇度突吐变，农而导控致顶玻端巨弊大反裹应的略现象耳，称笼为鞭工梢效音应。对于n个自由慨度的体公系，用连矩阵形赌式表示移的运动萍方程为：式中——动力体系的质量矩阵——动力体系的刚度矩阵自由深振动她方程站的解——刚度法蝇（9）令则为得到{Y}的非零缴解,必有系述数行列宅式的值殃等于零倍，即上式开为频蛋率方粱程，津可以筛求体纵系的粮自振乏频率当。将及伴的载表达宝式代携入运况动方奏程，宏得到从：自由振掀动方程倦的解——刚度抬法（10）上式棕可以求体系辰的主振扛型。在主振差型向量中，通满常只能钩确定各构分量的岛相对值绩，而不纳能确定愈各分量裤的绝对戏值。将代入运动方程，得到：自由振断动方程鼻的解——刚度沸法（11）（1）多没自由贼度体撒系自泊由振元动问叨题中粗，主戴要问蠢题是南确定号体系折的全脱部自间振频电率及著其相怀应的颈主振娃型；（2）多自听由度体夹系自振展频率的鄙个数与义自由度列个数相敲等，自苏振频率童可由特前征方程晒求出；（3）每个手自振频尾率有自透己相应而的主振酸型。主日振型就猜是多自刑由度体踪蝶系能够熟按单自斥由度振贞动时所井具有的师特定形存式；（4）多高自由服度体蚁系的裁自振群频率恭和主械振型个是体蹈系本吊身的榜固有奋性质错，只菠有体带系本杠身的虚刚度准和质乎量分哄布有灰关，丘而与赶外荷援载无焰关。自由弱振动革方程若的解——刚度法道（12）自由煤振动夫方程争的建卧立——柔度道法2、适柔度嫂法在自眼由振攻动过库程中菌任意克时刻t，质桶量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等朋于体系映在当时斗惯性力腰作用下救的静力鬼位移。两自由苹度体系梨自由振根动微分拳方程自由沾振动鼓方程产的解——柔度法型（1）设解伪为此时休惯性抱力幅值主振畅型的来位移何幅值吼等于宿主振喂型惯炮性力畅幅值林作用丑下产登生的显静力柳位移蜘。自由振佳动方程扎的解——柔度林法（2）当然帜解Y1=Y2=0，为了锈求得绿不全虑为零鼻的解牺，令令自由惯振动调方程悼的解——柔度床法（3）主振型自由糟振动咳方程杆的解——柔度法摄（4）解：礼（1）计受算频努率（2）计雕算振耽型例:求图示栏结构的泽自振频劫率和主律振型。m2=2maaam1=mEIEI解：1)

作、图求柔度系数。2)求自振馒频率3)求主件振型第一主振型第一主振型10.3052m1m24)画主音振型茧图第二主振型第二主振型m1m211.6384例3求图示纠体系的甲频率、典振型解令对称乎体系聪的振肉型分赏成两也组:一组肿为对槽称振考型一组垮为反批对称肢振型对称性袜利用⑴振动贼体系那的对器称性妨是指盖：结网构对黄称，魔质量暗分布握对称暗或动秒荷载欣对称判。⑵对称孕体系的栋自由振殖动或强裹迫振动执计算都恢可利用腊对称性畜而得到赌简化：①将体邪系的自讨由振动啊视为对责称振动众与反对缠称振动载的叠加奏，对两淘种振动巾分别取压半结构码进行计章算；②对于畏体系的痰强迫振惕动，则借宜将荷胁载分解业为对称驳与反对镰称两组凳。对称失荷载作经用时，雾振动形召式为对玻称的；园反对称榜荷载作挡用时，葬振动形鸡式为反旧对称的钥，可蜜分别取匙半结构饮计算。说明蛙：按对称阳振型振暖动按反注对称析振型浸振动对称秒体系驶的振沈型分成两经组:一组为投对称振骨型一组为普反对称蒜振型若结构门对称，使质量分怪布也对录称，则筒该体系芝的主振刘型也是正对称叉或反府对称棍的。跟因此访，可取半部结构分别计臭算正对唱称振型衫和反对鹅称振型对宣应的固晒有频率。例题止：利用对魔称性简瞎化图示秧结构柔堵度系数起的求解程。利用对置称性简特化计算因为结喝构和质弓量分布救均对称邮，其振递动可残分为讽正对谷称振盖动和端反对爬称振歌动,其振探型可分为厨正对称和害反对称珠的，分蝴别取半叔边结构计算吐。解：mmmaaaaaaEIEIEI求正对称振型求反对称振型m2=m/2m1=maaaaaaEIEIEIEIm1=mm2=m/2以求正对称绑振型咬为例，说明[δ]中系数的求解饿。首先祸求出半部结构院在集事中质环量上晶分别升作用有单位取集中力古产生的腥弯矩图部。b)

M2图aaa1a)