平面向量的基本定理及坐标运算

平面向量的基本定理及坐标运算平面向量的基本定理及坐标运算/NUMPAGES7PAGE7古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。平面向量的基本定理及坐标运算平面向量的基本定理及坐标运算平面向量的基本定理及坐标运算【考纲要求】1、了解平面向量的基本定理及其意义.2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【基础知识】一、平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得，不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标.规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。三、平面向量的坐标运算1、设=，=，则=.2、设=，=，则=.3、设，，则.4、设=，，则=.5、设=，=，则（斜乘相减等于零）6、设=，则四、两个向量平行（共线）的充要条件1、如果，则的充要条件是有且只有一个实数，使得（没有坐标背景）2、如果=，=，则的充要条件是(坐标背景)五、三点共线的充要条件1、、、三点共线的充要条件是2、设、不共线，点、、三点共线的充要条件是.特别地，当时，是中点。六、温馨提示1、向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题，因此解题过程中应注意使用数形结合的思想方法。2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。【例题精讲】例1：如图所示，已知中、、，M、N是AB、CD的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F，求.例2：已知，，当k为何值时，与平行？平地时它们是同向还是反向？平面向量的基本定理及坐标运算【基础精练】1．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－5，－1)，则向量eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是（）A．(－4，eq\f(1,2))B．(4，－eq\f(1,2))C．(－8，1) D．(8，1)2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为()A．(－8,1) B．(－1，－eq\f(3,2))C．(1，eq\f(3,2)) D．(8，－1)3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，则顶点D的坐标为()A．(2，eq\f(7,2)) B．(2，－eq\f(1,2))C．(3，2) D．(1，3)4．已知向量＝(1－sinθ，1)，＝(eq\f(1,2)，1＋sinθ)，且∥，则锐角θ等于（）A．30° B．45°C．60° D．75°5．设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A．2 B．4C．6 D．86．直角坐标系xOy中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A．1 B．2C．3 D．47．l1、l2是不共线向量，且＝－l1＋3l2，＝4l1＋2l2，＝－3l1＋12l2，若、为一组基底，则＝_____.8．已知向量＝(3，1)，＝(1，3)，＝(k，7)，若(－)∥，则k＝________.9．若向量＝(1，2)，＝(x，1)，＝＋2，＝2－且∥，则x＝__________.10．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(eq\r(2)cosα，eq\r(2)sinα)(α∈R)，实数m、n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为__________．11．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若点A、B、C构成以∠A